李文劼

摘 要：可控?zé)岷司圩兪墙鉀Q能源危機(jī)的終極方式，實(shí)現(xiàn)熱核聚變離不開對(duì)聚變等離子體物理特性的診斷。由于聚變等離子體高溫的特性，常規(guī)的直接診斷法通常難以實(shí)現(xiàn)。介紹一種利用法拉第旋光效應(yīng)來診斷等離子體內(nèi)部磁場(chǎng)大小的方法。從麥克斯韋方程組出發(fā)，給出了等離子體中法拉第效應(yīng)的定量表達(dá)式。利用推導(dǎo)出的結(jié)論，結(jié)合相關(guān)的實(shí)驗(yàn)參數(shù)作出可行性分析。

關(guān)鍵詞：法拉第效應(yīng);等離子體;電磁波;偏振

中圖分類號(hào)：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.11.104

1 背景介紹

法拉第效應(yīng)是一種神奇的磁光效應(yīng)，描述的介質(zhì)中電磁波與磁場(chǎng)的一種相互作用。當(dāng)一束線偏振的電磁波入射到介質(zhì)中時(shí)，與電磁波傳播方向平行的磁場(chǎng)分量會(huì)導(dǎo)致線偏振光的偏振面發(fā)生偏轉(zhuǎn)，而且偏轉(zhuǎn)的角度與平行磁場(chǎng)分量成正比。即：

β=VBd

其中β是旋轉(zhuǎn)角度，B是磁場(chǎng)沿著電磁波傳播方向的分量，V稱為維爾德系數(shù)，與介質(zhì)的材料本質(zhì)、波長(zhǎng)、溫度有關(guān)。

這種效應(yīng)在光學(xué)、天體物理等方面有著十分重要的應(yīng)用。例如，利用法拉第效應(yīng)制作光隔離器，能夠減少光學(xué)器件的反射對(duì)激光的干擾，是激光器的不可或缺的組件。再者，在天體物理中，當(dāng)光波從光源傳播到地球的過程中，會(huì)經(jīng)過星際間的介質(zhì)。在星際介質(zhì)中傳播時(shí)，光波的偏振面由于法拉第效應(yīng)會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)。因此，給予星際間的電子密度，即可計(jì)算出偏轉(zhuǎn)角與磁場(chǎng)大小的系數(shù)，從而估算出磁場(chǎng)大小。地球的電離層同樣會(huì)導(dǎo)致法拉第效應(yīng)的產(chǎn)生，但是越是高頻（波長(zhǎng)越短）的電磁波，其維爾德系數(shù)越小。因此，對(duì)于電視頻率（<500MHz）來說，穿過地球電離層會(huì)出現(xiàn)至少一個(gè)全旋轉(zhuǎn)（360度），所以對(duì)于電視信號(hào)來說，被電離層反射之后，其偏振是難以估計(jì)的;但對(duì)于高頻的衛(wèi)星信號(hào)所在的頻段（GHz），由于法拉第效應(yīng)帶來的偏振面偏轉(zhuǎn)能夠維持在容許誤差之內(nèi)。

等離子體是物質(zhì)的第四種狀態(tài)，其物質(zhì)特性與固體、液體和氣體有很大的不同。宇宙中可見物質(zhì)的99%都以等離子體的狀態(tài)存在。研究宇宙中等離子體的物質(zhì)特性是天體物理的一個(gè)重要分支，但自上世紀(jì)50年代以來，隨著氫彈的研制成功，人們一直希望能夠?qū)崿F(xiàn)可控的熱核聚變，來解決日益嚴(yán)峻的能源危機(jī)。我們知道，要想使原子核克服庫侖斥力聚合在一起，就必須施以極大的外力。也就是說，需要極高的溫度或極大的壓強(qiáng)。在熱核聚變中，有一個(gè)十分著名的勞森判據(jù)，對(duì)于氘氚反應(yīng)，在14keV的溫度下，電子密度n、溫度T和約束時(shí)間 τ應(yīng)滿足如下關(guān)系：

nTτ3×1021keV·s/m3

在如此高的溫度和密度下，氘和氚被電離，形成等離子體。因此等離子體物理在核聚變研究中有著無比重要的地位。無論是磁約束核聚變（例如國際合作的ITER裝置以及我國的EAST裝置）或是激光慣性約束聚變（例如我國的神光三裝置），都離不開對(duì)等離子體的性質(zhì)的研究。因此我們需要對(duì)等離子體的內(nèi)部性質(zhì)進(jìn)行診斷來獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，但問題在于，聚變等離子體的高溫高密高壓的性質(zhì)使得等離子體診斷十分困難。直接測(cè)量是不可能的，我們需要借助各種手段，通過間接的方式測(cè)量等離子體的性質(zhì)。

本文介紹一種利用法拉第效應(yīng)來測(cè)量等離子體性質(zhì)的方式，從麥克斯韋方程組出發(fā)，推導(dǎo)出等離子體中法拉第效應(yīng)公式，并對(duì)具體問題進(jìn)行一些討論。

2 理論模型

從麥克斯韋方程組出發(fā)，在等離子體中，我們有

考慮等離子體中外加一個(gè)恒定磁場(chǎng)B=B0e︿z ，e︿z為z方向的單位向量。電子的流體方程可簡(jiǎn)化為：

現(xiàn)在討論電磁波的情況。如下圖所示，若電磁波的傳播方向平行于外磁場(chǎng)，即k//B0。根據(jù)假設(shè)，k、B0都是沿著z軸方向，由于電磁波是橫波，即k-E1=0，則E1在x-y平面內(nèi)。又由于B0使電子運(yùn)動(dòng)速度ue1有x、y方向的2個(gè)分量，即：

E1=（E1X，E1y，0）

ue1=（uX，uy，0）

左側(cè)為線偏振電磁波，沿外加磁場(chǎng)方向入射等離子體。

假設(shè)所有擾動(dòng)量E1、B1、ue1、j1均有相同的傳播因子ei（kz-ωt）REF_Ref507236548＼r＼h[3]，那么可以將（4）、（6）線性化為下式：

-iωmeux=-eE1x-euyB0（8）

-iωmeuy=-eE1y+euxB0（9）

（ω2-k2c2）E1x=ieωn0ux/ε0（10）

（ω2-k2c2）E1y=ieωn0uy/ε0（11）

其中（8）、（9）是運(yùn)動(dòng)方程，（10）、（11）是場(chǎng)方程。由（10）、（11）解出ux、uy，代入（9）、（10），有

（ω2-k2c2-ωpe2）E1x+iωceω（ω2-k2c2）E1y=0（12）

iωceω（ω2-k2c2）E1x-（ω2-k2c2-ωpe2）E1y=0（13）

式中ωce=eB0me為電子在外磁場(chǎng)B0中的回旋頻率，ωpe=n0e2meε0為電子等離子體頻率。根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)，（12）、（13）若有非零解，其充要條件是其系數(shù)行列式等于0，即：

（ω2-k2c2-ωpe2）2=ωce2ω2ω2-k2c2）2（14）

有

ω2-k2c2-ωpe2=±ωceω（ω2-k2c2）（15）

所以

E1y=±iE1x（16）

E1=E1xex+E1yey=E0（ex±iey）ei（kz-ωt）（17）

又已知其為圓偏振波，“+”對(duì)應(yīng)右旋圓偏振波（R），“-”對(duì)應(yīng)左旋圓偏振波（L），則（14）為R波與L波的色散關(guān)系，整理得

kR（L）=ωc1-ωpe2ω2（1ωceω）（18）

下面考慮線偏振波以平行于外加磁場(chǎng)B0的方向入射等離子體，那么線偏振波可以分解為左旋和右旋圓偏振波的疊加，即：

E=EL+ER=E0ex（eikLz+eikRz）-iey（eikLz-eikRz）e-iωt（19）

則：

cotφ=ExEy=-i1+ei（kL-kR）z1-ei（kL-kR）z（20）

所以

φ=arccotExEy=（kL-kR）z2（21）

考慮ωωpeωce，由（18）有

kL-kR=ωc 1-ωpe2ω2（1+ωceω）-ωc 1-ωpe2ω2（1-ωceω）（22）

對(duì)（22）進(jìn)行泰勒展開，有

kL-kR=12ωc1-ωpe2ω2（1+ωceω）-1+ωpe2ω2（1-ωceω）=ωpe2ωcecω2（23）

則：

φ=（kL-kR）z2=12（ωpe2ωcecω2）z=（e3B0n02ε0cme2ω2）z（24）

其中，n0 為等離子體中電子密度，ω為入射電磁波的頻率。至此，等離子體中法拉第旋光效應(yīng)的理論推導(dǎo)完畢，（24）式為線偏振波以平行于外加磁場(chǎng)方向射入等離子體后其偏振面的偏轉(zhuǎn)角的方程。

3 可行性研究

以超強(qiáng)激光與氣體靶產(chǎn)生的等離子體為例， 激光與物質(zhì)相互作用會(huì)產(chǎn)生環(huán)狀的自生磁場(chǎng)。如下圖所示，超強(qiáng)短脈沖激光（紅色）與靶相互作用產(chǎn)生了環(huán)向的自生磁場(chǎng)，我們利用一束高頻的探針光（橙色）入射超強(qiáng)激光與靶相互作用的區(qū)域。由于自生磁場(chǎng)的作用，探針光的偏振面會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)。通過檢測(cè)這一偏轉(zhuǎn)角度，即可估算出自生磁場(chǎng)的大小。

激光與氣體相互作用中產(chǎn)生的等離子體的電子密度一般在0.01nc 左右，其中 nc為臨界電子密度（對(duì)于波長(zhǎng)為 1μm 的激光，nc=1.1×1027m-3）。超強(qiáng)激光與氣體產(chǎn)生的等離子體尺度約為100μm。根據(jù)前文得到的公式，如果測(cè)量到的偏轉(zhuǎn)角度為1°，那么磁場(chǎng)的大小約為60T （0.6MG），這和以往的實(shí)驗(yàn)結(jié)果（50～100T）在同一個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，這種方案是切實(shí)可行的。

4 總結(jié)

法拉第效應(yīng)是磁致旋光效應(yīng)，由于磁場(chǎng)的存在，使得光的偏振面會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，這一效應(yīng)在許多方面有著十分重要的應(yīng)用。由于聚變等離子體高溫高密的性質(zhì)，通常難以直接對(duì)等離子體進(jìn)行診斷，但是利用法拉第效應(yīng)，可以間接地通過測(cè)量偏振面轉(zhuǎn)過的角度來反推出等離子體中的磁場(chǎng)。本文從麥克斯韋方程組出發(fā)，詳細(xì)推導(dǎo)了等離子體中的法拉第效應(yīng)的相關(guān)公式，此結(jié)論可以應(yīng)用在等離子體磁場(chǎng)的測(cè)量中。通過和實(shí)驗(yàn)參數(shù)比對(duì)，作者估計(jì)出超強(qiáng)激光與氣體靶相互作用產(chǎn)生的等離子體中的自生磁場(chǎng)的大小約為60T，這和前人得到的結(jié)果基本一致。除去測(cè)量磁場(chǎng)大小，此方法還可應(yīng)用在測(cè)量等離子體的電子密度，通過施加一個(gè)與探針光相同方向的外磁場(chǎng)，我們可以反推出等離子體的電子密度。

參考文獻(xiàn)

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