劉勇

摘? 要：學(xué)生在解答一些題目時(shí)，可通過(guò)一些合理的變換，讓題目由繁入簡(jiǎn)，進(jìn)而培養(yǎng)他們不斷探究和創(chuàng)新的意識(shí)，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：拼湊;等換;構(gòu)造;特殊

我們?cè)诮獯鹨恍?shù)學(xué)題目時(shí)，可對(duì)圖形進(jìn)行一些合理變換，這樣有利于學(xué)生將復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，培養(yǎng)他們不斷探究、創(chuàng)新的意識(shí)，從而進(jìn)一步提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本文將從以下五個(gè)方面來(lái)進(jìn)行討論。

一、整移拼湊

一些題目中的圖形求解部分是分散開(kāi)的，這時(shí)我們可以對(duì)這些部分進(jìn)行重組，拼湊出一個(gè)易于計(jì)算的形狀。這樣做不會(huì)使所求部分的形狀發(fā)生變化。

例題：圖1大圓中畫(huà)了四個(gè)一樣的小圓，且大圓半徑是小圓半徑的兩倍，已知小圓半徑是r，求圖中陰影的面積。

若我們把各個(gè)陰影部分的面積求出再加起來(lái)，這很難做到。若我們將這些陰影部分相加變?yōu)閳D2，這個(gè)陰影部分就成了圓的，陰影部分的面積也就很好求出了。

如圖3的直角三角形，由斜邊為29的紅色直角三角形，斜邊為49的藍(lán)色直角三角形以及黃色正方形組成，求藍(lán)、紅紙片的面積之和。

要求這兩張紙片和，但我們只知斜邊，不知道高，很難求出面積，若我們?cè)囍鴮⑦@幾個(gè)部分重組，變?yōu)閳D4，則一個(gè)新的直角三角形出現(xiàn)在我們面前，這個(gè)直角三角形的面積我們可以很簡(jiǎn)單地求出。

圓的半徑是r，若以其半徑作為一個(gè)新圓的直徑，做出兩個(gè)圓，求圖5陰影部分的面積。

此題中的陰影部分是不規(guī)則的，很難求出其面積，這時(shí)我們?cè)囍鴮⑦@個(gè)陰影部分進(jìn)行切割，形成如圖6的這個(gè)等腰三角形，而等腰三角形的面積就很容易求出來(lái)了。

二、面積等換

這種方法與整移拼湊有著異曲同工之處，都是將圖形進(jìn)行一系列的變化，這兩種方法的不同之處在于，面積等換的方法是改變形狀，但不改變圖形的面積。

在圖7中，兩個(gè)正方形放在一起，大的邊長(zhǎng)是10厘米，求陰影的面積。

此題中，我們只知大正方形的邊長(zhǎng)，不知小正方形的邊長(zhǎng)，所以，我們要盡可能地將此陰影部分轉(zhuǎn)化到大正方形中。我們連接AB兩點(diǎn)，即可得到AB與CD平行，若將A點(diǎn)沿著AB這條線(xiàn)段移動(dòng)到點(diǎn)B，可得三角形ACD的面積與三角形BCD的面積相等，使得原題中的陰影部分面積維持不變，也就是將原題中的陰影部分變?yōu)榈膱A的面積。

三、構(gòu)造法

有些題目我們通過(guò)已知條件或者拼湊轉(zhuǎn)化都很難求出答案，這時(shí)候可以將圖形構(gòu)成另一個(gè)比較容易解答的圖形，再來(lái)解答。

如圖9，該四邊形中的AB等于7，CD等于3，∠ABC是45°，求出該四邊形的面積。

在該四邊形中，∠A=90°，∠ABC=45°，從這兩個(gè)已知條件中，我們可以試著構(gòu)造出一個(gè)等腰直角三角形ABE，就如圖10，即可得出∠E=45°，那么三角形CDE也是一個(gè)等腰直角三角形，且CD=3，AB=10，我們可以很容易求出這兩個(gè)三角形的面積，而圖9中的四邊形的面積是大的等腰直角三角形的面積與小的等腰直角三角形的面積之差。

如下題，在直角三角形ABC中，AD=20，CE=5，求圖中陰影部分的面積。

原題中，只給了兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度，通過(guò)這兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度很難求出該陰影部分的面積，我們可以試著以此直角三角形為基礎(chǔ)，構(gòu)造出一個(gè)如圖12的長(zhǎng)方形，那么AC就是該長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)，平分了該長(zhǎng)方形的面積，同理可得CF也平分了長(zhǎng)方形CEFG的面積，AF平分了長(zhǎng)方形ADFI的面積，那么就可以得到長(zhǎng)方形BDFE的面積等于長(zhǎng)方形FGHI的面積，而且題目已知了AD=20，GF=5，即GH=20，GF=5，從而很容易求得該陰影部分的面積。

四、特殊代入

例題：如圖13，有一個(gè)平行四邊形ABCD，在該平行四邊形內(nèi)有存在一點(diǎn)P，使得三角形ABP的面積等于2，三角形BPC的面積等于5，問(wèn)三角形BDP的面積為多少？

我們可以這樣來(lái)分析，P點(diǎn)存在于平行四邊形ABCD內(nèi)，該P(yáng)點(diǎn)是一個(gè)無(wú)法確定其位置的一點(diǎn)，它會(huì)根據(jù)邊的長(zhǎng)度的改變而發(fā)生改變。這時(shí)，我們將P點(diǎn)進(jìn)行特殊化，讓P點(diǎn)落于AD這條邊上，如圖14，此時(shí)三角形BPC的面積是平行四邊形面積的一半，三角形ABD也是平行四邊形ABCD面積的一半，也就是說(shuō)這兩個(gè)三角形面積相等，我們已知了三角形ABP的面積等于2，三角形BPC的面積等于5，自然而然三角形BDP的面積就等于5-2=3。

例題：圖15由兩個(gè)等腰直角三角形組成，這兩個(gè)等腰直角三角形的直角邊都為8.8厘米，且其中一個(gè)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰直角三角形斜邊中點(diǎn)的位置上，這樣就構(gòu)成了圖15中的陰影部分，求出這個(gè)陰影部分的面積。

我們可以這樣來(lái)分析，圖15中的陰影部分是一個(gè)不規(guī)則的四邊形，要求出它的面積，我們僅僅通過(guò)已知這個(gè)等腰直角三角形的直角邊是很難求出的，但題中說(shuō)了，這兩個(gè)直角頂點(diǎn)是在兩條斜邊上移動(dòng)的，我們不妨將不在斜邊中點(diǎn)的這個(gè)直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至斜邊中點(diǎn)的位置上（如圖16），這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積是相等的，具體的證明過(guò)程這里就不寫(xiě)出來(lái)了。這樣我們要求出圖15中的陰影部分的面積就是要求出圖16中邊長(zhǎng)為4.4厘米的正方形的面積。

這類(lèi)特殊值的代入方法，是通過(guò)對(duì)圖形進(jìn)行合理的變換，在不改變?cè)}意思的基礎(chǔ)上，讓這些問(wèn)題變得更易理解，從而解答起來(lái)更加快捷。

以上的這些方法，都只是個(gè)別案例，在很多情況下，我們會(huì)遇到一些綜合性很強(qiáng)的題目，這就要求我們對(duì)上述幾種方法進(jìn)行綜合運(yùn)用。

五、綜合運(yùn)用

在某次的華杯賽的決賽上有這樣一道題目：在四邊形ABCD（如圖17）中，已知AB=CD=15，∠B=105°，∠A=∠C=45°，求出該四邊形的面積。

這個(gè)四邊形的面積要怎么求，無(wú)從下手，但解決這種問(wèn)題的方法也就那么幾個(gè)，都來(lái)試試看。第一步整移拼湊，看能否將這個(gè)不規(guī)則的四邊形拼湊成一個(gè)規(guī)則的四邊形。我們連接BD，將三角形BCD往下移動(dòng)，使得CD邊與AB邊重合，即可得到一個(gè)規(guī)則的四邊形（如圖18），因?yàn)椤螧AD=∠B′C′D′=45，所以AD∥B′C′，同時(shí)BD又與B′D′相等，因此該四邊形ADBB′是一個(gè)等腰梯形。

但求得梯形并不能直接求出該四邊形的面積，我們?cè)儆酶钛a(bǔ)的方法來(lái)拼出一個(gè)正方形（如圖19）。這樣我們將原本不規(guī)則的四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)正方形，又得知正方形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，面積就是15×15÷2=112.5。

這種綜合運(yùn)用的方法雖能大大降低問(wèn)題的難度，但要求學(xué)生對(duì)這幾種方法充分理解并且掌握。通過(guò)這一系列的方法，使學(xué)生的解題思路更加清晰，同時(shí)也拓展了學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新意識(shí)。

作者簡(jiǎn)介：劉勇（1981-），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)。