徐言飛

隨著期中、期末、中考等大型考試命題的不斷創(chuàng)新，試題對常見模型的考查愈加深入，越來越重視學生的知識遷移和知識創(chuàng)新能力.其中有一類關于全等三角形的問題頗受出題人青睞，變成了當前考試的熱點.本文以一道?？嫉娜热切螁栴}為例，并進行了若干變式，期待將此類問題研究透徹.

1 試題呈現(xiàn)

例1 如圖1，四邊形ACEG和四邊形BCDF是兩個正方形，證明：（l）AD=BE;（2） AD⊥BE.

分析 本題意在考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì).

解 （1）∵四邊形ACEG，BCDF均為正方形，

∴AC=EC，BC=DC，

∠ACD= ∠BCE= 90°.

在AACD和AECB中，

AC=EC，

己證{∠ACD= ∠ECB，

CD= CB，

∴△ACD≌△ECB（SAS）.

∴AD=BE（全等三角形對應邊相等）.

如圖2，延長BE交AD于H，

∵△ACD≌△ECB，

∠l=∠2（全等三角形對應角相等）.

又△ECB是直角三角形，∠BCE=90°，

∴∠2+∠4=90°，

又∠3=∠4（對頂角相等），

∴∠1+∠3=∠2+∠4（等量代換）=90°，

∴∠DHE=90°.

∴AD⊥BE（垂直的定義）.

點評對本題第二問，還可以換一種思路，△BCE和△DHE構成“8”型，利用“8”型性質(zhì)，∠1+∠DHE=∠2+∠BCE，又∠l=∠2，∴∠DHE=∠BCE=90°，則AD⊥BE.

在考試中，本題常常出現(xiàn)一些變式，如將正方形改為等邊三角形、等腰直角三角形、頂角相等的等腰三角形，或?qū)⒄叫位蛉切涡D(zhuǎn)一定角度.

2 試題變式

變式1 （2015年湖北恩施中考.18）如圖3，四邊形ABCD，BEFG均為正方形，連接AG，CE.證明：（l）AG=CE：（2） AG⊥CE.

分析本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的證法;熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關鍵.方法類似上題，第二問重點在于找“8”型.

變式2 如圖4，已知點C為線段AE上一點，AABC，ACDE都是等邊三角形，證明：（l） AD=BE;（2）∠AOB=60°.

分析 本題在例題的基礎上變?yōu)榱说冗吶切?，方法完全類似，意在考查學生的知識遷移能力.

變式3 若將變式2的ACDE繞點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖5時，變式2中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由.

分析 本題相對于變式2的區(qū)別在于其中的一個等邊三角形逆時針旋轉(zhuǎn)，沿用例題中的方法易知變式2中的結(jié)論仍然成立.

更進一步可知，這里的“沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)”換為“沿順時針方向旋轉(zhuǎn)”結(jié)論也是成立的.

變式4 如圖6，AACB和AECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，AD分別交BC，BE于點P，O，BE交CD于點Q.試猜測線段AD和BE的位置和數(shù)量關系，并說明理由.

分析 本題相對于變式3，區(qū)別在由等邊三角形變成了等腰直角三角形，方法類似，發(fā)現(xiàn)AD=BE，AD⊥BE.

變式5 若上題中的條件“△ACB和△ECD都是等腰直角三角形”換為“△ACB和△ECD都是等腰三角形，∠ACB，∠ECD，分別為△ACB和△ECD的頂角（為銳角）且相等”，其它條件不變，試猜測線段AD和BE的位置和數(shù)量關系，并說明理由.

分析本題相對于變式3的區(qū)別在于由等邊三角形變成了頂角相等的等腰三角形且頂角頂點相同，方法類似，發(fā)現(xiàn)AD=BE，線段AD和BE的夾角與等腰三角形△ACB的頂角∠ACB相等.注意：若△ACB和△ECD的頂角為鈍角時，則線段AD和BE的夾角與等腰三角形△ACB的頂角∠ACB互補.

點評實際上不管是正方形還是三角形，圖形整體運動時圖形內(nèi)處處保持一致.以變式2來說明△ACD≌△ECB，△ECB由△ACD旋轉(zhuǎn)而來，其中CA旋轉(zhuǎn)至CE，旋轉(zhuǎn)了60°，CD旋轉(zhuǎn)至CE，也旋轉(zhuǎn)了60°.AD和CA，CD都是△ACD的組成部分，運動保持一致（角速度相同），故AD和BE的夾角為60°.

3 能力升華

在考試中，越來越注重對學生中學數(shù)學核心素養(yǎng)的考查.選擇填空的最后一題、大題也常以例題為原型，靠近學生的最近發(fā)展區(qū)，考查學生的邏輯推理能力和知識遷移能力.我們以接下來的3道題目為例，升華一下對此類全等三角形問題的探究.

例2 如圖8，點C為線段AE上的一個動點（不與端點重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和CDE.連接AD和BE交于點O，AD交BC于P，BE交CD于Q，連接PQ.以下六個結(jié)論：①AD=BE;②PQ、/AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°，⑥△CPQ是等邊三角形.一定成立的結(jié)論是_____________（把正確結(jié)論的序號填在橫線上）

分析2008年山東菏澤市、濱州市中考第17題，2008年山東東營市中考第16題，即最后一個填空題，均考到了前5個結(jié)論.結(jié)論①⑤在變式2中己證明，現(xiàn)只需判斷其余4個結(jié)論的正確性.

對③，由△ACD≌△ECB，

知AD=BE，∠CAD=∠CBE.

又∠ACB=∠BCQ=60°

∵在△ACP和△BCQ中，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴AP=BQ，故③成立.

對④，∵AD=BE，AP=BQ，

∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE.

若DE=DP，則DE=QE.

又∠CDE=60°，∴△QDE為等邊三角形，與△CDE為等邊三角形矛盾，故④不成立.

對②和⑥，由④知DP=QE，

由△ACD≌△ECB，

知∠PDC=∠QEC.

又∠PCD=∠QCE=60°，

∵在△PCD和△QCE中，

∴△PCD≌△QCE（AAS），

∴PC=QC.

又∠PCQ=60°，

∴△PCQ為等邊三角形，

∴∠QPC=60°，

又∠BCA=60°∴PQ//AE，

故②和⑥成立.

例3在△BCD中，∠BCD<120°，分別以BC，CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，聯(lián)結(jié)AD，BE和CF交于點P.

（l）下列結(jié)論中正確的是____（只填序號即可）.①AD=BE=CF;②∠BEC=∠ADC;③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°.

（2）求證：PB+PC+PD=BE.

分析 本題實質(zhì)是變式3的推廣，變?yōu)榱巳齻€等邊三角形，采用相同方法可證得結(jié)論①②③成立.關鍵在于如何證明第二問，我們下面來進行證明.

證明在PE上截取PM=PC，連接CM，

易知△BCE≌△ACD（SAS），

∴∠1=∠2.

設CD與BE交于點G，

在ACGE和APGD中，

∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD，

∴∠DPG=∠ECG=60°.

（△CGE與△PGD構成“8”型）

又（l）中已證∠CPE=60°，

∴△CPM是等邊三角形，

∴CP= CM，∠PMC=60°.

∴∠CPD=∠CME=∠120°.

又∠1=∠2，

∴△CPD≌△CME（AAS），

∴PD=ME.

∴BE= PB+PM+ME=PB+PC+PD.

即PB+PC+PD=BE.

例4 （2016年蘇州市立達中學期末卷）在銳角三角形ABC中，AH是邊BC上的高，分別以AB，AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長線交于點M，則①BG=CE;②BG⊥CE;③AM是△AEG的中線;④∠EAM=∠ABC.其中正確的結(jié)論有（ ）個.

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

分析 本題實質(zhì)是變式l的推廣，結(jié)論①②顯然成立.但本題圖形比變式2復雜，線段增加了一些.難點在于判斷③和④的正確性.我們下面來進行分析.

過點E作AM的高交AM的延長線于點P，過點G作AM的高交AM于點Q，△EAP與△ABH構成“K”型，AB=AE，易知△EAP≌△ABH（AAS），..，ZEAM=∠ABC，EP=AH，故結(jié)論④成立.

同理△CAH與△AQG構成“K”型，AC=AG，易知△CAH≌△AQG（AAS），∴AH=QG，∴EP=QG（等量代換），∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM=MG，故AM是△AEG的中線，結(jié)論③成立.所以本題中正確的結(jié)論有4個.

其實本題中還有很多等量關系，如S△EAG=S△BAC，不妨思考下：延長EA至B'，使得AB'=EA，連結(jié)GB'，∠BAC和∠GAB'都是∠CAB'的余角，∴∠BAC=∠GAB'.∵AB=EA，AB'=EA，∴AB= AB'.又AC=AG，∴△BAC≌△AB'AG（SAS）.∴S△BAC=S△B'AG，又AB'=EA，∴AG為△GEB'的中線，∴S△EAG= S△B'AG，故S△EAG=S△BAC.

4 結(jié)語

著名發(fā)展心理學皮亞杰在他的認知發(fā)展理論中指出，II歲、12歲及以后的兒童處于形式運算階段，兒童思維發(fā)展到抽象邏輯推理水平.因此，教師尤其是數(shù)學老師在日常教學中要注重舉一反三，讓學生加深對知識的理解，理清知識的結(jié)構脈絡與知識間的邏輯關系.

本文對全等三角形中?？嫉囊活悊栴}的探究，變式中的5道題目和能力升華中的3道題目都是以例題為原型產(chǎn)生的，不同的結(jié)論針對不同層次的學生，核心在于通過“8”型、“K”型找全等三角形，探究兩條線段位置關系時，要善于轉(zhuǎn)化.并要學會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，舉一反三，鍛煉自己的數(shù)學邏輯思維，掌握數(shù)學思想方法，升華自己的學習能力.