張家明，張利軍

(中車(chē)青島四方車(chē)輛研究所有限公司，山東 青島 266109)

0 引 言

永磁同步電機(jī)的無(wú)傳感器矢量控制，在中高速段多采用滑模觀測(cè)器法來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子位置估算[1]。使用滑模觀測(cè)器來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子位置估算，可以迫使永磁同步電機(jī)的電流的軌跡按照特定的滑模面運(yùn)動(dòng)，這個(gè)滑模面即為滑動(dòng)模態(tài)，僅僅取決于所選擇的切換函數(shù)。切換函數(shù)多為符號(hào)函數(shù)，因此當(dāng)電機(jī)的電流的估計(jì)值收斂至真實(shí)值時(shí)會(huì)有抖動(dòng)，這就導(dǎo)致了帶載運(yùn)行時(shí)的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)現(xiàn)象。為了解決這一缺陷，在不改變切換函數(shù)的前提下，提出了一種轉(zhuǎn)子位置估算的校正算法，進(jìn)而可以克服轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。改進(jìn)型滑模觀測(cè)器在低速段，由于電機(jī)的定子反電動(dòng)勢(shì)較小，估算精度會(huì)很低，因此提出了一種旋轉(zhuǎn)高頻電壓注入法，直接給電機(jī)的定子注入旋轉(zhuǎn)高頻電壓信號(hào)，然后電機(jī)由于磁路飽和，其定子電流中會(huì)包含有轉(zhuǎn)子位置信息，基于設(shè)計(jì)的解調(diào)方法，可以將轉(zhuǎn)子位置精確解算出來(lái)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)矢量控制。

1 永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

在對(duì)永磁同步電機(jī)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，對(duì)電機(jī)做以下假設(shè)[2]：①定子繞組在空間上是對(duì)稱(chēng)的，且定子反電動(dòng)勢(shì)是正弦波；②磁鏈不受溫度的影響；③電機(jī)的轉(zhuǎn)子磁極是凸極型。

圖1為永磁同步電機(jī)的矢量坐標(biāo)，給出了永磁同步電機(jī)三相靜止abc坐標(biāo)系、兩相靜止αβ坐標(biāo)系和同步旋轉(zhuǎn)dq坐標(biāo)系的矢量關(guān)系。

圖1 永磁同步電機(jī)的矢量坐標(biāo)

在三相靜止abc坐標(biāo)系下，定子電壓方程為

(1)

式中,ua,ub,uc為三相定子電壓，V；ia,ib,ic為三相定子電流，A；ψa,ψb,ψc為轉(zhuǎn)子磁鏈折算到定子側(cè)的三相磁鏈，Wb；Rs為定子電阻。

以矩陣形式表達(dá)式(1)，可得：

(2)

在對(duì)永磁同步電機(jī)進(jìn)行矢量控制的時(shí)候，需要進(jìn)行Clark變換和Park變換。經(jīng)過(guò)Clark變換得到永磁同步電機(jī)在αβ坐標(biāo)系下的電壓方程為

(3)

式中，p為微分算子：uα,uβ為兩相靜止坐標(biāo)系下的定子電壓，V；iα,iβ為兩相靜止坐標(biāo)系下的定子電流，A；ψα,ψβ為兩相靜止坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)子磁鏈折算到定子側(cè)的磁鏈，Wb。

永磁同步電機(jī)在dq坐標(biāo)系下的電壓方程為

(4)

式中，p為微分算子：ud,uq為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的定子電壓，V；id,iq為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的定子電流，A；ψd,ψq為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)子磁鏈折算到定子側(cè)的磁鏈，Wb；θr為轉(zhuǎn)子角度，rad/s。

永磁同步電機(jī)的矢量控制的本質(zhì)是在同步旋轉(zhuǎn)dq坐標(biāo)系下實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩和勵(lì)磁的解耦控制，因此還需要考慮dq坐標(biāo)系下的磁鏈方程：

(5)

式中,Ld,Lq為定子dq軸電感，H；ψr為轉(zhuǎn)子磁鏈，Wb。

永磁同步電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程：

Te=np(ψdiq-ψqid)=np[ψfiq+(Ld-Lq)idiq]

(6)

式中,Te為電磁轉(zhuǎn)矩，Nm；np為電機(jī)的極對(duì)數(shù)。

永磁同步電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程為

(7)

式中,TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，Nm；J為電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ωr轉(zhuǎn)子電角速度，rad/s。

2 改進(jìn)型滑模觀測(cè)器

2.1 滑模觀測(cè)器的基本原理

如前所述，采用滑模觀測(cè)器來(lái)實(shí)現(xiàn)永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)子位置估算，其本質(zhì)在于通過(guò)滑模觀測(cè)器來(lái)估算轉(zhuǎn)子磁鏈在定子繞組中產(chǎn)生的反電動(dòng)勢(shì)[3]，進(jìn)而估算出轉(zhuǎn)子的角度與機(jī)械轉(zhuǎn)速。

將滑模觀測(cè)器的切換函數(shù)，也就是滑模面定為S(x)=0，其中，x為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。在PMSM的控制系統(tǒng)中，唯一可以觀測(cè)的物理量為定子電流，因此將滑模面S(x)的變量x取為定子電流，當(dāng)系統(tǒng)在滑模面S(x)=0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，定子電流的估算值將收斂于真實(shí)值，進(jìn)而反電動(dòng)勢(shì)的估算值也收斂于真實(shí)值。圖2為滑模觀測(cè)器的原理圖。

圖2 滑模觀測(cè)器原理圖

在αβ軸系下的定子電流的狀態(tài)空間方程為

(8)

式中，Ls為定子電感，其他變量的含義如前所述。

如前所述，將滑模面S(x)的變量x取為定子電流，因此結(jié)合式(8)與圖2，可得圖2中“Sliding Mode Current Observer”，即滑模電流觀測(cè)器的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(9)

式中各變量含義如前所述。實(shí)際的工程應(yīng)用時(shí)，需要將式(9)進(jìn)行離散化處理，轉(zhuǎn)換成差分方程的形式。采用雙線(xiàn)性變換法對(duì)式(9)進(jìn)行離散化，可得對(duì)應(yīng)的差分方程為

(10)

圖2中飽和函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(11)

式中,Γα,Γβ為飽和函數(shù)的αβ軸輸出量，V；K1為飽和函數(shù)的增益；E0為飽和函數(shù)的限幅。

實(shí)際的工程應(yīng)用時(shí)，K1的取值范圍可以依據(jù)實(shí)際的轉(zhuǎn)速響應(yīng)時(shí)間來(lái)整定，類(lèi)似于PID控制器的比例增益的整定方法，增大K1可以加快圖2中滑模電流觀測(cè)器的跟蹤速度，使得定子電流的觀測(cè)值盡快收斂于真實(shí)值，進(jìn)而使估算的轉(zhuǎn)子位置盡快跟蹤實(shí)際的轉(zhuǎn)子位置，減小轉(zhuǎn)速響應(yīng)時(shí)間。E0的作用類(lèi)似于PID控制器的限幅，需要根據(jù)實(shí)際的試驗(yàn)效果來(lái)確定限幅值。

飽和函數(shù)的輸出經(jīng)過(guò)圖2中一階低通濾波器“Low-pass Filter”濾波后即可得到反電動(dòng)勢(shì)的估算值。圖2中一階低通濾波器的微分方程如式(12)所示：

(12)

式中,ωc為低通濾波器的截止頻率，rad/s。

對(duì)式(12)進(jìn)行離散化處理，可得對(duì)應(yīng)的差分方程為

(13)

式中，各變量的含義如前所述。

得到了反電動(dòng)勢(shì)的估算值，即可根據(jù)式(14)計(jì)算轉(zhuǎn)子角度：

(14)

式(14)也就是圖2中的“Flux Angle Calculator”。

2.2 基于改進(jìn)型滑模觀測(cè)器的矢量控制

如前所述，采用滑模觀測(cè)器對(duì)轉(zhuǎn)子位置進(jìn)行估算，當(dāng)電機(jī)帶載運(yùn)行時(shí)會(huì)發(fā)生抖動(dòng)現(xiàn)象。鑒于此，提出了一種轉(zhuǎn)子位置估算的校正算法，用以克服抖動(dòng)現(xiàn)象。這種校正算法，本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是一種轉(zhuǎn)子位置鎖相環(huán)，其結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)子位置鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)圖

如圖3所示，有：

(15)

當(dāng)定子電流估算值收斂于真實(shí)值時(shí)，有：

(16)

式中,θr為轉(zhuǎn)子角度真實(shí)值，rad；K為反電動(dòng)勢(shì)的幅值；聯(lián)立式(15)、式(16)，可得當(dāng)定子電流估算值收斂于真實(shí)值時(shí)，有：

(17)

估算出轉(zhuǎn)子位置后，即可根據(jù)式(18)計(jì)算出轉(zhuǎn)子的機(jī)械轉(zhuǎn)速：

(18)

綜上所述，基于改進(jìn)型滑模觀測(cè)器的永磁同步電機(jī)無(wú)傳感器矢量控制的算法結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。圖4中，ωref、IdRef和IqRef分別為轉(zhuǎn)速給定值、定子d軸電流給定值和定子q軸電流給定值；其他變量的含義如前所述。

圖4 基于改進(jìn)型滑模觀測(cè)器的永磁同步電機(jī)無(wú)傳感器矢量控制

3 旋轉(zhuǎn)高頻電壓注入法

3.1 旋轉(zhuǎn)高頻電壓注入法的基本原理

當(dāng)永磁同步電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)在極低轉(zhuǎn)速段時(shí)，由于基波反電動(dòng)勢(shì)的幅值過(guò)低，導(dǎo)致基于滑模觀測(cè)器算法進(jìn)行反電動(dòng)勢(shì)估算時(shí)，無(wú)法使估算的定子電流收斂于真實(shí)值，進(jìn)而估算的反電動(dòng)勢(shì)的誤差很大，轉(zhuǎn)子位置也就不能正確估算出來(lái)[4]。鑒于此，設(shè)計(jì)了一種旋轉(zhuǎn)高頻電壓注入法，利用永磁同步電機(jī)的磁路飽和特性，向電機(jī)定子電壓中注入頻率遠(yuǎn)高于基波頻率的旋轉(zhuǎn)電壓，此時(shí)定子基波電壓上就疊加了高頻電壓，定子電流中勢(shì)必就會(huì)含有高頻分量。定子電流的高頻分量中就包含有轉(zhuǎn)子的位置信息，因此可以通過(guò)檢測(cè)并提取定子電流中的高頻分量，再通過(guò)一定的解調(diào)算法將轉(zhuǎn)子的位置估算出來(lái)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)永磁同步電機(jī)的無(wú)傳感器精確轉(zhuǎn)速控制。即便電機(jī)帶重載運(yùn)行，也能保證較高的控制精度。

假設(shè)高頻電壓的幅值為ui，角頻率為ωi，則注入的高頻電壓在定子兩相靜止坐標(biāo)系(αβ軸系)為

(19)

式中,uαi為定子α軸高頻電壓，V；uβi為定子β軸高頻電壓，V；

因?yàn)楦哳l電壓的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于基波電壓的頻率，因此高頻電壓下的永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型為

(20)

式中,Ls為定子電感，H；iαβi為兩相靜止坐標(biāo)系下的定子高頻電流，A。

式中，L為平均電感，ΔL為半差電感，其計(jì)算公式為

(21)

式中,Ld為定子d軸電感，H；Lq為定子q軸電感，H。

聯(lián)立式(19)、式(20)、式(21)可得：

(22)

式中,

(23)

式中,ip為定子高頻電流的正序分量的幅值，A；in為定子高頻電流的負(fù)序分量的幅值，A；

由式(22)可知，定子高頻電流的負(fù)序分量的相位中含有轉(zhuǎn)子位置信息。鑒于此，可以通過(guò)提取定子高頻電流的負(fù)序分量來(lái)獲取轉(zhuǎn)子電角度θr。

3.2 基于旋轉(zhuǎn)高頻電壓注入法的矢量控制

圖5為基于旋轉(zhuǎn)高頻電壓注入法的永磁同步電機(jī)無(wú)傳感器矢量控制的算法結(jié)構(gòu)圖。

圖5 基于旋轉(zhuǎn)高頻電壓注入法的永磁同步電機(jī)無(wú)傳感器矢量控制

圖中,BPF為帶通濾波器(Bandpass Filter)；SHPF為同步軸系高通濾波器(Synchronous High-pass Filter)。

首先通過(guò)BPF，即帶通濾波器，將高頻電流準(zhǔn)確提取出來(lái)。然后依據(jù)式(22)可知，高頻電流正序分量的角頻率為ωi，負(fù)序分量的角頻率為ωi-2ωr。由于ωi>>ωr，故高頻電流正序分量的頻率與負(fù)序分量的頻率很接近，普通的低通或高通濾波器不能將兩者分離出來(lái)，因此設(shè)計(jì)了SHPF，即同步軸系高通濾波器，用以提取高頻電流的負(fù)序分量。

本文中，注入的旋轉(zhuǎn)高頻電壓的頻率為500 Hz， BPF為4階IIR帶通濾波器，通帶頻率為 400～600 Hz，其z域的傳遞函數(shù)為

(24)

圖6為BPF濾波器的波特圖。幅頻特性顯示濾波器在500 Hz處的增益為1(0dB)，低截止頻率為400 Hz，高截止頻率為600 Hz。相頻特性顯示濾波器在500 Hz處的相角幾乎為0°，約為-6.4°。因此，使用BPF濾波器對(duì)定子電流濾波后，500 Hz高頻量幅值無(wú)衰減，相位幾乎不產(chǎn)生偏差，可準(zhǔn)確提取出定子αβ軸系下的高頻電流，且α軸高頻電流在相位上超前β軸高頻電流90°。

圖6 BPF濾波器的波特圖

SHPF的實(shí)現(xiàn)方式為：首先對(duì)αβ軸系下的高頻定子電流按照式(25)進(jìn)行坐標(biāo)變換，轉(zhuǎn)化為dq軸系下的電流。

(25)

式中,iαi為定子α軸的高頻電流，A；iβi為定子β軸的高頻電流，A；idi為定子d軸的高頻電流，A；iqi為定子q軸的高頻電流，A；

進(jìn)行了一次坐標(biāo)變換后，高頻電流的正序分量表現(xiàn)為直流量，負(fù)序分量表現(xiàn)為頻率為ωi-2ωr的高頻量，再通過(guò)高通濾波器濾除直流量，即可得到高頻電流的負(fù)序分量。SHPF濾波器的實(shí)現(xiàn)原理如圖7所示[6]，圖中，θi為高頻電流在t時(shí)刻的相位。

圖7 SHPF濾波器的原理框圖

圖中的iαn和iβn分別為定子α軸高頻電流的負(fù)序分量和定子β軸高頻電流的負(fù)序分量，由式(22)可知：

(26)

圖7中的高通濾波器，即High-pass Filter的工程實(shí)現(xiàn)方式為4階IIR高通濾波器，波特圖如圖8所示，幅頻特性顯示濾波器在0 Hz處的增益要小于-103 dB，截止頻率為20 Hz，因此可以有效濾除正序分量。相頻特性顯示濾波器在ωi-2ωr頻率處的相角約為5.9°。

圖8 HPF濾波器的波特圖

(27)

圖9 鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)圖

(28)

估算出轉(zhuǎn)子位置后，依據(jù)式(18)即可計(jì)算出電機(jī)的機(jī)械轉(zhuǎn)速。