陳 幫， 夏曉鷗， 王曉波

(1.北京科技大學 機械工程學院, 北京 100083；2.北京礦冶科技集團有限公司, 北京 100160)

自同步技術及相關設備已廣泛應用于工業(yè)生產中[1-3]。振動自同步研究內容涉及非線性振動、機電耦合、自動控制理論等[4-8]。轉子安裝在可振動體上形成振動轉子系統(tǒng)，兩個振動轉子系統(tǒng)的振動機體通過彈簧連接形成雙振動轉子系統(tǒng)，如圖1所示?？刂七B接彈簧的剛度以及機體的運動軌跡，可轉化為多種動力學系統(tǒng)，例如將連接彈簧趨于無限大，即為雙轉子固定于同一機體上的振動系統(tǒng)；將某一機體的運動軌跡設計為圓弧，即為擺動系統(tǒng)。討論兩個振動轉子系統(tǒng)之間的耦合行為，對振動同步研究具有積極的學術意義。

近年來，Peňa、Jovanovic、Dilao等[5-10]學者分析了不同參數對擺同步行為的影響，包括擺的同向及反向同步。Czolczynski利用節(jié)拍器研究兩個及多個擺之間的耦合同步現象，討論了系統(tǒng)的能量傳遞情況。Koluda等[11-12]研究了耦合擺之間的自同步行為。擺動同步理論不斷豐富[13-15]，顯示了擺動同步的多樣性。Blekhman等[16-17]首次研究了轉子自同步現象，得出了安裝在同一機體上轉子自同步的條件。Wen等[18]發(fā)展了振動自同步的研究，研究成果應用于工業(yè)生產，取得了良好效果。Zhao等[19-21]采用改進小參數法研究振動自同步，討論了多種類型振動系統(tǒng)的轉子同步行為。劉勁濤等[22]研究了反共振機械的振動同步問題。李凌軒等[23]研究了雙機振動系統(tǒng)分別在亞共振與遠共振條件下的同步性問題。Zhang等[24-27]分別研究了三轉子振動系統(tǒng)的同步行為。同時，侯勇俊設計了雙轉子橢圓振動機，Fang[28]分析了該系統(tǒng)的轉子耦合擺動力學行為。

上述研究多側重于安裝在同一振動體上的擺或轉子同步研究，對于振動轉子系統(tǒng)的耦合同步研究較少。作為高頻雙動顎振動破碎機的理論模型，超共振雙振動轉子系統(tǒng)的同步特性隨耦合彈簧剛度的變化情況尚不明確。針對該問題，本文擬利用動力學方法研究系統(tǒng)的振動情況，闡明系統(tǒng)的振動同步與振動同步傳動特性；以振動力矩為切入點，深入討論耦合彈簧對系統(tǒng)同步的影響，揭示該系統(tǒng)實現高穩(wěn)定性與高容差性的耦合機理，為開發(fā)高可靠性振動設備和激振系統(tǒng)提供參考。

1 雙振動轉子系統(tǒng)

如圖1所示，轉子1和轉子2分別安裝在振動體1和振動體2上。彈簧kp兩端分別固定在兩個振動體上，阻尼記為fp。m1，m2分別表示轉子質量，φ1，φ2分別表示轉子連桿與水平方向的夾角。轉子對應的驅動力分別為Te1，Te2，阻力分別為Tf1，Tf2，阻尼系數分別為fr1，fr2。令轉子逆時針方向轉動為正。振動體可在水平方向上運動，質量為M1，M2，位移分別表示為x1，x2，與地基連接彈簧剛度與阻尼分別為k1、f1、k2、f2。轉子關于質心的轉動慣量分別為j1，j2，偏心距分別為r1，r2。

圖1 雙振動轉子振動模型

其中：

勢能與耗散函數分別為

式中：ni，Lmi，ωsi，Lsi，Rri分別對應電機的極數、互感系數、同步轉速、定子電感、轉子電阻；U0為電機電網的電壓幅值。建立系統(tǒng)的振動微分方程如下

(1)

2 同步研究

由式(1)可知，所研究模型是剛度耦合的振動系統(tǒng)。由轉子自同步的相關定義可知，轉子實現振動自同步時，系統(tǒng)穩(wěn)定運動，速度波動較小。為簡化計算并考慮實際工業(yè)應用，系統(tǒng)的彈簧阻尼均很小，彈簧k1與彈簧k2的阻尼相同。根據學者Blekhman的研究，忽略小變量。在一階近似條件下簡化式(1)得

(2)

其中

(3)

系統(tǒng)同步轉速為ωn，記轉子的相位如下

φ1=ωnt+α,φ2=ωnt+α2

(4)

如上節(jié)說明系統(tǒng)運行遠離共振區(qū)，α1，α2為慢變函數。由式(2)～(4)得

x1=a11cos(φ1+γ11)+a12cos(φ2+γ12),x2=a21cos(φ1+γ21)+a22cos(φ1+γ22)

(5)

式中

(6)

a11,a12,a21,a22體現了振動體之間、轉子之間、轉子與振動體之間的耦合作用。顯然，a12，a21越大，振動轉子之間的耦合作用越強。根據轉速與振動固有頻率關系，可分為前共振(ωn<ω1,ω2)與超共振雙振動轉子系統(tǒng)(ωn>ω1,ω2)?？紤]超共振雙振動轉子同步行為特性及其工業(yè)應用的特點，本文重點研究超共振雙振動轉子系統(tǒng)。

γ11,γ12,γ21,γ22是由于阻尼作用相應產生的相位滯后。由于研究模型為弱阻尼系統(tǒng)，相位滯后可計算為γ11=f1a11/(m1r1ωn)、r12=f1a12/(δm2r2ωn)、γ21=f2a21/(m1r1ωn)、γ22=f2a22/(δm2r2ωn)，其中γ12=γ21。

3 轉子的同步性及其穩(wěn)定性

利用平均法將快變運動(高頻)與慢變運動(低頻)分開討論，是分析非線性振動問題的一種實用手段。定義運算，若h(t)是周期函數，其在一個周期T上的平均值記為〈h(t)〉，如下式

(7)

轉子同步運轉時，轉子所受的加速度平均值為0，或者合力矩在一個周期上平均值為0，因此

(8)

轉子依靠電機驅動，電機的阻力近似與轉速成正比。轉子穩(wěn)定旋轉時，轉速波動較小，由趙春雨，張學良以及方潘的研究可知，感應異步電機輸出力矩的動態(tài)特性可線性化。因此在穩(wěn)定轉速附近，可用Tei(ω)，Tfi(ωn)代替〈Tei(ω)〉，〈Tfi(ω)〉進行討論。系統(tǒng)同步穩(wěn)定運行時，定義轉子受到合力矩的平均值為P1，P2，則

(9)

(10)

由式(5)、(6)、(9)以及(10)得

(11)

令：

(12)

系統(tǒng)為弱阻尼系統(tǒng)，γ11、γ22為小參數，則式(9)，(10)可簡化為

(13)

(14)

Tv為系統(tǒng)的振動力矩，作用在轉子上調節(jié)轉子之間的能量分配，是系統(tǒng)實現振動自同步的關鍵指標，其大小與轉子的同步轉速、振動體質量、支撐彈簧、耦合彈簧等參數有關。式(13)，(14)相減得

P1-P2=Te1(ωn)-Te2(ωn)-
[Tf1(ωn)-Tf2(ωn)]-Tv

(15)

定義

Δα=α1-α2-γ12,
ΔTe(ωn)=Te1(ωn)-Te2(ωn),
ΔTf(ωn)=Tf1(ωn)-Tf2(ωn)

(16)

由式(6)，(8)以及(15)得

(17)

定義系統(tǒng)同步指數D為

(18)

所以

(19)

若關于方程式(17)有實數解，要求式(17)右邊的絕對值小于或等于1，所以系統(tǒng)實現自同步的條件為

|D|≥1

(20)

分析式(13)～(15)可知，振動力矩Tv是系統(tǒng)能否實現自同步的關鍵因素，其大小與耦合系數a12，a21相關，其值越大，系統(tǒng)越易實現自同步?？赏ㄟ^Lyapunov穩(wěn)定性理論討論系統(tǒng)同步的穩(wěn)定性。雙振動轉子系統(tǒng)中有

P1-P2=ΔTe(ωn)-ΔTf(ωn)-Tv

(21)

系統(tǒng)可維持自同步運行狀態(tài)的穩(wěn)定性條件為

(22)

結合式(6)，(12)得：

(23)

式(23)即是轉子自同步運行的穩(wěn)定性條件。其穩(wěn)定運行的狀態(tài)與轉子的轉向相關，轉子同向旋轉與反向旋轉的穩(wěn)定運行相位差處于不同象限。

由上述討論可知，系統(tǒng)穩(wěn)定同步運行時，振動力矩可以作為驅動力作用在轉子上，若該驅動力矩足夠大，能夠克服轉子受到的阻力矩，則可關閉該轉子的電機，在振動力矩的作用下轉子依然保持同步轉動，即實現振動同步傳動。若在系統(tǒng)穩(wěn)定運行后，只開啟轉子i(i=1,2)的驅動電機，系統(tǒng)可保持振動同步轉動，對應同步指數為DTi，式(18)變?yōu)?/p>

(24)

系統(tǒng)穩(wěn)定運行后，只開啟轉子i的驅動電機，系統(tǒng)能夠實現振動同步傳動的條件為

|DTi|≥1

(25)

電機的開啟或關閉并沒有體現在穩(wěn)定性條件式(23)中，因此穩(wěn)定性條件仍為式(23)。

4 模型討論

雙轉子振動系統(tǒng)是兩個振動系統(tǒng)間的耦合動力學模型。在一定條件下，系統(tǒng)滿足自同步條件，即使電機、轉子質量、偏心慣量、振動體質量等振動參數有明顯差異，仍可實現同步旋轉。根據公式(6)、(20)、(23)以及(24)，控制連接彈簧的剛度，可直接增強或降低系統(tǒng)之間的耦合作用，使系統(tǒng)在不同狀態(tài)下同步運轉，并具有一定的穩(wěn)定性。本文討論模型的相關研究數據，如表1所示。

表1 系統(tǒng)動力學參數

振動體之間通過彈簧連接，不同于兩個振動體固定在一起，特點是通過彈簧代替剛體連接，由系統(tǒng)的同步方程式，可直觀認為，在不改變其他參數的情況下，可通過連接彈簧控制振動力矩的大小。自同步現象是振動力矩與轉子輸入轉矩之差共同作用的結果。顯然的，耦合彈簧kp的大小會影響系統(tǒng)之間耦合作用，表現出對振動力矩傳遞效率的影響。分析式(6)與(12)，有如下關系式：

(26)

(27)

(28)

圖3 ωn=155 rad/s時最大振動力矩關于耦合頻率的關系

圖3中曲線Tv max的兩個部分被轉子的輸入力矩差±(ΔTe(ωn)-ΔTf(ωn))曲線分割為4個部分，分別定義為LineA(包含點A)、LineB(包含點B)、LineC(包含點C)、LineD(包含點D)。根據式(19)，(20)可知，處在兩條輸入力矩差之間的部分(即|Tv max|<|ΔTe(ωn)-ΔTf(ωn)|)，無論同步相位差如何變化，系統(tǒng)無法實現自同步，因此系統(tǒng)在LineA與LineD上時，無法實現振動自同步；處在兩條輸入力矩差之外的部分(即|Tv max|>|ΔTe(ωn)-ΔTf(ωn)|)，在穩(wěn)定運行時，可滿足同步條件，因此曲線在LineB與LineC上時，系統(tǒng)能夠實現振動自同步。

當ωp→+∞，即kp→+∞，則：

(29)

(30)

式(19)為

(31)

相應的轉子實現自同步的穩(wěn)定性條件根據式(22)可得：

(32)

由于最大振動力矩關于耦合頻率的變化，在特征頻率右部是連續(xù)單調遞增的，因此可以認為，在兩個振動體相互固定時，其最大振動力矩達到極限Tv max lim。

圖2，圖3以及上述分析表明，系統(tǒng)耦合頻率在特征頻率附近時，或系統(tǒng)參數狀態(tài)在特征曲線附近時，系統(tǒng)耦合性能強，易實現振動自同步。調節(jié)連接耦合彈簧的大小，可改變最大振動力矩的大小，從而控制系統(tǒng)的同步性能與同步狀態(tài)。安裝于同一振動體上的雙轉子振動系統(tǒng)同步行為，可以認為是雙振動轉子系統(tǒng)中連接彈簧趨于無限大的一種特殊情況。在超共振系統(tǒng)中，兩個轉子之間通過剛體連接(兩個轉子安裝在同一機體上)的耦合性能并不是最大。該結論的意義在于，在單質體或雙質體雙轉子同步振動系統(tǒng)中，當兩個轉子難以實現振動自同步時，可設計將原本安裝在同一機體上兩個轉子，安裝在具有一定剛度的柔性體上，或者分別安裝在兩個通過彈簧連接的機體上，控制耦合頻率，可以增強系統(tǒng)的耦合作用。此時系統(tǒng)可獲得更為寬松的振動同步條件，穩(wěn)定性與容差度可進一步提升。

5 同步性數值仿真

(a)

(b)

圖4顯示了連接彈簧剛度kp為1.36×106N/m時，轉子的運動狀況。分析圖2，圖3及式(19)可知，該狀態(tài)下，轉子輸入力矩之差的絕對值|ΔTe(ωn)-ΔTf(ωn)|大于振動耦合所產生的最大振動力矩|Tv max|的絕對值，式(19)無實數解，不存在振動自同步狀態(tài)。由圖4(a)可知，轉子1與轉子2的轉速在穩(wěn)定運轉時不相同，圖4(b)顯示轉子的相位差逐漸增大。

圖5顯示了連接彈簧剛度kp為2.32×106N/m時，系統(tǒng)的振動情況。分析圖2，圖3及式(19)可知，該狀態(tài)下，轉子輸入力矩之差的絕對值|ΔTe(ωn)-ΔTf(ωn)|小于振動耦合所產生的最大振動力矩|Tv max|的絕對值，滿足系統(tǒng)的振動自同步條件。由式(17)及式(23)計算相位差得Δα=3.28 rad。圖5(a)表明轉子1與轉子2的轉速在系統(tǒng)穩(wěn)定運轉時趨于相同，在1.4 s左右實現振動同步；圖5(b)顯示轉子的相位差穩(wěn)定在15.83 rad(15.81-4×π=3.26 rad)。數值分析與理論分析基本一致。圖6顯示了連接彈簧剛度kp為3.2×106N/m時，轉子的運動狀況。同樣的，該狀態(tài)滿足系統(tǒng)振動自同步條件。理論計算得Δα=3.65 rad。由圖6(a)可知，轉子1與轉子2的轉速在1.4 s左右實現振動同步；圖6(b)顯示轉子的相位差穩(wěn)定在16.20 rad(16.20-4×π=3.63 rad)。數值分析與理論分析基本一致。

(a)

(b)

(a)

(b)

連接彈簧剛度kp為7.12×106N/m時，轉子的運動狀況如圖7所示。由圖2，圖3及式(19)可知，此時系統(tǒng)不滿足系統(tǒng)的振動自同步條件。圖7(a)顯示了轉子1與轉子2的轉速在穩(wěn)定運轉時不統(tǒng)一，圖7(b)顯示轉子的相位差逐漸增大。連接彈簧剛度趨于無窮大時，轉子的運動狀況如圖8所示。同樣，該狀態(tài)不滿足系統(tǒng)的同步條件。由圖8(a)可知，轉子1與轉子2的轉速在穩(wěn)定運轉時不同步，圖8(b)顯示轉子的相位差逐漸增大。

(b)

(a)

(b)

6 振動同步傳動數值仿真

(a)

(b)

(a)

(b)

圖9顯示兩個轉子在開機后2 s附近時實現振動自同步，轉速一致為ωn=154.67 rad/s。在6 s時，去除轉子1的驅動，經過耦合作用，轉子1與轉子2仍可保持同步運轉，轉速較之前略有降低，相位差回落；此時ωn=153.15 rad/s，Tv max=-29.17 N，ΔTe(ωn)-ΔTf(ωn)=0.6162 N，滿足式(25)的同步條件。圖10顯示了系統(tǒng)轉子實現自同步運轉后，在6 s時，去除轉子2的驅動，經過耦合作用，轉子1與轉子2同樣可保持同步運轉，轉速較之前卻有增加，相位差相應發(fā)生變化；此時ωn=155.99 rad/s，Tv max=-34.85 N，ΔTe(ωn)-ΔTf(ωn)=1.41 N，滿足式(25)的同步條件。系統(tǒng)轉子實現自同步運轉時，振動力矩Tv平衡兩個轉子的能量輸入差ΔTe(ωn)-ΔTf(ωn)，作用在落后的轉子上為驅動力矩，作用在超前的轉子上為阻力矩。在特定條件下，超前轉子的驅動電機不僅輸出能量維持系統(tǒng)的振動，還輸出能量至落后轉子的驅動電機。此時，落后轉子的驅動電機實際上吸收能量。若兩個轉子可實現振動同步傳動，將落后轉子的電機從系統(tǒng)中去除，則該電機不會從系統(tǒng)中吸收能量，系統(tǒng)因此會獲得較多能量，同步轉速反而提高；若將超前轉子的電機從系統(tǒng)中去除，則落后電機需向系統(tǒng)中輸出能量維持系統(tǒng)振動，輸出力矩為正，轉速因而降低，相位差發(fā)生變化。若系統(tǒng)的阻尼較大，兩個轉子的輸出力矩均為正，則在振動同步傳動時，同步轉速均會降低。

7 結 論

(1)超共振雙振動轉子系統(tǒng)是一種具有自同步特性的振動系統(tǒng)，控制系統(tǒng)參數可轉化為不同類型振動系統(tǒng)。在一定條件下，超共振雙振動轉子系統(tǒng)具備良好的自同步性能，具備高穩(wěn)定性、高容差度的特點。耦合頻率ωp在特征頻率附近時，或系統(tǒng)參數狀態(tài)在特征曲線附近時，系統(tǒng)所產生的振動力矩大，轉子易實現振動自同步。雙轉子固定于同一機體的振動系統(tǒng)，可認為是系統(tǒng)連接彈簧趨近無窮大時的一種特定情況。

(2)通過調節(jié)連接耦合彈簧kp的大小，可控制系統(tǒng)的同步性能。超共振雙振動轉子系統(tǒng)不僅可以實現轉子的振動自同步，也可實現振動同步傳動。若系統(tǒng)參數滿足相關條件，在轉子實現振動自同步后，切斷一個電機的電源，系統(tǒng)仍可實現振動自同步。

(3)對比B、C點以及ωp→+∞，可知在超共振系統(tǒng)中，兩個轉子之間通過剛體連接(兩個轉子安裝在同一機體上)的耦合性能并不是最大。該結論的工程意義在于，安裝在一個機體上的雙轉子振動系統(tǒng)，若兩個轉子難以實現振動自同步，可考慮兩個轉子安裝在柔性體上，或者兩個通過彈簧連接的機體上，調節(jié)兩個振動體支撐彈簧與耦合彈簧的剛度大小，使系統(tǒng)具有更為寬松的振動同步條件。利用該原理設計振動系統(tǒng)可具有良好的穩(wěn)定性與容差度。