劉林涵 王新冬

摘 要：量子計(jì)算作為一種與傳統(tǒng)計(jì)算基本原理完全不同的方式，可以適用于信息量極大的個(gè)性化推薦場景。本文從個(gè)性化推薦的算法入手，分析了基于量子聚類分析的推薦算法。通過對該算法的聚類中心分析，量子計(jì)算能夠有效地提高個(gè)性化推薦的效率和安全，具有十分廣闊的前景。

關(guān)鍵詞： 量子計(jì)算;個(gè)性化推薦;聚類分析

文章編號(hào)： 2095-2163（2019）03-0285-04 中圖分類號(hào)： TP3-05 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

0 引 言

量子計(jì)算是基于物理理論的數(shù)據(jù)操作，個(gè)性化推薦基于用戶的歷史數(shù)據(jù)向其推薦感興趣事物的方法。初看這兩者之間似乎是毫不相干，但經(jīng)過仔細(xì)研究后，便會(huì)發(fā)現(xiàn)若以數(shù)據(jù)和信息作為兩者間的橋梁，就可以發(fā)掘找到兩者間的微妙聯(lián)系。對此，本文將展開探討分析詳見如下。

1 量子計(jì)算的基本原理

1.1 不確定原理

在量子力學(xué)中，對于微觀粒子，研究不能同時(shí)用確定的位置和確定的動(dòng)量來描述微觀粒子，這種不確定關(guān)系可以表示如下：

其中，△x為粒子沿某一方向的位置的不確定范圍;△px為粒子沿該方向動(dòng)量分量的不確定范圍，h為普朗克常量。

微觀粒子的不確定原理即如圖1所示。這個(gè)關(guān)系明確指出，對微觀粒子來說，試圖同時(shí)確定其位置和動(dòng)量是辦不到的[1]。

1.2 薛定諤方程

設(shè)有一沿x軸運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m、動(dòng)量為p、能量為E的自由粒子，其能量和動(dòng)量不變，因而其德布羅意波的波長和頻率也是不變的?？梢詫⑵湟曌鳛橐黄矫鎲紊?，其波函數(shù)可表示為：

在有些情況下，微觀粒子的勢能EP僅是坐標(biāo)的函數(shù)，而與時(shí)間無關(guān)。因此可把波函數(shù)分成坐標(biāo)函數(shù)ψ（x）與時(shí)間函數(shù)（t）的乘積，即：

若粒子在三維勢場中運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過一系列推導(dǎo)，可得到一般的定態(tài)薛定諤方程。該方程的數(shù)學(xué)表述如下：

1.3 態(tài)疊加原理

若某一物理量A的算符A'作用于某一狀態(tài)函數(shù)ψ，等于某一常數(shù)a乘以ψ，即：

那么，對ψ所描述的這個(gè)微觀體系的狀態(tài)，物理量A具有確定的數(shù)值a，a稱為物理量算符A'的本征值，ψ稱為A'的本征態(tài)或本征函數(shù)。

如果ψ1是體系的一個(gè)本征態(tài)，對應(yīng)的本征值為a1，ψ2也是體系的一個(gè)本征態(tài)，對應(yīng)的本征值為a2。因?yàn)檠Χㄖ@方程是二階線性偏微分方程，所以如果ψ1和ψ2都是式（4）的解，那么，ψ1和ψ2的線性疊加為：

也是式（4）的解，其中с1、с2是復(fù)數(shù)。這個(gè)結(jié)果的物理意義是：如果ψ1和ψ2描述了粒子的可能狀態(tài)，則與其相關(guān)的線性疊加式（6）也描述了系統(tǒng)的可能存在狀態(tài)。a值既有一定概率為a1，也有一定概率為a2。

有一個(gè)著名的例子可以幫助人們直觀理解態(tài)疊加原理。此例中，假設(shè)一只貓被封在一個(gè)密室里，密室的盒子里有毒氣，毒氣開關(guān)由放射性原子控制。如果原子核衰變，則放出α粒子，觸動(dòng)開關(guān)，放出毒氣。那么，過了一段時(shí)間后，貓是死還是活呢？由量子力學(xué)可推演得知：未打開密室時(shí)，貓的死和活是其自身的2個(gè)本征態(tài)，貓?zhí)幱谝环N生死的疊加態(tài)。因而只有用宏觀干擾（如打開密室觀察）才能確切地知道貓是死是活。

1.4 量子糾纏

量子糾纏是指2個(gè)或2個(gè)以上的粒子互相糾纏，即使相隔距離遙遠(yuǎn)，一個(gè)粒子的行為將會(huì)影響另一個(gè)的狀態(tài)。當(dāng)其中一個(gè)粒子的狀態(tài)發(fā)生變化，另一個(gè)粒子也會(huì)立即發(fā)生相應(yīng)的狀態(tài)變化。

量子糾纏說明在2個(gè)或2個(gè)以上的穩(wěn)定粒子間，會(huì)有較強(qiáng)的量子關(guān)聯(lián)。

2 個(gè)性化推薦

2.1 信息量與信息熵

人們借鑒統(tǒng)計(jì)物理處理大量的研究對象的思路，把對信息的拾取與從許多彼此不相關(guān)的事物中選出某種東西的概率聯(lián)系起來。人們約定，以在2種并列的、互不相關(guān)的可能性之間做出一個(gè)選擇所需的信息多少，作為信息量的單位，并以1比特（bit）表示。因此在2N種可能性中確定一個(gè)就需要N bit的信息。

因?yàn)椴杉臄?shù)據(jù)中既包含了有效的信息，也有些不確定的信息，因此還需在判別后把這2部分信息區(qū)分開來。人們類比熱力學(xué)熵（描述分子運(yùn)動(dòng)的混亂程度），把信息熵作為信息不確定程度的量度。

對于N種可能性中每種出現(xiàn)的概率各不相同的情形，設(shè)第i種可能性出現(xiàn)的概率為Pi，則信息熵的定義可寫為：

求出了信息熵，就可以得到有效的信息量N'與信息量N和信息熵S之間的關(guān)系，其數(shù)學(xué)公式可表示為：

2.2 個(gè)性化推薦的作用

由式（7）和式（9）知，當(dāng)信息量一定時(shí)，若要使有效的信息量增大，可以采用使信息熵S減小的策略。S減小，則P越大，可能性N越小，信息的不確定程度就減小了。

綜合考察后可知，個(gè)性化推薦就是一種使有效的信息量增大的方法之一。該方法根據(jù)用戶興趣和行為特點(diǎn)，向用戶推薦所需的信息或商品，幫助用戶在海量信息中快速發(fā)現(xiàn)真正所需的商品，提高用戶黏性，促進(jìn)信息點(diǎn)擊和商品銷售。而由此研發(fā)的推薦系統(tǒng)是基于大數(shù)據(jù)挖掘分析的商業(yè)智能平臺(tái)[2]。整體設(shè)計(jì)流程如圖3所示。

文中，擬以一個(gè)普通大學(xué)生甲一天的生活為例，來形象地闡釋個(gè)性化推薦：甲在食堂吃飯的時(shí)候，留下了飲食信息;甲在超市購物或逛淘寶的時(shí)候，留下了購物信息;甲登錄QQ、微信等App時(shí)，留下了賬號(hào)信息;甲在學(xué)習(xí)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了自己薄弱的知識(shí)點(diǎn)，留下了學(xué)習(xí)信息;甲在社團(tuán)、部門、班級(jí)活動(dòng)時(shí)，留下了社交信息;甲在上體育課時(shí)，留下了身體素質(zhì)信息;甲在放假前預(yù)定火車票或機(jī)票，留下了出行信息;甲在業(yè)余時(shí)間的活動(dòng)留下了個(gè)人愛好信息……

僅有上述信息中的一項(xiàng)，對甲的理解是片面的，但如果在上述信息中篩選出有效的信息量，用一定的算法操作，便可以使關(guān)于甲的有效的信息量增大，從而在某一方面向其提供個(gè)性化的產(chǎn)品和服務(wù)。這么一來，當(dāng)甲下一次使用淘寶購物時(shí)，就可根據(jù)有關(guān)歷史交易記錄向其推薦商品;當(dāng)甲下一次學(xué)習(xí)時(shí)，可以根據(jù)其薄弱的知識(shí)點(diǎn)向其推薦學(xué)習(xí)資料;甲的身體素質(zhì)信息可以讓人們知道甲是否健康，健康的程度如何……。個(gè)性化推薦的整體流程如圖3所示。

2.3 個(gè)性化推薦的算法

2.3.1 基于物品的協(xié)同過濾推薦算法

基于物品的推薦算法是基于用戶對物品的偏好找到相似的物品，并根據(jù)用戶的歷史偏好，給用戶推薦相似的物品。從計(jì)算的角度看，就是計(jì)算物品之間的相似度，得到物品的相似物品后，則根據(jù)用戶歷史的偏好預(yù)測當(dāng)前用戶沒未顯示出偏好的物品，計(jì)算得到一個(gè)排序的物品列表作為推薦[3]。

這里，再給出一個(gè)實(shí)例來佐證該方面研究，內(nèi)容詳情見表1。對于物品A，根據(jù)所有用戶的歷史偏好，喜歡物品A的用戶都喜歡物品C，得出物品A和物品C比較相似，而用戶C喜歡物品A，那么可以推斷出用戶C可能也喜歡物品C。

2.3.2 基于量子理論的推薦算法

Horn等人曾提出一種非常新穎的量子聚類分析算法。聚類分析是指將物理或抽象對象的集合分組為由相似的對象組成的多個(gè)類的分析過程。通過分組聚類出具有相似瀏覽行為的用戶，并分析用戶的共同特征，可以使用戶得到更合適的服務(wù)[4]。

在傳統(tǒng)的尺度空間算法中，研究提出可以使用核密度估計(jì)估算量的極大值來確定聚類中心。核密度估計(jì)估算量定義為d維歐幾里得空間中的一個(gè)高斯函數(shù)，其對應(yīng)公式如下：

所謂歐幾里得空間，指的是其上定義著正定對稱性雙線型內(nèi)積的實(shí)數(shù)域上的線性空間。而核密度估計(jì)指的是在概率論中用來估計(jì)未知的密度函數(shù)，屬于非參數(shù)檢驗(yàn)方法之一。

本次研究中，將Ψ視為式（4）的本征態(tài)，即有：

將式（11）作數(shù)學(xué)變換，運(yùn)算得到：

顯然，式（12）中只有一個(gè)自由變量。因此通過對不同種類的數(shù)據(jù)集進(jìn)行聚類分析后可以發(fā)現(xiàn)，相對于Ψx，通過找尋V（x）的極小值點(diǎn)，研究能夠找到更多的聚類中心。同時(shí)，通過調(diào)節(jié)參數(shù)，還能夠進(jìn)一步發(fā)掘數(shù)據(jù)中的聚類信息。因此量子聚類分析方法在個(gè)性化推薦上具有更大的優(yōu)勢。

3 量子計(jì)算在個(gè)性化推薦中的優(yōu)勢

3.1 傳統(tǒng)計(jì)算的劣勢

傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力并不能無限提升。隨著計(jì)算機(jī)集成度的提高，芯片的熱耗散及量子效應(yīng)增大，基于馮·諾依曼式設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)的性能會(huì)受到嚴(yán)重影響，其芯片尺寸難以進(jìn)一步縮小，計(jì)算速度的更大幅度提升也勢必受到限制。

3.2 量子計(jì)算的優(yōu)勢

3.2.1 量子計(jì)算的高效

量子計(jì)算的高效在于其自身是真正的并行處理機(jī)制，而態(tài)疊加原理是并行處理機(jī)制的原理，這貫穿于所有的量子算法中。

量子位是量子計(jì)算的理論基石。在傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)中，信息單元用二進(jìn)制來表示，也就是：或者處于“0”態(tài)、或者處于“1”態(tài)。在量子計(jì)算機(jī)中，信息單元稱為量子位，除了處于“0”態(tài)或“1”態(tài)外，還可處于疊加態(tài)，即“0”態(tài)和“1”態(tài)的任意線性疊加，而且也既可以是“0”態(tài)、又可以是“1”態(tài)，“0”態(tài)和“1”態(tài)各以一定的概率同時(shí)存在。一個(gè)量子位的疊加態(tài)示意如圖4所示。

因?yàn)橐粋€(gè)量子位同時(shí)表示0和1兩個(gè)狀態(tài)，2個(gè)這樣的量子位就可以同時(shí)表示4個(gè)狀態(tài)（00、01、10、11）。N個(gè)量子位可同時(shí)存儲(chǔ)2N個(gè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)量隨N呈指數(shù)增長?；诖?，量子計(jì)算機(jī)操作一次可同時(shí)對2N數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)變換，這種并行處理數(shù)據(jù)的能力等效于傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)要進(jìn)行2N次操作的效果，而且也相當(dāng)于一次演化就完成了2N個(gè)數(shù)據(jù)的并行處理，量子計(jì)算機(jī)如果有500個(gè)量子位，就能在每一步作2500次運(yùn)算。

基于量子位的個(gè)性化推薦算法核心是通過以經(jīng)典數(shù)據(jù)編碼的微觀量子態(tài)和輔助量子位的糾纏，快速提取出不同向量間的內(nèi)積、歐幾里得距離等信息，計(jì)算相似度，從而進(jìn)行匹配。

3.2.2 量子計(jì)算的安全

值得一提的是，用量子計(jì)算進(jìn)行個(gè)性化推薦，是一種更安全的處理過程，不容易發(fā)生用戶數(shù)據(jù)泄露等問題。

量子計(jì)算安全性是立足于量子糾纏和不確定原理基礎(chǔ)上的?？偟卣f來，量子糾纏描述了2個(gè)粒子互相糾纏的現(xiàn)象，不確定原理揭示了微觀粒子的位置和動(dòng)量不能同時(shí)確定。由此分析后可知：一是量子加密的密鑰是隨機(jī)的，即使被竊取者截獲，也無法得到正確的密鑰，因此無法破解信息;二是分別在通信雙方手中具有糾纏態(tài)的2個(gè)粒子，其中一個(gè)粒子的量子態(tài)發(fā)生變化，另外一方的量子態(tài)就會(huì)隨之立刻變化，并且根據(jù)量子理論，任何宏觀的觀察和干擾，都會(huì)立刻改變量子態(tài)，因此竊取者由于干擾而得到的信息已然遭到破壞，就并非再是原有信息[5]。

4 結(jié)束語

本文討論了量子計(jì)算在個(gè)性化推薦中的場景應(yīng)用。量子計(jì)算的基本原理包括不確定原理、薛定諤方程、疊加態(tài)原理和量子糾纏?；诹孔永碚摰耐扑]算法更著重于聚類中心的分析，相比于傳統(tǒng)的協(xié)同過濾算法有著更多的優(yōu)點(diǎn)。隨著人們對量子計(jì)算研究上的不斷深入，其在效率和安全上的優(yōu)勢即使其應(yīng)用前景日漸趨于廣闊。后續(xù)研究則旨在繼續(xù)拓寬量子計(jì)算應(yīng)用的領(lǐng)域，同時(shí)加大研究力度以求解決當(dāng)前個(gè)性化推薦高效性和安全性欠佳的問題。

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