◇張齊華

一 回顧梳理，提出問題

師：今天這節(jié)課，我們一起來研究“正方形中的圓”（板書課題）。如何在正方形中畫盡可能大的圓，相信同學們已經(jīng)有了自己的認識。誰愿意和大家分享？

……

師：那么,你們能在正方形中畫2 個盡可能大的圓嗎？2個圓必須同樣大，還不能有重合的部分。想不想試一試？

生：想！

二 嘗試探究，遭遇挫折

師：拿出作業(yè)單，先想象一下這2 個圓可能在哪里，大概有多大。有思路了，再動手試一試。如果獨立完成有困難，也可以四人小組共同商量思路，然后給出你們的答案。

（學生獨立思考后，組內交流，嘗試著給出答案。隨后，全班展示）

師：誰愿意帶著你們小組的作品，和大家分享？

生：我們小組是這樣的。先把這個正方形分成2 個同樣的長方形，然后，在每個長方形里畫了一個最大的圓（如圖1）。這2 個圓不可能更大，而且也一樣大。我們覺得，這就是正方形里能夠畫的2 個最大的圓。

圖1

師：還有不一樣的思路嗎？

生：我們小組是這樣的。因為正方形不可能分成2 個同樣大小的小正方形，所以，我們先把正方形分成了4 個同樣的小正方形，然后，我們在其中2 個小正方形里畫了最大的圓。我們覺得，這就是正方形里能夠畫出的最大的2個圓。（如圖2）

圖2

師：還有不同的思路嗎？（沒有學生再舉手。教師巡視全班，剩下的小組要么作業(yè)紙上一片空白，要么有一些畫過的痕跡，但也被擦掉了）那行，關于屏幕上的這兩種思路，有什么想法？誰來評價？

生：我覺得這兩種思路都很好，畫出來的圓，也都是正方形里最大的2 個圓。

生：我有不同意見。我覺得第一種方法不對，畫出來的圓不是最大的。 如果我們把這個圓（下面的）移到最右邊，這時，2 個圓之間就會有很大的空隙。這樣，我們就可以把這2 個圓畫得更大一些！

師：閉上眼睛，在頭腦里想象一下，你們覺得他的想法有道理嗎？

生：有！

師：看來，這2 個圓，肯定不是正方形里所能畫的最大的2 個圓。還有誰想繼續(xù)評價？

生：我覺得第二種方法也不對。大家看，如果我們把這個大正方形中間的十字線去掉，就會發(fā)現(xiàn)，這2 個圓中間也有很大的空隙。也就是說，這2 個圓實際上還可以畫得更大！

生：而且，第二種方法畫出的圓和第一種方法畫出的圓一樣大。第一種方法錯了，第二種方法肯定也是錯的！

師：現(xiàn)在看來，這兩種方法都是錯誤的。不過，老師希望大家先給這兩個小組最熱烈的掌聲！（學生掌聲）大膽猜一猜，明明錯了，為何我們還要給他們熱烈的掌聲？

生：因為他們敢于嘗試。

生：因為老師以前說過，錯誤也是一種資源，我們可以從別人的錯誤中學到東西。

生：我覺得至少他們已經(jīng)開始思考了。

師：是的！剛才，張老師巡視了一圈，全班同學中，除了這兩個小組給出了自己的思考，剩下小組的學習單上，要么什么都沒有，要么只留了一些畫過的痕跡，但最終也給擦掉了。老師很好奇，為何你們的作品上什么都沒有？

生：因為我們不知道這個問題到底該怎么解答。

生：我們覺得，要想畫出最大的2 個圓，必須得找到正方形。就像前面我們說的，正方形里之所以能夠畫出4 個或9 個圓，是因為正方形可以分成4 個或9 個小正方形。但現(xiàn)在，正方形怎么都不能分成2 個同樣的小正方形。

生：我們小組其實一開始的思路和屏幕上的第二種方法一樣。 但畫完以后，同桌就提出來，這2 個圓不是最大的，還有比它們更大的圓，就像剛才那位同學所說的那樣。所以，我們最后還是把它們給擦了。

三 再度探索，多樣表達

師：因為找不到確切的思路而交了白卷；或者發(fā)現(xiàn)原有的思路不合適，又找不到更好的思路，而最終選擇了放棄。這無疑是非常遺憾的！張老師送大家兩點建議。第一，如果你實在找不到解決問題的確切思路，不妨回到最原始的方法——嘗試，不合適就調整，再嘗試，再調整。慢慢地，你就會發(fā)現(xiàn)，答案離你越來越近。第二，如果你實在找不到最準確的答案，沒關系，你至少可以先找一個比較接近的答案。請大家一定記住，有總比沒有好。愿意接受張老師的這兩點忠告嗎？

生：愿意！

師：那行，帶著這兩點忠告，再一次回到你們的學習單上，看看這一回，你們又可以獲得哪些新的進展。

（學生再一次小組合作展開研究。研究過程中，有一個小組提出，想借助電腦進行探索，教師同意了他們的請求。 研究結束后，全班匯報）

生：我們小組經(jīng)過研究，發(fā)現(xiàn)這2 個最大的圓，它們的半徑應該比2.8 厘米要大一點點。 我們先畫了2 個半徑2.5厘米的圓，但發(fā)現(xiàn)它們還不是最大的，中間還有空隙。于是，我們把圓規(guī)的兩腳稍微張大了一點，又畫了2 個圓，發(fā)現(xiàn)好像還有點小。然后，我們又把圓規(guī)的兩腳稍微張大了一點，這一次，我們感覺很接近了。我們量了一下，這2 個圓的半徑大約是2.9 厘米。（如圖3）

圖3

生：我們小組也是這樣嘗試的。但是在調整的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，一不小心，我們的圓就畫到正方形外面去了。然后，我們就再調整，爭取把圓畫在正方形的里面。經(jīng)過嘗試，我們最后畫出的圓，半徑是2.8 厘米左右。

生： 我們小組經(jīng)過嘗試發(fā)現(xiàn)，這2 個圓的圓心，肯定在正方形的對角線上。所以，我們就先畫了一條對角線，然后在上面嘗試著確定圓心（如圖4）。畫完后，發(fā)現(xiàn)不行，還嫌小，然后我們繼續(xù)調整。最后，我們發(fā)現(xiàn)，這2個圓的半徑都在2.9 厘米左右。

圖4

生：我們的方法和他們有點類似。 通過前面兩個小組的交流，我們發(fā)現(xiàn)，這2 個圓的直徑肯定比5 厘米大。 于是我們就決定先試一試直徑6 厘米。結果發(fā)現(xiàn)，直徑6 厘米稍微大了點。于是，我們又決定試一試直徑5.5 厘米，發(fā)現(xiàn)直徑5.5 厘米又小了點。 然后再試一試直徑5.7 厘米。結果發(fā)現(xiàn)大小差不多了。所以，我們覺得，這2 個圓的直徑差不多是5.7 厘米。

生：通過觀察前面幾個小組的匯報，我發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律。其實，我們只要把這個正方形分成2 個同樣大的三角形，（如圖5）然后，只要想辦法在每個三角形里畫出最大的圓就可以了。

圖5

師：把在正方形中畫最大的2 個圓，轉化成了在等腰直角三角形中畫最大的1 個圓。真好！當然，只憑我們現(xiàn)在所學的知識，這個問題還是沒辦法解決。但是到了初中，利用平面幾何的有關知識，這個問題就變得非常簡單了！回顧剛才的學習過程，從一開始大家都無所適從，到現(xiàn)在，每一個小組都找到了屬于自己的答案。雖然這個答案離準確的答案還有一點點距離，但至少已經(jīng)相當接近了！張老師真心為大家點贊！不過，剛才還有一個小組借用了我的筆記本電腦，說可以在電腦上進行探索。 你們又是如何探索的，有結論了嗎？

生： 我們在Word 文檔里先畫了一個邊長10 厘米的正方形，這個尺寸是可以通過數(shù)據(jù)來設置的。然后，我們又畫了2 個直徑5 厘米的圓。畫完后，我們一調整位置，果然發(fā)現(xiàn)直徑5 厘米的圓不是最大的。于是，我們又通過調整數(shù)據(jù)，畫了2 個直徑5.5 厘米的圓，發(fā)現(xiàn)好像還不夠大，還有空隙。然后，我們又繼續(xù)調整數(shù)據(jù)，最終，我們發(fā)現(xiàn)，當圓的直徑差不多是5.85 厘米時，這2 個圓才是最大的。

師：厲害！電腦作圖，調整起來特別方便，數(shù)據(jù)也更精準。當然，這里的5.85 厘米可能還不是最后的答案，真正的答案究竟是多少，也許還有待于我們繼續(xù)進行深入的研究。

四 反思回顧，拓展延伸

師：回顧今天的學習過程，有收獲嗎？

生：我覺得，遇到難題，如果實在找不到思路，可以用最笨的方法來嘗試。 試完發(fā)現(xiàn)不對，可以再調整。

生：我覺得我們已經(jīng)越學越笨了。一遇到?jīng)]見過的題，就不知道該怎么辦了。 今天的學習，讓我明白了一個道理，有比沒有好！ 實在找不到最準確的結果，哪怕找一個比較接近的結果也好！

生：我有一個問題。這道題的答案到底是多少，確定是5.85 厘米嗎？

師：問得好！以往的數(shù)學問題，最終總會有一個準確的答案。但是，這道題到底有沒有精確的答案？如果有，又會是多少呢？有興趣的同學，課后可以繼續(xù)研究。課的最后，張老師想留一個數(shù)學問題，還是關于正方形中的圓。猜猜看，這一回，又會讓你在正方形里畫幾個同樣大的圓呢？

生：我覺得是3 個。

生：我覺得是5 個。

師：可不要小看這兩個數(shù)哦。個數(shù)每增加1，問題的復雜程度有可能會增加很多很多哦。

生：不一定！從3 個增加到4 個，問題反而會變簡單！

生：我發(fā)現(xiàn)，隨著個數(shù)的變化，問題的難度就像一幅折線統(tǒng)計圖，先是低，然后是高，再高，然后又低，接著再高，更高……

師：當圓的個數(shù)變成3 或5，問題的難度究竟會有多高？希望同學們能夠把今天課堂的學習所獲，用到新的探索中去。最后，別忘了把你的研究過程，撰寫成一篇數(shù)學小論文哦。