吳央軍 呂春女
在一次小學數(shù)學期末質(zhì)量監(jiān)測中,有兩道考查“小數(shù)除法計算”的試題出現(xiàn)了“反?!钡牡偷梅致?。所謂反常:一是該題預計難度系數(shù)與實測難度系數(shù)相差甚遠;二是該題與其他計算題的得分率相差甚遠。我們來看:
題一是一道小數(shù)除法的計算題,考查的知識有兩點:一是小數(shù)除法的計算;二是求商的近似值。全縣參考人數(shù)為6407人,預計得分率為75%,實際得分率只有56%。題二雖然是以填空題形式出現(xiàn),考查的卻是學生對計算過程中對小數(shù)除法豎式中各部分意義的理解。因此從廣義上講,這也是一道小數(shù)除法的計算題。本題預計得分率為70%,實際學生的得分率是50.1%。除此兩題外,其余計算題的得分率均超過80%。
這引起了筆者的思考,對學生來說“小數(shù)除法計算”為什么會比其他計算要難?難在什么地方?
根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分析,主要有以下幾個方面。
計算一個數(shù)除以小數(shù),要將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù),為了保持商不變,被除數(shù)也應該擴大相應的倍數(shù)。列豎式計算式時,要通過小數(shù)點的移動來實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化,外顯特征為小數(shù)點位置的變化。這一變化實際包含兩個步驟(以1.55÷3.9為例):一是移動除數(shù)的小數(shù)點,將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)。即3.9轉(zhuǎn)化成39,相當于將除數(shù)擴大到原來的10倍。二是移動被除數(shù)小數(shù)點,將被除數(shù)也擴大到原來的10倍。顯然,這對于學生來說并不是一件容易的事。
如圖1所示,該題轉(zhuǎn)化過程出現(xiàn)了錯誤,除數(shù)的小數(shù)點向右移動了一位,被除數(shù)的小數(shù)點卻向右移動了兩位。為什么會出現(xiàn)這種情況呢?這是因為,“1.55÷3.9”被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比除數(shù)多,這種類型的題目例題中并沒有單獨安排,只是在“做一做”中以練習的形式出現(xiàn)。
圖1
反觀“一個數(shù)除以小數(shù)”的例題,如下圖2:
圖2
7.65÷0.85的豎式,被除數(shù)與除數(shù)的小數(shù)位數(shù)相同,這是最簡單的情況,只要同時撇去被除數(shù)與除數(shù)的小數(shù)點,就實現(xiàn)了全部的轉(zhuǎn)化過程。該學生可能受此外顯操作遷移,認為所有的小數(shù)除法都是只要把被除數(shù)與除數(shù)的小數(shù)點同時撇去就可以,于是得出“商的小數(shù)點與被除數(shù)的末位后面對齊”這樣一個錯誤的結(jié)論。
小數(shù)除法的計算中將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)來計算后,學生對除法豎式中每一步所表示的意義的掌握感到困難。以“一根4.88米的木料,每0.12米鋸一段,可以鋸( )段,還余( )米”為例,豎式如下圖3:
圖3
豎式中,被除數(shù)“4.88”表示這根木料全長4.88米,除數(shù)“0.12”表示每0.12米鋸一段,商“40”表示可以鋸成這樣的40段,余數(shù)“8”實際上是“8 個 0.01”,表示還余下0.08米。學生對此卻沒有清晰的理解。據(jù)樣本數(shù)據(jù)分析,學生錯誤情況主要集中表現(xiàn)為以下幾種:
圖4
圖5
圖6
可以看出學生對算式各部分意義的理解存在困難,具體表現(xiàn)在以下幾個方面:
(1)對商中每個數(shù)位上的數(shù)表示的意義理解困難。
筆者認為,圖4答案的整數(shù)部分出現(xiàn)錯誤,并非小數(shù)點位置的錯誤,而是另有原因。我們來還原計算過程,如下圖7:
圖7
我們發(fā)現(xiàn),學生計算4.88除以0.12時,將原式轉(zhuǎn)化成488除以12計算,在十位上商8,個位移下來,不夠商1,計算就此結(jié)束,從而得出商4余數(shù)0.08的錯誤結(jié)論。轉(zhuǎn)化后,學生對每個數(shù)位上商所表示的意義不是很清晰,錯將4個十當成了4個一,造成商末尾的0漏掉了。不僅如此,我們還發(fā)現(xiàn)該同學對“余下幾米”這個問題也曾糾結(jié),可見對除數(shù)和余數(shù)的區(qū)分也不是很清晰。
(2)將商的小數(shù)部分錯當余數(shù)。即圖5答案。那么這種情況是怎么來的呢?我們來看豎式,如下圖8:
圖8
學生對商的小數(shù)部分理解錯誤,錯將商的小數(shù)部分當作余下的米數(shù)。從學生的修改痕跡來看,學生僅在糾結(jié)用循環(huán)小數(shù)還是用近似值來描述,殊不知該“0.7”表示的只是剩下的米數(shù)約能做0.7根,而不是還余0.7米。
(3)對余數(shù)的意義理解困難。即圖6答案。根據(jù)商不變性質(zhì),將“4.88÷0.12”轉(zhuǎn)化成“488÷12”后,商不變,余數(shù)卻隨著被除數(shù)與除數(shù)的變化,擴大到原來的100倍,因而求原來的余數(shù),應將8縮小回原來的100倍,即0.08。學生因?qū)ι滩蛔冃再|(zhì)理解不到位,將兩者完全等同起來,錯將轉(zhuǎn)化后的余數(shù)“8”理解為“8 個 1”,從而得出還余8米的結(jié)論。
除了轉(zhuǎn)化有難度外,我們發(fā)現(xiàn)除法計算過程出現(xiàn)的情況也較為復雜,其中很大一部分為整數(shù)除法難點的遺留。還以“1.55÷3.9”為例,主要表現(xiàn)在以下幾個方面:
(1)同一數(shù)位多次求商。如下圖9:
圖9
學生將 1.55÷3.9轉(zhuǎn)化成15.5÷39后,十分位上商3余38,又用“38”除以除數(shù),在百分位上商“0”。在這里“38”表示十分位除后還余38個十分之一,要先添“0”,變成380個百分之一,再除以39。要解決這種錯誤,學生必須明白每一步表示什么意義,正確掌握“除到哪一位商就寫在那一位的上面”。這樣才不會出現(xiàn)同一數(shù)位多次求商的現(xiàn)象。
(2)初商過小不會調(diào)。如下圖10:
圖10
除法中,遇到某次余數(shù)沒有比除數(shù)小,說明初商過小,只需要把商調(diào)大。上述學生在百分位上商 7 后,余數(shù)是“107”大于“39”,卻沒有將百分位上的商調(diào)大,而是又用39去除了一次。究其原因,也是對算理的理解不夠透徹,他不明白第二次用39去除107得到的商2還表示2個百分之一,和原來的7個百分之一合起來是9個百分之一,只需要在百分位上寫9,而不是把2寫在千分位上。
(3)進位退位容易錯。如下圖11、12:
圖11
圖12
一個除法豎式,簡直是加、減、乘、除大集合,若遇除數(shù)數(shù)值偏大,計算難度就增加。上述兩種錯誤并非個別現(xiàn)象,據(jù)抽樣分析,錯誤學生中,約有30%是因為進位、退位不熟練造成的。
對學生來說,小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法的過程較為復雜,具體細化為下面幾種情況:
(1)除數(shù)是一個整數(shù)的。如22.4÷4,可以直接除,需要注意的是商的小數(shù)點與被除數(shù)的小數(shù)點對齊。
(2)被除數(shù)是一個整數(shù)。如23÷1.5,列豎式時需要把被除數(shù)和除數(shù)同時擴大到原來的10倍,即小數(shù)點向右移動一位。外顯操作為在撇去除數(shù)小數(shù)點同時需要在被除數(shù)末尾添0。
(3)除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比被除數(shù)少。如1.55÷3.9,列豎式時需要把被除數(shù)和除數(shù)同時擴大到原來的10倍,即小數(shù)點向右移動一位。外顯操作為在撇去除數(shù)小數(shù)點,撇去被除數(shù)“1”后小數(shù)點同時再往右數(shù)第一位數(shù)“5”的后面點上新的小數(shù)點。
(4)除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比被除數(shù)多。如12.6÷0.28,列豎式時要把小數(shù)點向右移動兩位,被除數(shù)小數(shù)位數(shù)不夠時需要用“0”補足。外顯操作為撇去除數(shù)小數(shù)點和“0”,再撇去被除數(shù)小數(shù)點后同時添上一個“0”。
(5)除數(shù)的小數(shù)位數(shù)與被除數(shù)相同時。如11.7÷2.6,豎式計算時只需將被除數(shù)和除數(shù)同時擴大到原來的10倍。外顯操作為同時撇去除數(shù)和被除數(shù)的小數(shù)點。
當情況變得復雜的時候,學生就容易出現(xiàn)錯誤。糾正這樣的錯誤,需要幫助學生抓住本質(zhì)要素。所有的轉(zhuǎn)化類型,其依據(jù)都是“商不變性質(zhì)”。夯實“商不變性質(zhì)”,可幫助學生清晰掌握算理——將被除數(shù)和除數(shù)的小數(shù)點同時向右移動相同的位數(shù),商保持不變。同時清晰掌握算法——把被除數(shù)和除數(shù)的小數(shù)點同時向右移動相同的位數(shù),將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)計算。只有這樣,學生面對具體情況時才能思路清晰,轉(zhuǎn)化正確。
教材在編排小數(shù)除法的學習時,并不單以算式的形式出現(xiàn),而是結(jié)合具體的情境出現(xiàn)。因此,教學中我們要充分利用問題的“故事”情境,結(jié)合學生的生活經(jīng)驗和已有知識,引導學生自主探索小數(shù)除法的計算方法,理解小數(shù)除法的算理。
(1)借“故事”明算理。以題二為例,“一根4.88米的木料,每0.12米鋸一段,可以鋸()段,還余()米”??梢越柚着c厘米之間的關(guān)系來溝通“商不變性質(zhì)”,將問題轉(zhuǎn)化成求“488厘米里有幾個12厘米”,這就相當于將“被除數(shù)和除數(shù)同時擴大100倍,商不變”。引導學生發(fā)現(xiàn)其共同點都是將除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法,從而進一步理解小數(shù)除法的算理。同時結(jié)合具體情境,理解除法豎式中每一步所表示的實際意義,這樣余數(shù)“8”表示還剩8厘米,即0.08米。
(2)為算理找“故事”。例如計算“1.55÷3.9”時,引導學生思考:可以借助什么“故事”來溝通算理,除了利用長度單位還有什么辦法嗎?讓學生自主編出合理的“故事”以解釋算理。學生通過思考、討論,明白要將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)來計算,需要把除數(shù)和被除數(shù)同時擴大到原來的10倍,進率為十的量都可以用來溝通。為算理找“故事”讓商不變性質(zhì)不再抽象,讓小數(shù)除法的算理找到落腳點。
很多教師在新授課中都比較重視在理解算理的基礎(chǔ)上總結(jié)算法,學習計算后通常設(shè)計“計算”與“解決問題”來跟進算法的鞏固,而忽視算理的練習。事實上,除此之外還需要在練習中加以鞏固學生對算理的理解。讓學生不只是盲目地記住怎樣操作,而是充分理解算理之后的算法概括,從而真正提升計算素養(yǎng)。
(1)“有理說得清”——讓“說理”成為常規(guī)性作業(yè)。利用好教材的例題及練習題,在小數(shù)除法新課學習后可以要求學生自由選擇某一豎式同桌互說算理、算法,說清楚如何轉(zhuǎn)化,依據(jù)什么性質(zhì)。例如下題(圖13):
圖13
可以計算之前說說怎樣移動小數(shù)點,為什么這樣移動;也可以計算之后說說怎么算的,每一步表示什么;或者可以結(jié)合具體情境,用情境解釋算理。
(2)“有理寫得明”——讓“明理”成為可外顯練習。與說相比,用文字把思考過程寫出來,經(jīng)過更多的整理外化,在寫的過程中增加了調(diào)整的機會,讓計算思維變得外顯而可操作。如下圖14:
圖14
教材中的例題給我們提供了很好的典范,只要稍加利用,進行追問或改編,就可以成為針對性的算理練習。從而使學生在練習中強化算理與算法的結(jié)合。
(3)“有理評得出”——讓“算理”成為可測試問題。我們應該在平時評價中自主設(shè)計需要利用算理進行解釋的問題,并在階段性測試中增加此類要求,以增加學生的重視程度,檢測學生理解的程度。
筆算除法的得分率比其他運算要低,這是由除法豎式本身的特點決定的。整數(shù)除法中常見的錯誤在小數(shù)除法中也會經(jīng)常出現(xiàn)。要解決這些錯誤,就要夯實筆算除法的基礎(chǔ)。二年級第一次接觸到筆算除法時,可以結(jié)合實物、圖像,幫助學生理解除法豎式的意義、寫法;三年級學習除數(shù)是一位數(shù)的除法時,鞏固二年級豎式的寫法。在此基礎(chǔ)上結(jié)合算理,讓學生明確算法,掌握“除到哪一位商就寫在那一位上面”,明白同一數(shù)位不可以多次求商;四年級學習除數(shù)是兩位數(shù)的除法時,鞏固二、三年級的知識,在此基礎(chǔ)上學習除數(shù)是兩位數(shù)的除法試商、調(diào)商、求商;五年級學習的小數(shù)除法,是在二、三、四年級的基礎(chǔ)上,進一步將除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法計算。在螺旋上升的過程中,每一個易錯點將反復出現(xiàn),必須加強鋪墊與練習,以彌補薄弱,突破難點,讓學生在反復更正中不斷進步。