◇馬 宇

【課前思考】

一 教學現(xiàn)狀

提起“倍的認識”，很多教師的頭腦中會出現(xiàn)如圖1這樣的圖像：

圖1

也會出現(xiàn)這樣的句式： 把2 朵紅花看作一份，黃花里有3 個2 朵，我們就說黃花的朵數(shù)是紅花的3 倍。由此可見，在“倍”概念的學習中，教師過于關注概念表述的“精確”，而忽略了其實質(zhì)和實際的背景。

二 理清概念網(wǎng)絡

“倍”的產(chǎn)生源于比較，在小學階段，如果以“倍”概念的構建作為一個觀察點，往前看，我們可以看到一、二年級的“比多少”，因為“倍”和“比多少”的共同點都是說明兩個量之間的關系，不同的是“比多少”重點關注多出的部分——兒童可以利用已知經(jīng)驗數(shù)出來，而“倍”關注的是多倍量整體——兒童需要先圈，再數(shù)出圈的個數(shù)；往后看，我們可以看到“分數(shù)”“比”，因為在生活中或兒童繼續(xù)學習數(shù)學中，會發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)量的倍數(shù)關系不僅有整數(shù)還有分數(shù)；不僅同類量有倍數(shù)關系，非同類量也有倍數(shù)關系——比如, 速度＝距離÷時間。

三 借問題情境形成概念體系

由于建構“倍”概念，需要兒童實現(xiàn)從絕對數(shù)量的比較到相對數(shù)量比較的飛躍，具有一定的抽象性和概括性，而兒童的思維具有具體、形象的特點，為了解決這一矛盾，需要教師精心設計典型性、啟發(fā)性和趣味性兼?zhèn)涞膯栴}情境，以促使兒童經(jīng)歷一個主動建構、層層遞進、內(nèi)化深入的思維過程，在頭腦中逐步形成關于“倍”的概念系統(tǒng)。

一 問題情境向前面延伸： 激活經(jīng)驗——讓

【課堂實踐】兒童獲得概念意象

在課始，我們把學校的烘焙課程搬到了數(shù)學課堂，通過比較香甜的蛋糕和比薩的數(shù)量，既營造了溫馨的學習環(huán)境，同時促進兒童主動將一年級學習過的“比多少”和本節(jié)課要學習的新概念“倍” 進行關聯(lián)，并在此基礎上讓兒童初步理解“倍”。

【片段一】生成“倍”的認識

師：看，老師給大家?guī)砹耸裁矗?/p>

生：蛋糕。

師：還準備了一些比薩，比薩的塊數(shù)比蛋糕多一些，可能是幾塊呢？

（根據(jù)學生的回答，課件出示圖2）

圖2

師：在這三幅圖中，哪一幅中比薩多出的數(shù)量最與眾不同?你是怎么想的？

生1：第二種，因為比薩比蛋糕多出來的是雙數(shù)，其他多出來的是單數(shù)。

生2：第一種，因為多出來的比薩最少。

生3：第三種不同，因為比薩多出來的和蛋糕一樣多。

（大多數(shù)同學都表示同意生3 的意見）

師：既然多數(shù)同學都覺得第三幅最特別，就請你用自己喜歡的方式來表達6 和3 之間這種特殊的關系吧。

（學生獨立練習，然后展示） 層次一：3+3=6，6=3+3，6-3=3； 層次二： 二三得六，2 個3 是6，6 里面有2 個3；層次三：6 是3 的2 倍。

教師抓住層次三追問：2 在哪里？［指名學生到黑板上圈一圈（如圖3）］

圖3

師：誰有問題要問他？

生1：為什么要3 個圈在一起？

生2：因為蛋糕就是3 塊。

師：你們知道他把幾塊看作1 份了嗎？

生：把3 塊看作1 份。

師：明明是3 塊蛋糕，為什么要說成是1？

生2： 因為比薩都是和蛋糕比，所以要把3塊蛋糕看作1 份。

師：把3 塊蛋糕看作1 份，比薩就有這樣的2 份，我們就說比薩的塊數(shù)是蛋糕的2 倍。

師：通過剛才研究比薩和蛋糕“比多少”的情況，我們知道了其中還會出現(xiàn)1 份和幾份的關系，這就是我們今天要認識的新朋友“倍”（板書課題）。

【片段二】鞏固“倍”的認識

課件出示圖4。

圖4

師：比薩挺調(diào)皮的，看，現(xiàn)在比薩的塊數(shù)是蛋糕的幾倍？

生：2 倍，因為雖然比薩放亂了，但蛋糕還是3 塊，比薩也應該把3 塊當1 份，有這樣的2 份。

師：“幾倍” 說的是兩個數(shù)量之間的關系，與位置無關。

二 問題情境往寬處打開：多元表征——讓兒童掌握概念本質(zhì)

布魯納認為，在人類的智慧生長期，有3 種表征系統(tǒng)在起作用，即動作表征、表象表征和符號表征。因此，幫助兒童掌握“倍”概念的本質(zhì)，不僅是引導他們說出具體情境中兩個量的倍數(shù)關系，而且需要設計一系列的變式，需要兒童通過觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納，靈活運用多種形式去表征，諸如擺學具、畫圖示、說關系、列算式等，才能建構起對“倍”的深刻認識。

【片段三】提升“倍”的認識

小組合作：畫圖表示比薩的塊數(shù)是蛋糕的3 倍。

師： 大家能想象出這幅圖是什么樣的嗎？小組同學先商量一下，再把想法表示出來。

1.小組活動，教師巡視。

2.交流展示。

組1：我們有兩種方法，一種是把蛋糕去掉1塊，這樣6 里面有3 個2，比薩是蛋糕的3 倍；另外一種是蛋糕不動，再添上3 塊比薩，比薩也是蛋糕的3 倍。（圖略）

組2：我們的方法是這樣的。（如圖5）

圖5

組3：他們組畫的太麻煩了，我們可以畫一個圖表示。（如圖6）

圖6

組4：我們同意第三組的想法，不管蛋糕有幾塊，只要比薩有3 份蛋糕那么多，比薩的塊數(shù)就是蛋糕的3 倍。

師：你們真了不起！請認真觀察這幾幅圖，它們有什么相同點？

師：一般情況下，我們往往以較小的數(shù)為標準，把它看作1 份，較大的數(shù)正好有這樣的幾份，我們就說較大的數(shù)是較小的數(shù)的幾倍。

【片段四】深化“倍”的認識

師：現(xiàn)在我們把神奇的圈圈請上大屏幕（如圖7），紅色部分是綠色部分的幾倍？

圖7

師：觀察圖8，綠帶子的長是紅帶子的幾倍？

圖8

生：綠帶子的長是紅帶子的5 倍，因為形狀雖然變了，但還是把綠帶子看作1 份，紅帶子有這樣的5 份。

師：觀察圖9，現(xiàn)在綠帶子的長是紅帶子的幾倍？

圖9

生：還是5 倍，雖然紅帶子換了位置，但還是把它看作1 份，綠帶子有5 份那么長。

師：觀察圖10 的變化，讓帶子細一些、再細一些，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

圖10

生：帶子越來越細，最后變成了線段。

師：在這條線段上，你能找到哪些倍數(shù)關系？

生1：5 倍，把前面的一小段看作1 份，后面的線段就有5 份，后面線段的長是前面線段的5 倍。

生2：6 倍，我也把前面的一小段看作1 份，整條線段的長就有這樣的6 份，所以整條線段的長是前面線段的6 倍。

生3：3 倍。

學生上臺介紹，教師出示課件，如圖11。

圖11

師：如果給大家足夠多的時間，相信你們能找到更多的倍數(shù)關系。（如圖12）

圖12

師：請看最后一條線段，后面線段的長是前面線段的幾倍？你是怎么想的？

生：1 倍，因為前面和后面線段的長都是3份，所以可以說后面線段的長是前面線段的1倍，也可以說前面線段的長是后面線段的1 倍。

師：同學們分析得真好！在講幾倍時，我們經(jīng)常以較小數(shù)為標準，但當標準由較小數(shù)變成較大數(shù)時，我們又該怎樣來表達它們之間的關系呢？這個問題有挑戰(zhàn)性，讓我們再回到甜蜜的烘焙樂園。

三 問題情境朝后面整合：深度思維——讓兒童形成概念體系

孤立的數(shù)學概念是不存在的，為了營造兒童生成概念體系的外部環(huán)境，我們就要立足于數(shù)學知識的邏輯結構，讓兒童看清知識本質(zhì)、理順知識關系。由于“倍”隸屬于“兩數(shù)之間的關系比較”，與“比”一起架構起兩數(shù)“倍比關系”的表示方式，因此本節(jié)課中兒童對“倍”的認識,不能僅僅停留在“幾份”或“幾個幾”上面，還要讓學生感悟到“倍”與“比”之間的關系，即通過“凸顯‘標準’學習‘倍’”“變換‘標準’引‘分數(shù)’”的學習途徑，讓兒童通過深度思維溝通“倍”“比”的聯(lián)系，逐步形成有關“比率”的概念系統(tǒng)。

【片段五】完善“倍”的認識

1.逆向思考，溝通倍與分數(shù)。

師：剛才我們以蛋糕為標準，說比薩的塊數(shù)是蛋糕的2 倍。 如果現(xiàn)在以數(shù)量多的比薩為標準，蛋糕的塊數(shù)是比薩的幾倍呢？（課件出示圖13）

圖13

生1：2 倍。

生2：1 倍。

生3：1 倍也不到。

師：如果以比薩的塊數(shù)為標準，蛋糕的塊數(shù)正好是它的一半，我們就說蛋糕的塊數(shù)是比薩的半倍，半倍在數(shù)學上可以用一個數(shù)“”來表示，這是一個分數(shù)，讀作：二分之一。

師：還是以比薩為標準，去掉1 塊蛋糕，蛋糕的塊數(shù)是比薩的幾分之一？

2.延續(xù)情境，初步認識“比”。

師：大家知道嗎，到了六年級，我們剛剛分析的蛋糕和比薩的數(shù)量關系還可以寫成1∶2，讀作：一比二。這個比又表示什么意思呢？和“倍”有什么關系呢？我們以后再學習。