錢(qián)婷，趙思雨

（1.西安石油大學(xué) 理學(xué)院，陜西西安 710065；2.咸陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西咸陽(yáng) 712000）

為了增進(jìn)格理論專(zhuān)家與格理論潛在應(yīng)用者之間的交流，德國(guó)數(shù)學(xué)家Wille于1982年結(jié)合哲學(xué)中概念及其層次結(jié)構(gòu)的定義，提出了形式概念分析理論[1]。形式概念分析從提出至今已經(jīng)有三十多年的歷史。結(jié)合信息時(shí)代的特點(diǎn)以及不同理論相結(jié)合、相融合的研究理念、再加上形式概念的特殊性及其語(yǔ)義使得自身有諸多有意義的問(wèn)題有待研究。另外，形式概念分析通過(guò)內(nèi)涵和外延的依賴(lài)關(guān)系及概念的層次關(guān)系直觀簡(jiǎn)潔地反映了隱藏在數(shù)據(jù)集中的信息，所以近年來(lái)它在中醫(yī)藥成分分析[2]，專(zhuān)家系統(tǒng)[3]，數(shù)據(jù)挖掘以及軟件工程[4]等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，已經(jīng)成為數(shù)據(jù)分析和知識(shí)發(fā)現(xiàn)的有效工具。

形式概念分析與其他理論相結(jié)合，也相繼產(chǎn)生了不同的概念格模型，而對(duì)該模型進(jìn)一步研究也隨之變成了值得深思的問(wèn)題。姚一豫提出三支決策理論的統(tǒng)一框架描述之后，三支決策理論在決策問(wèn)題上產(chǎn)生了很好的現(xiàn)實(shí)意義[5]。祁建軍等結(jié)合三支決策與形式概念分析理論提出三支概念分析理論，此理論基本研究對(duì)象包括由對(duì)象導(dǎo)出的三支概念格和由屬性導(dǎo)出的三支概念格[6-7]。這一理論的提出，引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究[8-11]。三支概念格的構(gòu)造理論也被研究[10-11]，通過(guò)分析三支概念格的構(gòu)造理論以及概念格的構(gòu)造理論，發(fā)現(xiàn)同一個(gè)形式背景的三支概念格的結(jié)構(gòu)比概念格的結(jié)構(gòu)復(fù)雜得多。而事實(shí)上，概念格的構(gòu)造理論已研究得比較成熟[12-14]。如果直接能從形式背景上判斷出概念格與三支概念格之間的關(guān)系，尤其是同構(gòu)關(guān)系，那么就可以直接利用概念格理論研究三支概念格的相關(guān)理論。利用形式背景的屬性特征研究概念的理論較多[15-16]，智慧來(lái)等基于必然屬性給出了概念格中的粒描述[15]?；诖耍疚闹饕ㄟ^(guò)研究形式背景中對(duì)象的特征，討論概念格、補(bǔ)背景的概念格及AE-概念格之間的關(guān)系。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 形式概念分析

定義1[17]稱(chēng)(G，M，I)為一個(gè)形式背景，其中G={g1，…，gp}為對(duì)象集，每個(gè)gi(i≤p)稱(chēng)為一個(gè)對(duì)象;M={m1，…，mq}為屬性集，每個(gè)mj(j≤q)稱(chēng)為一個(gè)屬性；I為G和M之間的二元關(guān)系，I?G×M。若(g，m)?I，則表示對(duì)象g擁有屬性m，也記為gIm。

在對(duì)象子集X?G和屬性子集A?M上定義一對(duì)對(duì)偶算子為：

X*表示X中所有對(duì)象共同具有的屬性集合，A*表示共同具有A中所有屬性的對(duì)象集合。如果一個(gè)二元組(X，A)滿足X*=A，且A*=X，則稱(chēng)(X，A)是一個(gè)形式概念，簡(jiǎn)稱(chēng)概念。其中，X稱(chēng)為概念的外延，A稱(chēng)為概念的內(nèi)涵。

性質(zhì)1[17]對(duì)于形式背景(G，M，I)，可得基本性質(zhì)(?X1，X2，X?U且?B1，B2，B?A)為：

1）X1?X2?X*2?X*1，B1?B2?B*2?B*1；

2）X?X**，B?B**；

3）X?X***，B?B***；

4）X?B*?B?X*；

5）(X1∪X2)*=X*1∩X*2，(B1∪B2)*=B*1∩B*2；

6）(X1∩X2)*?X*1∪X*2，(B1∩B2)*?B*1∪B*2；

7）(X**，X*)和(B*，B**)都是概念。

用L(G，M，I)表示形式背景(G，M，I)的全體概念，LI(G，M，I)表示形式背景(G，M，I)的全體概念內(nèi)涵。在偏序關(guān)系(X1，A1)≤(X2，A2)?X1?X2(A1?A2)下，可以證明：

L(G，M，I)是格，并且是完備格，稱(chēng)其為形式背景(G，M，I)的概念格（文中稱(chēng)為經(jīng)典概念格）。

定義2[17]設(shè)K1=(G，M，I)，K2=(H，N，J)是兩個(gè)形式背景。α，β分別是G到H，M到N的雙射。若gIm?α(g)Jβ(m)，則稱(chēng)K1與K2是同構(gòu)的。

基于上述定義，有如下結(jié)論。

定理1[17]同構(gòu)的形式背景相應(yīng)的概念格是同構(gòu)的。

定義3[17]設(shè)(G，M，I)為形式背景，對(duì)于任意對(duì)象g，h，若g*=h*?g=h，且對(duì)于任意屬性m，n，若m*=n*?m=n，則稱(chēng)形式背景(G，M，I)為凈化形式背景。

本文中，凈化形式背景只是指對(duì)象是凈化的，即：設(shè)(G，M，I)為形式背景，對(duì)于任意對(duì)象g，h，若 g*=h*?g=h，則稱(chēng)形式背景(G，M，I)為凈化形式背景。

1.2 三支概念格

結(jié)合形式概念分析與三支決策的思想，祁建軍等首先提出了三支概念分析[6-7]。與形式概念分析不同的是，三支概念分析不僅考慮原背景上“共同擁有” 的信息，也進(jìn)一步考慮了補(bǔ)背景上“共同不擁有”的信息。且針對(duì)“共同不擁有”的信息，祁建軍等提出如下算子。

定義4[6-7]設(shè)(G，M，I)是一個(gè)形式背景，X?G，xIca}。

相對(duì)于該負(fù)算子，祁建軍等稱(chēng)原背景上的*算子為正算子，并將形式背景的正算子與負(fù)算子相結(jié)合，給出了屬性導(dǎo)出的三支算子的定義與性質(zhì)[6-7]。

定義5[6-7]設(shè)(G，M，I)是一個(gè)形式背景，X，Y?G，A，B?M，一對(duì)由對(duì)象導(dǎo)出的三支算子定

在屬性導(dǎo)出的三支算子的定義下，祁建軍等給出了AE-概念與AE-概念格的定義。

定義6[6-7]設(shè)(G，M，I)是一個(gè)形式背景，X，Y?G，A?M。若A?=(Z，Y)且(x，y)?=A，則稱(chēng)((X，Y)，A)為由屬性導(dǎo)出的三支概念，簡(jiǎn)稱(chēng)AE-概念。其中(X，Y)為((X，Y)，A)的外延，A叫作AE-概念的內(nèi)涵。

記所有AE-概念內(nèi)涵構(gòu)成的集合為AELI(G，M，I)，并記所有AE-概念構(gòu)成的集合為AEL(G，M，I)，并且在偏序關(guān)系((X，Y)，A)≤((Z，W)，B)?(X，Y)?(Z，W)?B?A下，AEL(G，M，I)是完備格。

2 對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景及其概念格

研究形式背景(G，M，I)具有的特征，討論AEL(G，M，I)與L(G，M，I)之間的關(guān)系，首先賦予對(duì)象以下特征。

定義7設(shè)(G，M，I)為形式背景，g∈G。若存在h∈G，有g(shù)*∩h*=?且g*∪h*=G，則稱(chēng)h為g的對(duì)偶對(duì)象。

通過(guò)上述定義，很容易得到以下性質(zhì)。

性質(zhì)2設(shè)(G，M，I)為形式背景，g，h，t∈G，有以下結(jié)論成立：

1）若h為g的對(duì)偶對(duì)象，則g也為h的對(duì)偶對(duì)象；

2）若h，t均為g的對(duì)偶對(duì)象，則h*=t*。

例1設(shè)(G，M，I)為形式背景，G={1，2，3，4，5}，M={a，b，c}，I關(guān)系如表1所示。

表1 形式背景(G,M,I)

由定義6知，對(duì)象1與對(duì)象4，5是對(duì)偶對(duì)象。

定義8設(shè)(G,M,I)為形式背景，若對(duì)于任意g∈G，都存在對(duì)偶對(duì)象，則稱(chēng)(G，M，I)為對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景。

例2（續(xù)例1）形式背景(G,M,I)如表1所示，由定義6知，1的對(duì)偶對(duì)象為4、5，2的對(duì)偶對(duì)象為3，3的對(duì)偶對(duì)象為2，4的對(duì)偶對(duì)象為1，5的對(duì)偶對(duì)象為1，故由定義7知，表1所示的形式背景為對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景。

定理2若(G，M，I)為凈化的對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景，則|G|為偶數(shù)。

證明：因?yàn)?G，M，I)為對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景，所以對(duì)于任意的g∈G都存在對(duì)偶對(duì)象，證對(duì)偶對(duì)象唯一。若h，t均為g的對(duì)偶屬性，顯然h*=t*，又由于(G，M，I)為凈化背景，從而h=t。顯然對(duì)于任意的g∈G，有且僅有一個(gè)對(duì)偶對(duì)象，從而對(duì)象成對(duì)存在，故|G|為偶數(shù)。

定理3若(G,M,I)為凈化的對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景，則(G，M，I)?(G，M，IC)且L(G，M，I)?L(G，M，IC)，其中IC=G×MI。

證明：定義α：G→G，對(duì)于任意g∈G，α(g)=β：M→M，對(duì)于任意m∈M，β(m)=m，其中為g的對(duì)偶對(duì)象。由于(G，M，I)為凈化的對(duì)偶背景，所以由定理1知，對(duì)于任意g∈G，存在且唯一，所以α也為雙射，顯然β為雙射。

若gIm，則m∈g*。由于為g的對(duì)偶對(duì)象，所以g*∪=M且g*∩=?。從而由于

研究L(G，M，I)與L(G，M，IC)中元素的具體關(guān)系。

定理4若(G，M，I)為凈化的對(duì)偶背景，則LI(G，M，I)=LI(G，M，IC)。

證明：由定理3知，L(G，M，I)?L(G，M，IC)，且通過(guò)證明過(guò)程知，若g與為對(duì)偶對(duì)象，則

定理5若(G，M，I)為凈化的對(duì)偶背景，則(X，A)∈L(G，M，I)?(?，A)∈L(G，M，IC)，其中為g的對(duì)偶對(duì)象，g∈X}。

證明：簡(jiǎn)記為g的對(duì)偶對(duì)象，g∈X}為若(X，A)∈L(G，M，I)，由定理4的證明知顯再利用反證法證明假設(shè)不成立，則存在即但t?X，其中t是的對(duì)偶對(duì)象。又由定理4的證明知，則故但t?X矛盾，從而

另外，由定義5知，三支算子是由正負(fù)算子所決定的。而對(duì)于凈化的對(duì)偶背景，正負(fù)算子所決定的概念格是同構(gòu)的，那么由三支算子所決定的三支概念格與他們之間的關(guān)系由以下定理給出。

定理6若(G，M，I)為凈化的對(duì)偶背景，則LI(G,M,I)=AELI(G，M，I)并且L(G，M，I)?AEL(G，M，I)。

證明：任取(X，A)∈L(G，M，I)，由概念的定義知X*=A。根據(jù)算子的性質(zhì)知從而由AE-概念的定義知又(X，A)的任意性知LI(G，M，I)∈AELI(G，M，I)。

下證AELI(G，M，I)?LI(G，M，I)。

任取((X，Y)，A)∈AEL(G，M，I)，由三支概念的定義知，由于LI(G，M，I)=LI(G，M，IC)，故從而又由于內(nèi)涵具有保交性，所以即A∈LI(G，M，I)，從而AELI(G,M,I)?LI(G，M，I)。

綜上，LI(G，M，I)=AELI(G,M,I)。

定義a：L(G，M，I)→AEL(G,M,I)，對(duì)于任意顯然a是一個(gè)雙射。若(X1，A1)≤(X2，A2)，則A1?A2。又由a的定義知因?yàn)锳1?A2，所以即a(X1，A1)≤a(X2，A2)，反之也成立。從而a是L(G，M，I)到AEL(G,M,I)的序同構(gòu)，即L(G，M，I)?AEL(G，M，I)。

通過(guò)例子凈化的對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景的概念格、補(bǔ)背景的概念格以及AE-概念格。

例3（續(xù)例1）將表1中形式背景凈化，得凈化形式背景如表2所示。

表2 表1的凈化形式背景(G’,M,I)

例4（續(xù)例3）表2的概念格，補(bǔ)背景概念格，AE-概念格分別如圖1、圖2、圖3所示。

圖1 L(G’,M,I)

圖2 L(G’,M,IC)

圖3 AEL(G’,M,I)

若(G，M，I)不是凈化的對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景，L(G，M，I)與AEL(G，M，I)是否還會(huì)同構(gòu)，事實(shí)上，這里的凈化條件是多余的。若(G，M，I)是對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景但不是凈化背景，則對(duì)于g∈G，存在多個(gè)對(duì)偶對(duì)象，假設(shè)存在兩個(gè)對(duì)偶對(duì)象h，t，可知h*=t*，根據(jù)約簡(jiǎn)的性質(zhì)知，在構(gòu)造格時(shí)，t或者h(yuǎn)可以看成看作可約對(duì)象，進(jìn)而可將原形式背景化為凈化的對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景。由此可以將上述定理推廣至如下結(jié)論。

定理7若(G，M，I)為對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景，則L(G，M，I)?L(G，M，IC)且L(G，M，I)?AEL(G，M，I)。

根據(jù)上述幾個(gè)結(jié)論，研究AE-概念格的構(gòu)造方法。

根據(jù)定理6的證明，很容易得到利用概念格構(gòu)造AEL(G，M，I)的方法，如下述定理所述。

定理8若(G，M，I)為對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景，

定理8 與定理5結(jié)合，可以得到利用概念格與補(bǔ)背景的概念格AE-概念格一種方法，如下所示。

推論1若(G，M，I)為對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景，

則AEL(G，M，I)={((X，Y)，A)|(X，A)∈L(G，M，I)且(Y，A)∈(G，M，IC)}。

3 結(jié)語(yǔ)

目前形式概念分析及三支概念分析均已發(fā)展成為數(shù)據(jù)分析和知識(shí)發(fā)現(xiàn)的有效工具。本文主要通過(guò)研究形式背景的對(duì)象特征，討論了概念格、補(bǔ)背景的概念格及AE-概念格三者在概念內(nèi)涵、概念以及格結(jié)構(gòu)上的關(guān)系。具體地，證明了在對(duì)象誘導(dǎo)的對(duì)偶背景下，AE-概念格、概念格及補(bǔ)背景的概念格是同構(gòu)的。最后還給出了AE-概念格的兩種構(gòu)造方法。本文討論的是一種簡(jiǎn)單的形式背景。事實(shí)上，值得進(jìn)一步思考的是若對(duì)于某一對(duì)象g∈G，不存在對(duì)偶對(duì)象，三者具有的關(guān)系，以及進(jìn)一步研究AE-概念格與概念格同構(gòu)的必要條件。