趙陽(yáng)，許博謙，李玉韋

（1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130033）

（2.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系，大連 116024）

隨著計(jì)算科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展，計(jì)算機(jī)處理速度和存儲(chǔ)能力不斷提升，但與此同時(shí)工程與科學(xué)問(wèn)題的規(guī)模和復(fù)雜性也在不斷提高，因此，模型簡(jiǎn)化工作便顯得尤為重要。航天工程中的運(yùn)載火箭全箭精細(xì)模型結(jié)點(diǎn)數(shù)可以達(dá)到千萬(wàn)量級(jí)，對(duì)于其靜力學(xué)問(wèn)題，常用的做法是取出較為關(guān)心的結(jié)構(gòu)單部段精細(xì)模型進(jìn)行剛度和強(qiáng)度分析，卻無(wú)法在全箭模型層面上，通過(guò)施加某一飛行秒態(tài)下的結(jié)構(gòu)載荷來(lái)更為真實(shí)地獲取該部段的受力狀態(tài)。若針對(duì)箭體級(jí)間段、箱間段和貯箱等部段的半硬殼結(jié)構(gòu)［1］，提出相應(yīng)的模型簡(jiǎn)化方法，便可在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步簡(jiǎn)化箭體的推進(jìn)劑、發(fā)動(dòng)機(jī)和人造衛(wèi)星等結(jié)構(gòu)，得到介于傳統(tǒng)梁模型和精細(xì)模型之間的過(guò)渡簡(jiǎn)化模型，從而利用其進(jìn)行更為精細(xì)的全箭傳遞路徑分析、截面載荷分析和局部強(qiáng)度校核等工作。

在進(jìn)行靜力學(xué)模型簡(jiǎn)化時(shí)，通常遵守剛度等效的基本原則?，F(xiàn)有針對(duì)蒙皮桁條結(jié)構(gòu)的模型簡(jiǎn)化方法主要為潘忠文［2］和邢譽(yù)峰［3］提出的通過(guò)對(duì)桁條形式進(jìn)行簡(jiǎn)化的三種方法，但其存在著扭轉(zhuǎn)剛度誤差較大的問(wèn)題；針對(duì)網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)的模型簡(jiǎn)化方法主要為張明利［4］提出的將正置等邊三角形網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為各向同性光筒結(jié)構(gòu)的方法，但其也存在著適用面窄的問(wèn)題。為了解決上述問(wèn)題，本文對(duì)于大直徑蒙皮桁條結(jié)構(gòu)，基于潘忠文的梁-殼模型法，進(jìn)一步提出了采用尺寸優(yōu)化來(lái)修正簡(jiǎn)化模型扭轉(zhuǎn)剛度的優(yōu)化定解法；對(duì)于網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)，基于蔡園武［5-7］提出的改進(jìn)的漸近均勻化思想，提出了將任何具有周期性的網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為光筒結(jié)構(gòu)的等效性能法。最后，通過(guò)算例表明，采用這兩種方法得到的簡(jiǎn)化模型計(jì)算精度很高，本文提出的模型簡(jiǎn)化方法具有很好的工程應(yīng)用價(jià)值。

1 優(yōu)化定解法

在將蒙皮桁條全殼模型簡(jiǎn)化為梁-殼模型后，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)梁-殼模型在扭轉(zhuǎn)載荷下無(wú)法考慮桁條與蒙皮之間的耦合剛度，梁殼交界區(qū)域會(huì)出現(xiàn)變形不協(xié)調(diào)的情況，故導(dǎo)致簡(jiǎn)化模型出現(xiàn)較大的扭轉(zhuǎn)剛度誤差，而在軸向拉壓載荷和彎曲載荷下不會(huì)出現(xiàn)此種情況，因此本文在進(jìn)行模型簡(jiǎn)化時(shí)重點(diǎn)關(guān)注了梁-殼模型扭轉(zhuǎn)剛度的修正。

1.1 方法介紹

如圖1所示，對(duì)于沿著周向均勻分布N根軸向桁條的大直徑蒙皮桁條結(jié)構(gòu)橫截面，假設(shè)桁條的截面為圓形，且形心位于蒙皮中面。

此結(jié)構(gòu)在軸向的拉壓剛度：

彎曲剛度EIZ（以IZ為例）：

其中，r0為桁條截面半徑，R0為蒙皮半徑，且有r0?R0，D0為蒙皮直徑，t為蒙皮厚度，A0代表單根桁條的橫截面積，A1代表蒙皮的橫截面積，E為彈性模量，IZ為截面對(duì)z軸的慣性矩，G為切變模量，J為截面對(duì)O點(diǎn)的極慣性矩。

圖1 蒙皮桁條圓柱殼橫截面示意圖

由式（1）、式（4）和式（7）可知，蒙皮桁條結(jié)構(gòu)的軸向拉壓剛度及彎曲剛度主要由其橫截面積決定，而扭轉(zhuǎn)剛度主要由蒙皮厚度決定，因此，在大直徑蒙皮桁條結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為梁-殼結(jié)構(gòu)后，可采用尺寸優(yōu)化的方法修正扭轉(zhuǎn)剛度。首先從精細(xì)模型中獲取橫截面積作為約束條件，令簡(jiǎn)化模型的橫截面積與其相等保證軸向拉壓剛度和彎曲剛度一致，再通過(guò)調(diào)整蒙皮厚度使兩者的扭轉(zhuǎn)剛度相同，最后取結(jié)構(gòu)局部單胞，令局部彎曲剛度相同，確定簡(jiǎn)化模型尺寸的最終解。

在優(yōu)化過(guò)程中，利用優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件Isight，采用多島遺傳算法及采用序列二次規(guī)劃算法混合尋優(yōu)策略［8-10］，具體的優(yōu)化流程如圖2所示。

圖2 尺寸優(yōu)化流程

1.2 算例驗(yàn)證

建立半徑為2456mm，高為2000mm，厚度為3mm的大直徑蒙皮，周向均勻分布72根翼板和腹板均長(zhǎng)為15mm、厚度為3mm的T形軸向桁條，由于真實(shí)運(yùn)載火箭各部段模型的蒙皮上大多含孔洞，因此，沿周向開(kāi)了3個(gè)邊長(zhǎng)為550mm的正方形孔洞。材料密度為2.7e-9t/mm3，彈性模E為70Gpa，泊松比μ為0.3。為了考慮梁截面的偏置問(wèn)題，簡(jiǎn)化模型采用自定義梁截面，且本算例中桁條根數(shù)和分布形式與精細(xì)模型一致，具體模型如圖3所示。

圖3 簡(jiǎn)化前后模型對(duì)比

簡(jiǎn)化前后結(jié)構(gòu)均為底端邊界固支，頂端邊界和位于圓心處的參考點(diǎn)建立耦合關(guān)系，施加2e6N·mm的扭轉(zhuǎn)載荷，并截取結(jié)構(gòu)單胞，在單胞單邊中心建立參考點(diǎn)與所在邊耦合，對(duì)邊固支，施加2e3N·mm的局部彎曲載荷，結(jié)構(gòu)整體的軸、彎、扭剛度均通過(guò)參考點(diǎn)的位移來(lái)表征。

在尺寸優(yōu)化過(guò)程中，由于結(jié)構(gòu)沿軸向的橫截面積發(fā)生了變化，故應(yīng)采用分區(qū)域優(yōu)化的方法，即沿軸向?qū)⒔Y(jié)構(gòu)分為開(kāi)口區(qū)和未開(kāi)口區(qū)來(lái)分別進(jìn)行優(yōu)化，此時(shí)的優(yōu)化列式為：

其中，t和q分別為未開(kāi)口和開(kāi)口區(qū)的蒙皮厚度，b和a分別為未開(kāi)口和開(kāi)口區(qū)的自定義梁截面邊長(zhǎng)，f為各個(gè)工況下轉(zhuǎn)角差的百分比之和，且f=ju1+ju2+ju3（其中，ju1為扭轉(zhuǎn)工況下的轉(zhuǎn)角差百分比，ju2為未開(kāi)口區(qū)局部彎曲工況下的轉(zhuǎn)角差百分比，ju3為開(kāi)口區(qū)局部彎曲工況下轉(zhuǎn)角差百分比），A1和S1分別為未開(kāi)口和開(kāi)口區(qū)蒙皮的橫截面積，A0和S0分別為未開(kāi)口和開(kāi)口區(qū)單根桁條的橫截面積，A和S分別為精細(xì)模型未開(kāi)口和開(kāi)口區(qū)的橫截面積，t1、b1、q1和a1為設(shè)計(jì)變量的下限，t2、b2、q2和a2為設(shè)計(jì)變量的上限。

按照優(yōu)化列式（8）和圖2所示的優(yōu)化流程進(jìn)行模型簡(jiǎn)化工作，優(yōu)化迭代過(guò)程及優(yōu)化結(jié)果分別如圖4-5和表1-2所示。

圖4 優(yōu)化迭代曲線

圖5 優(yōu)化迭代曲線

表1 優(yōu)化結(jié)果

表2 優(yōu)化結(jié)果

為驗(yàn)證簡(jiǎn)化模型的計(jì)算精度，對(duì)精細(xì)模型和簡(jiǎn)化模型分別施加1e6N的軸壓、2e6N·mm的彎曲、2e6N·mm的扭轉(zhuǎn)和2e3N·mm的局部彎曲載荷與相同的邊界條件，靜力學(xué)分析結(jié)果如圖6-9和表3所示。

圖6 軸壓載荷下的位移云圖對(duì)比

圖7 彎曲載荷下的位移云圖對(duì)比

圖8 扭轉(zhuǎn)載荷下的位移云圖對(duì)比

圖9 局部彎曲載荷下的位移云圖對(duì)比

表3 簡(jiǎn)化前后位移計(jì)算結(jié)果對(duì)比

由上述可知，簡(jiǎn)化前后結(jié)構(gòu)在各種工況下的位移云圖基本一致，計(jì)算誤差均小于5%，此結(jié)果說(shuō)明對(duì)于大直徑蒙皮桁條結(jié)構(gòu)采用優(yōu)化定解法可得到具有較高計(jì)算精度的梁-殼簡(jiǎn)化模型。

2 等效性能法

針對(duì)三維周期性材料和周期性板殼結(jié)構(gòu)等效性質(zhì)的預(yù)測(cè)，蔡圓武提出了一種漸進(jìn)均勻化方法的新求解方法［6］，該方法結(jié)合了漸進(jìn)均勻化方法［11-13］和代表體元法［14-16］的優(yōu)點(diǎn)，一方面，其具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，根據(jù)攝動(dòng)理論，結(jié)構(gòu)的等效性質(zhì)可以通過(guò)求解定義于單胞上的偏微分方程組得到；另一方面，其操作簡(jiǎn)單，可以利用商業(yè)軟件作為一個(gè)黑箱來(lái)建立單胞模型并進(jìn)行分析計(jì)算。本文將其應(yīng)用于周期性網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)的等效剛度模型簡(jiǎn)化當(dāng)中。

2.1 方法介紹

首先，取網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)單胞并利用商業(yè)軟件建立有限元模型，對(duì)其施加分別等效于三個(gè)單位面內(nèi)應(yīng)變和三個(gè)彎曲應(yīng)變的節(jié)點(diǎn)位移場(chǎng)χ0(λμ)和χ?(λμ)，對(duì)應(yīng)的載荷向量為：

其中，指標(biāo)λ，μ取值1和2，f為節(jié)點(diǎn)反力，K為剛度陣。節(jié)點(diǎn)反力可作為靜力分析結(jié)果從商業(yè)軟件中輸出，進(jìn)一步將節(jié)點(diǎn)力施加在單胞的每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，并在板的面內(nèi)兩個(gè)方向施加周期性邊界條件，而在上下表面施加自由邊界條件，此時(shí)，在周期性邊界條件下的有限元方程為：

再進(jìn)行一次靜力分析，便可得到節(jié)點(diǎn)反力pλμ和p?λμ，同時(shí)間接得到了剛度陣K。最后，由文［6］可知，等效剛度系數(shù)可表示為：

其中，指標(biāo)α，β同樣取值1和2，z為沿板厚方向的坐標(biāo)，尖括號(hào)表示在單胞體積上的平均。最后，建立與網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)精細(xì)模型蒙皮尺寸一致的光筒結(jié)構(gòu)并賦予已經(jīng)得到的結(jié)構(gòu)等效剛度信息，完成模型簡(jiǎn)化工作，具體簡(jiǎn)化流程如圖10所示。

圖10 模型簡(jiǎn)化流程

2.2 算例驗(yàn)證

建立半徑500mm，高1178mm，正方形網(wǎng)格邊長(zhǎng)130mm，筋條高10mm的網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)，蒙皮和筋條的厚度均為1mm，材料密度為2.7e-9t/mm3，彈性模量為210Gpa，泊松比為0.3，簡(jiǎn)化模型為與精細(xì)模型蒙皮同尺寸的光筒結(jié)構(gòu)，具體模型如圖11所示。

圖11 簡(jiǎn)化前后模型對(duì)比

圖12 正置正交網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)單胞

取如圖12所示的結(jié)構(gòu)單胞，并按照?qǐng)D10所示的操作流程進(jìn)行模型簡(jiǎn)化工作，得到的等效拉伸剛度[A] 、耦合剛度[B]和彎曲剛度[D]如下：

為了檢驗(yàn)光筒簡(jiǎn)化模型的計(jì)算精度，在精細(xì)模型和簡(jiǎn)化模型的頂端圓心處建立參考點(diǎn)并與頂端邊界耦合，將底端邊界固支，對(duì)其分別施加1e6N的軸壓、1e6N·mm的彎曲和1e6N·mm的扭轉(zhuǎn)載荷，結(jié)構(gòu)整體的軸、彎、扭剛度同樣均通過(guò)參考點(diǎn)的位移來(lái)表征，靜力分析結(jié)果如圖13-圖15和表4所示。

圖13 軸壓載荷下的位移云圖對(duì)比

圖14 彎曲載荷下的位移云圖對(duì)比

圖15 扭轉(zhuǎn)載荷下的位移云圖對(duì)比

表4 簡(jiǎn)化前后位移計(jì)算結(jié)果對(duì)比

由以上結(jié)果可知，簡(jiǎn)化前后結(jié)構(gòu)在各種工況下的位移云圖基本一致，計(jì)算誤差均小于5%，說(shuō)明對(duì)于正置正交網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)采用等效性能法可得到具有較高計(jì)算精度的光筒簡(jiǎn)化模型。

3 結(jié)論

本文基于剛度等效的原則，對(duì)航天半硬殼結(jié)構(gòu)的模型簡(jiǎn)化提出了優(yōu)化定解法和等效性能法，兩種方法均具有清晰的理論基礎(chǔ)且操作簡(jiǎn)單。

（1）優(yōu)化定解法一般適用于具有大直徑的蒙皮桁條結(jié)構(gòu)，可以將其簡(jiǎn)化為梁-殼結(jié)構(gòu)，在結(jié)構(gòu)形式得到簡(jiǎn)化的同時(shí)，簡(jiǎn)化模型與精細(xì)模型之間的剛度誤差小于5%。

（2）等效性能法適用于具有周期性的網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)，可將其簡(jiǎn)化為光筒結(jié)構(gòu)，在結(jié)構(gòu)形式得到簡(jiǎn)化的同時(shí)，簡(jiǎn)化模型與精細(xì)模型之間的剛度誤差也小于5%。

相應(yīng)的算例驗(yàn)證了兩種模型簡(jiǎn)化方法的有效性，同時(shí)也說(shuō)明了本文提出的模型簡(jiǎn)化方法具有很好的工程應(yīng)用前景。