◇任占杰

在平時(shí)聽課和質(zhì)量監(jiān)測(cè)中我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前課堂教學(xué)中仍然存在“重結(jié)果、輕過(guò)程”的問(wèn)題?！拜p過(guò)程”，會(huì)讓學(xué)生缺失經(jīng)歷知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程，缺失獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，缺失對(duì)問(wèn)題解決方法、策略的體驗(yàn)……而這些恰恰是學(xué)生深度學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)生根發(fā)芽的沃土。

一 如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)

對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的認(rèn)識(shí)容易窄化為課堂上學(xué)生個(gè)體的動(dòng)手操作或小組合作活動(dòng)，甚至有的教師片面地認(rèn)為數(shù)學(xué)活動(dòng)專指數(shù)學(xué)活動(dòng)課、 實(shí)踐課。 依據(jù)2011年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念，數(shù)學(xué)活動(dòng)指從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng)，即將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)孕育于活動(dòng)之中，活動(dòng)中有數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)的思考、數(shù)學(xué)的表達(dá)。鑒于此，數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)具備以下特質(zhì)：

1.承載知識(shí)本質(zhì)。

深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)是理解。 只有理解知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，才能舉一反三、遷移應(yīng)用。因此，基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)首先要承載知識(shí)本質(zhì)。

張奠宙教授對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)做了如下界定：數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過(guò)程，數(shù)學(xué)思想方法的提煉，數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)。除此之外，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)的求真、求簡(jiǎn)之美，也是其本質(zhì)內(nèi)涵之一。

以三年級(jí)“面積單位間的進(jìn)率”一課為例。如圖1，人教版教材中呈現(xiàn)邊長(zhǎng)為1 分米（10 厘米）的正方形及兩個(gè)學(xué)生的對(duì)話，體現(xiàn)其本質(zhì)內(nèi)涵是借助正方形面積的計(jì)算方法，由長(zhǎng)度單位的進(jìn)率推演面積單位的進(jìn)率的過(guò)程。 這個(gè)過(guò)程既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推理在探究面積單位間的進(jìn)率過(guò)程中的作用。

圖1

怎樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)才能承載這一知識(shí)本質(zhì)作用呢？ 請(qǐng)感受如下不同的數(shù)學(xué)活動(dòng)對(duì)學(xué)生感悟知識(shí)本質(zhì)的作用：

【活動(dòng)1】

核心問(wèn)題：猜想1 平方分米等于多少平方厘米。

學(xué)習(xí)材料：1 平方分米的正方形和1 平方厘米的正方形。

活動(dòng)指令：利用擺一擺、畫一畫、算一算的方法，對(duì)自己的猜想進(jìn)行驗(yàn)證。

【活動(dòng)2】

核心問(wèn)題：1 平方米=100 平方分米，為什么像這樣兩個(gè)相鄰面積單位間的進(jìn)率是100 呢？

學(xué)習(xí)材料：學(xué)習(xí)單、信封（里面裝有兩張大小不同的正方形紙）。

活動(dòng)指令：在學(xué)習(xí)單上，通過(guò)寫一寫、畫一畫說(shuō)明道理。如果有困難，可以借助信封里一大一小兩張正方形紙，啟發(fā)思考。

比較兩個(gè)活動(dòng)，最大的區(qū)別是提供的學(xué)習(xí)材料和活動(dòng)指令的不同。

活動(dòng)1 利用材料進(jìn)行驗(yàn)證。該活動(dòng)更多指向通過(guò)用小面積單位（正方形）鋪大面積單位（正方形）發(fā)現(xiàn)相鄰面積單位間的進(jìn)率關(guān)系。盡管數(shù)學(xué)推理也有體現(xiàn)，但教師的硬性指令（算一算）削弱了學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、推理、思考的程度。

活動(dòng)2 通過(guò)提供學(xué)習(xí)單幫助學(xué)生明理。該活動(dòng)不僅給學(xué)生提供了思考的起點(diǎn)，而且關(guān)注全體，使不同層次的學(xué)生從事不同層次水平的數(shù)學(xué)活動(dòng)。（1）推理能力較強(qiáng)的學(xué)生，可以直接寫一寫說(shuō)明道理，這一過(guò)程就是數(shù)學(xué)推理。沒(méi)有任何暗示，讓學(xué)生從自己思考的起點(diǎn)入手，這是聚焦知識(shí)本質(zhì)的思維活動(dòng)。（2）對(duì)于直接明理有困難的學(xué)生，教師提供點(diǎn)子圖幫助其理解。點(diǎn)子圖的設(shè)計(jì)給學(xué)生提供測(cè)量、 連線以達(dá)到直觀理解的機(jī)會(huì)，為促進(jìn)學(xué)生由長(zhǎng)度單位間的進(jìn)率推演面積單位間的進(jìn)率提供扶手。（3）對(duì)于還有困難的學(xué)生，給其提供動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)他們對(duì)信封中的一大一小兩個(gè)正方形進(jìn)行拼擺，觀察、發(fā)現(xiàn)進(jìn)率關(guān)系。無(wú)論哪種情況，都為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)思考的機(jī)會(huì)。其中，“寫一寫”環(huán)節(jié)尤為重要，它引導(dǎo)學(xué)生將發(fā)現(xiàn)、思考進(jìn)行梳理、表達(dá)，這就是數(shù)學(xué)推理。所以，這樣的活動(dòng)就是聚焦知識(shí)本質(zhì)、發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

2.凸顯數(shù)學(xué)思考。

數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思考。如果數(shù)學(xué)活動(dòng)只停留在動(dòng)手操作的外在形式上，也就失去了數(shù)學(xué)活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的價(jià)值。如上述兩個(gè)活動(dòng)，活動(dòng)2 比活動(dòng)1 更具思考性，因?yàn)槠湓O(shè)計(jì)的指向性范圍小，所以更能促進(jìn)學(xué)生從源頭思考。

以五年級(jí)“真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)”一課為例。教師在課始設(shè)計(jì)了如下活動(dòng)：

活動(dòng)指令：它是分?jǐn)?shù)，讀作四分之五。請(qǐng)你試著在紙上畫圖表示出這個(gè)分?jǐn)?shù)。

此活動(dòng)思考性很強(qiáng)，因?yàn)樗鼮閷W(xué)生提供了認(rèn)知加工的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，以個(gè)體的認(rèn)知方式嘗試建構(gòu)假分?jǐn)?shù)的意義，盡管結(jié)果不一定完善，但學(xué)生經(jīng)歷了認(rèn)知自主加工的思考過(guò)程。

3.符合真實(shí)學(xué)情。

數(shù)學(xué)活動(dòng)的價(jià)值在于讓學(xué)生基于已有的經(jīng)驗(yàn)，親身經(jīng)歷知識(shí)形成的探究過(guò)程，產(chǎn)生深刻體驗(yàn)和獨(dú)立思考。所以，課堂上教師為學(xué)生設(shè)計(jì)的活動(dòng)應(yīng)以符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)為原則，這才是切合學(xué)生實(shí)際的有效數(shù)學(xué)活動(dòng)。

“三角形三邊關(guān)系”一課作為命題教學(xué)，旨在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。 讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、推理、驗(yàn)證的過(guò)程，無(wú)可厚非。但是當(dāng)面對(duì)下面的課前調(diào)研結(jié)果（如圖2）時(shí)，就需要重新思考：是否有必要將學(xué)生對(duì)“三角形三邊關(guān)系”的認(rèn)知置于零起點(diǎn)的位置來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)呢？ 我們認(rèn)為，課堂不應(yīng)是學(xué)生配合教師完成教學(xué)流程，而是教師要為學(xué)生的“學(xué)”服務(wù)。

圖2

4.選擇恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方式。

隨著課程改革的深入，大家越來(lái)越關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革，非常認(rèn)可探究性、體驗(yàn)式學(xué)習(xí)?！翱撕颓Э恕弊鳛橐还?jié)建立量感的課，讓學(xué)生經(jīng)歷體驗(yàn)活動(dòng)必不可少。例如，掂一掂一本字典、一袋糖，拎一拎一袋大米，背一背同學(xué)等感受質(zhì)量的活動(dòng)，充分體現(xiàn)了體驗(yàn)式學(xué)習(xí)對(duì)于二年級(jí)學(xué)生建立量感的重要性。

但在知識(shí)領(lǐng)域中，并非所有的學(xué)習(xí)都適宜采用探究性、體驗(yàn)式的學(xué)習(xí)方式。像一些陳述性知識(shí)，接受式學(xué)習(xí)不可回避。以二年級(jí)的“除法豎式”為例。除法豎式的書寫規(guī)則，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是陳述性知識(shí)，無(wú)須自主探究，接受式教學(xué)完全可以解決。 但由于除法豎式不僅僅表示分物的結(jié)果，而且表示分物的過(guò)程，而二年級(jí)學(xué)生恰恰有豐富的分物經(jīng)驗(yàn)，如果將學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)與人為規(guī)定的抽象豎式有效對(duì)接（如圖3），使學(xué)生知其然還知其所以然，則屬于有意義接受，即學(xué)生在接受式的學(xué)習(xí)過(guò)程中，主動(dòng)介入個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷自主建構(gòu)的過(guò)程。所以，我們認(rèn)為選擇恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方式是提高數(shù)學(xué)活動(dòng)質(zhì)量的關(guān)鍵一環(huán)。

圖3

二 如何設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)

1.關(guān)注兩個(gè)維度。

一個(gè)是知識(shí)維度，即知識(shí)本質(zhì)；另一個(gè)是認(rèn)知維度，即認(rèn)知過(guò)程。

關(guān)于知識(shí)本質(zhì)，既需要教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解，還需要教師對(duì)教材的整體把握和深度解讀。為什么學(xué)生對(duì)平方米與公頃間的關(guān)系往往停留在記憶性的掌握，而無(wú)絲毫的推理意識(shí)？這需要反思課堂，學(xué)生在建構(gòu)認(rèn)識(shí)時(shí)是否經(jīng)歷了推理過(guò)程？調(diào)研中，有些教師提出教材中并沒(méi)有明確的提示，僅是簡(jiǎn)單的一句話，即“測(cè)量土地的面積，可以用‘公頃’作單位。邊長(zhǎng)是100 米的正方形面積是1 公頃?！逼鋵?shí)，三年級(jí)教材中“面積單位間的進(jìn)率”一課非常具體地呈現(xiàn)了這樣的過(guò)程（如圖1），四年級(jí)教材中的簡(jiǎn)單處理并不意味著在教學(xué)時(shí)可以簡(jiǎn)化這一過(guò)程，反而應(yīng)借此進(jìn)一步鞏固推理過(guò)程，提升學(xué)生的推理能力。因此，抓知識(shí)本質(zhì)，需要整體把握教材，理解教材所呈現(xiàn)的本質(zhì)內(nèi)涵。

關(guān)于認(rèn)知維度，要把握學(xué)生建構(gòu)概念的三個(gè)階段：動(dòng)作表征、表象表征、符號(hào)表征。這就要求我們?cè)谠O(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，要為學(xué)生提供動(dòng)手實(shí)踐的機(jī)會(huì)，提供借助直觀模型建立表象的機(jī)會(huì)，還要提供用符號(hào)進(jìn)行表達(dá)以建立模型的機(jī)會(huì)。

例如，五年級(jí)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一課的數(shù)學(xué)活動(dòng)很好地體現(xiàn)了上述三個(gè)階段。

（1）動(dòng)作表征階段。兩次找相等分?jǐn)?shù)，經(jīng)歷了數(shù)與形兩個(gè)維度的驗(yàn)證過(guò)程： 數(shù)——類比推理；形——突出從兩幅圖到一幅圖的驗(yàn)證過(guò)程。這樣做，不僅能使學(xué)生深入理解知識(shí)本質(zhì)，而且為建立表象表征做了充分準(zhǔn)備。

核心問(wèn)題2：像這樣相等的分?jǐn)?shù)還有嗎？請(qǐng)你再找一組，并用自己喜歡的方法驗(yàn)證。

學(xué)生驗(yàn)證：①運(yùn)用商不變的性質(zhì)驗(yàn)證（略）；②畫圖驗(yàn)證（如圖4）。

圖4

（2）表象表征階段。伴隨學(xué)生的快速解答，學(xué)生頭腦中不斷閃現(xiàn)直觀圖中一份分幾份、幾份合一份的圖像。這是依賴動(dòng)作表征的表象表征。

（3）符號(hào)表征階段。用符號(hào)或語(yǔ)言表達(dá)思考的過(guò)程。

核心問(wèn)題：你是怎么找到的？

學(xué)生回答如下：

②分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0 除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

2.關(guān)注目標(biāo)定位。

任何數(shù)學(xué)活動(dòng)都以達(dá)成目標(biāo)為目的，因此，教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定在一定程度上決定了數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的內(nèi)容、方式和活動(dòng)的價(jià)值取向。

以五年級(jí)“分?jǐn)?shù)的大小比較”一課為例。如果將教學(xué)目標(biāo)僅僅定位在比較分?jǐn)?shù)大小的方法、規(guī)律的總結(jié)與歸納上，這節(jié)課的重點(diǎn)會(huì)停留在對(duì)多組分?jǐn)?shù)的大小進(jìn)行觀察、比較、總結(jié)、歸納上，而忽視讓學(xué)生經(jīng)歷豐富的借助幾何直觀，感悟、理解分?jǐn)?shù)大小比較的本質(zhì)意義。本節(jié)課的目標(biāo)還可以定位在：（1）以豐富的生活經(jīng)驗(yàn)、直觀表象為支撐,經(jīng)歷多角度的明理過(guò)程，提高數(shù)學(xué)抽象、歸納、概括能力；（2）圍繞知識(shí)本質(zhì)，突出從分?jǐn)?shù)單位的角度明理，感悟單位思想，形成推理能力。這樣一來(lái)，學(xué)生將在豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)中建構(gòu)認(rèn)知。因此，本節(jié)課的設(shè)計(jì)可以分兩個(gè)層次：

第一個(gè)層次，同分母分?jǐn)?shù)大小比較——多角度明理，強(qiáng)化聯(lián)系，積累經(jīng)驗(yàn)。

第二個(gè)層次，同分子分?jǐn)?shù)大小比較——突出知識(shí)本質(zhì)，滲透單位思想。

3.關(guān)注核心問(wèn)題。

核心問(wèn)題指在每節(jié)數(shù)學(xué)課中，對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)、方法的探究、問(wèn)題解決策略的形成，起到方向性引領(lǐng)作用的話題。它可以是一個(gè)大問(wèn)題，亦可以是包含2 至3 個(gè)小問(wèn)題的問(wèn)題串，是課堂中數(shù)學(xué)活動(dòng)的索引，而非一問(wèn)一答式的細(xì)碎問(wèn)題。因此，核心問(wèn)題要具有寬度、深度和效度。

所謂寬度，指核心問(wèn)題的問(wèn)域要寬，給學(xué)生留有充足的研究、思考問(wèn)題的空間，避免直指結(jié)論。如“面積單位間的進(jìn)率”一課，“像這樣常用的相鄰兩個(gè)面積單位間的進(jìn)率為什么是100 呢？能不能證明一下”給學(xué)生提供了充足的思考、研究問(wèn)題的空間。

所謂深度，指核心問(wèn)題的思維深度。如“除法豎式”一課，“能不能將擺小棒的過(guò)程更簡(jiǎn)單地表示出來(lái)”促使學(xué)生將分的過(guò)程與豎式表達(dá)建立聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解，感受豎式表達(dá)的簡(jiǎn)潔之美。

所謂效度，指核心問(wèn)題的有效性。有效度的問(wèn)題具有一定的引領(lǐng)性，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程。如“圖形的旋轉(zhuǎn)”一課，“能不能用更加簡(jiǎn)潔、 準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述鐘面上表針是怎樣運(yùn)動(dòng)的”這一看似平常的提問(wèn)，實(shí)際上是統(tǒng)領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷觀察、對(duì)比、表達(dá)、交流的活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生聚焦旋轉(zhuǎn)的三要素，并進(jìn)行對(duì)比提煉及簡(jiǎn)明扼要的表達(dá)，這樣的過(guò)程就是建構(gòu)概念的過(guò)程。

4.關(guān)注材料提供。

這里的材料指從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的學(xué)習(xí)材料，它決定了數(shù)學(xué)活動(dòng)的有效性。

以五年級(jí)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”一課為例。有如下兩個(gè)案例：

圖5

案例2：只為學(xué)生提供圖形紙片。學(xué)生研究分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，圍繞“如何一眼看出的結(jié)果是” 這一問(wèn)題，利用圖形紙片自主進(jìn)行折、畫的操作活動(dòng)。這樣找出的新的分?jǐn)?shù)單位，不是讓學(xué)生看出來(lái)的，而是伴隨著推理得到的。

從上述案例我們發(fā)現(xiàn)：不是學(xué)習(xí)材料準(zhǔn)備得越精細(xì)，就越有利于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。提供的活動(dòng)材料既要能輔助學(xué)生進(jìn)行操作活動(dòng)，還要有利于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在活動(dòng)中思考，在思考中發(fā)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)主動(dòng)、獨(dú)立、自主建構(gòu)性學(xué)習(xí)。因此，活動(dòng)材料的提供要以能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行開放性的操作、獨(dú)立性的思考為準(zhǔn)則。