孫佳將，盧勇輝，趙 金

(華中科技大學(xué) 自動化學(xué)院，武漢430074)

0 引 言

感應(yīng)電機(jī)因其結(jié)構(gòu)簡單、價格低廉、運(yùn)行可靠、可用于惡劣環(huán)境等優(yōu)點，在生產(chǎn)與生活中得到了廣泛的應(yīng)用。近年來，有限控制集合模型預(yù)測控制作為一種新興的高效控制策略被應(yīng)用到感應(yīng)電機(jī)的控制中，因其易于實現(xiàn)多變量控制和處理非線性約束的特性而受到關(guān)注[1]。有限控制集合模型預(yù)測控制通過系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測的方法，利用設(shè)計好的目標(biāo)函數(shù)直接控制磁鏈和轉(zhuǎn)矩。因為預(yù)測過程需要使用電機(jī)的真實磁鏈，所以該方案對磁鏈觀測的精度有很高的要求，而傳統(tǒng)的電流模型磁鏈觀測器和電壓模型磁鏈觀測器易受到電機(jī)參數(shù)變化的影響。

模型預(yù)測控制的磁鏈觀測和磁鏈與轉(zhuǎn)矩預(yù)測階段均對電機(jī)參數(shù)存在依賴，特別是在磁鏈觀測階段，磁鏈觀測的精度會直接影響下一步的磁鏈與轉(zhuǎn)矩預(yù)測，進(jìn)而影響到最終的目標(biāo)函數(shù)選擇。以閉環(huán)的磁鏈觀測器替代傳統(tǒng)的電流模型與電壓模型可以很好地解決這一問題。而在常見的全階磁鏈觀測器、降階磁鏈觀測器、擴(kuò)展卡爾曼濾波和滑模磁鏈觀測器等閉環(huán)觀測器中，滑模磁鏈觀測器在提高參數(shù)魯棒性上表現(xiàn)出最優(yōu)越的性能[2-4]。

常規(guī)的滑模磁鏈觀測器依據(jù)電流觀測誤差設(shè)計滑?？刂坪瘮?shù)，在實現(xiàn)對轉(zhuǎn)子電阻變化的高魯棒性的同時也引入了定子電阻變化的影響[5]。本文提出一種基于磁鏈觀測誤差的滑?？刂坪瘮?shù)設(shè)計方法，對滑模觀測器的性能進(jìn)行改進(jìn)。因為磁鏈的真實值無法直接獲取，磁鏈誤差值以近似計算的方式得到。通過仿真和物理實驗驗證了該方案對電機(jī)參數(shù)變化的高魯棒性。

1 感應(yīng)電機(jī)模型預(yù)測控制

感應(yīng)電機(jī)在靜止兩相正交坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型為

(1)

模型預(yù)測控制基于電機(jī)方程(1)建立對應(yīng)的預(yù)測方程。該方案的原理是，對應(yīng)于逆變器可產(chǎn)生的8種電壓矢量，通過預(yù)測在8種電壓矢量作用下電機(jī)下一時刻的磁鏈和轉(zhuǎn)矩，找到使目標(biāo)函數(shù)值最小的電壓矢量施加于系統(tǒng)，其中目標(biāo)函數(shù)代表了磁鏈和轉(zhuǎn)矩的最優(yōu)化結(jié)果。

1.1 磁鏈估計

磁鏈估計是模型預(yù)測控制方案的第一步。傳統(tǒng)的磁鏈估計方法包括電流模型和電壓模型兩種?？紤]到電壓模型直流誤差累計的問題，通常采用電流模型對磁鏈進(jìn)行估計。

(2)

在得到轉(zhuǎn)子磁鏈后，定子磁鏈由如下方程得到：

(3)

電流模型對定子電阻不敏感，但對轉(zhuǎn)子電阻和電感敏感。當(dāng)定子電阻或電感存在誤差時，將會對磁鏈的估計產(chǎn)生影響。

1.2 磁鏈和轉(zhuǎn)矩預(yù)測

磁鏈和轉(zhuǎn)矩預(yù)測是感應(yīng)電機(jī)模型預(yù)測控制的第二步。

定子磁鏈的預(yù)測模型通過電機(jī)的定子電壓方程得到。將定子電壓方程進(jìn)行歐拉離散化可得：

(4)

式中，Ts為采樣周期。

轉(zhuǎn)矩預(yù)測模型通過電機(jī)的轉(zhuǎn)矩方程通過歐拉離散化得到：

(5)

式中電流的預(yù)測模型通過電機(jī)的電流方程和磁鏈方程推導(dǎo)得到：

(6)

1.3 目標(biāo)函數(shù)選擇

目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計原理是，通過計算轉(zhuǎn)矩和磁鏈的參考值與預(yù)測值的差值，在所有預(yù)測值中選擇最接近于參考值的值。這樣，逆變器的每一個開關(guān)周期都會產(chǎn)生使系統(tǒng)最接近控制目標(biāo)的電壓矢量。

(7)

式中，λ為權(quán)重因子。λ越大，表示磁鏈在控制目標(biāo)中所占的比重越大。

權(quán)重因子一般表示為

(8)

1.4 電機(jī)參數(shù)變化的影響

電機(jī)在正常運(yùn)行條件下，等效電路的參數(shù)很難保持恒定不變。定子電阻和轉(zhuǎn)子電阻的阻值會隨溫度發(fā)生變化，除了電機(jī)工作環(huán)境溫度的影響外，電機(jī)在運(yùn)行過程中也存在發(fā)熱現(xiàn)象；同時，電機(jī)的趨膚效應(yīng)也會導(dǎo)致電阻增加，漏電感減小。在感應(yīng)電機(jī)的模型預(yù)測控制方案中，參數(shù)變化對磁鏈估計和控制量的預(yù)測都會產(chǎn)生影響，磁鏈估計階段造成的估計誤差也將直接影響到預(yù)測階段。

本文以Matlab/Simulink的仿真環(huán)境對上述方案進(jìn)行參數(shù)魯棒性實驗。仿真使用的電機(jī)參數(shù)如表1所示。在每次仿真實驗中，通過修改Matlab電機(jī)模塊中的某一項電機(jī)參數(shù)，來模擬實際電機(jī)參數(shù)的變化。參數(shù)的變化范圍給定在50%～150%的標(biāo)準(zhǔn)值。仿真實驗取兩個極值進(jìn)行仿真，即每一項電機(jī)參數(shù)的變化選擇0.5倍的標(biāo)準(zhǔn)值和1.5倍的標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行驗證。仿真實驗給定的調(diào)速系統(tǒng)工作場景相同，使用感應(yīng)電機(jī)的模型預(yù)測控制方案，給定轉(zhuǎn)速500r/min，定子磁鏈給定0.6Wb。調(diào)速系統(tǒng)零負(fù)載起動，并在0.5s加50%額定負(fù)載(7Nm)。

表1 感應(yīng)電機(jī)參數(shù)

圖1～圖3給出了電機(jī)的轉(zhuǎn)子電阻和互感變化的情況下，電機(jī)的仿真結(jié)果。由于電流模型不依賴電機(jī)的定子電阻，本文未給出定子電阻的仿真曲線。

圖1 轉(zhuǎn)子電阻增大50%

圖2 轉(zhuǎn)子電阻減小50%

轉(zhuǎn)子電阻和互感的變化都會對磁鏈的觀測結(jié)果造成影響。轉(zhuǎn)子電阻增大時，實際磁鏈在7Nm負(fù)載下與真實磁鏈存在0.2Wb的誤差，而在轉(zhuǎn)子電阻減小的情況下，系統(tǒng)不穩(wěn)定。互感變化對控制性能的影響相對較小，圖3給出互感減小的情況下系統(tǒng)的仿真結(jié)果，在零負(fù)載情況下實際磁鏈與觀測磁鏈之間產(chǎn)生0.3Wb的誤差，增加7Nm負(fù)載后，該誤差縮小到0.04Wb。

圖3 互感增大50%

圖4 互感減小50%

2 滑模磁鏈觀測器

由于電流模型磁鏈觀測器受電機(jī)參數(shù)變化的影響較大，本文提出一種感應(yīng)電機(jī)滑模磁鏈觀測器設(shè)計方案以提高對電機(jī)參數(shù)變化的魯棒性。

滑模磁鏈觀測器模型以感應(yīng)電機(jī)數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)。以定子電流和轉(zhuǎn)子磁鏈為狀態(tài)變量，建立感應(yīng)電機(jī)在αβ軸坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為

(9)

式中，isα和isβ為定子αβ軸電流，φrα和φrβ為轉(zhuǎn)子αβ軸磁鏈，usα和usβ為施加在定子上的αβ軸電壓。

由于滑模磁鏈觀測器的設(shè)計要以狀態(tài)變量的觀測值與實際值之差來建立滑模切換平面，而電機(jī)磁鏈的實際值無法直接得到，因此選擇以電流的觀測值和實際值的差值構(gòu)建滑模切換面。

(10)

式中，Vα和Vβ為αβ軸上的滑?？刂坪瘮?shù)，該滑?？刂坪瘮?shù)基于電流觀測誤差進(jìn)行設(shè)計，并選擇常值切換控制的方式，形式上由一個符號函數(shù)和其正系數(shù)M組成，其表達(dá)式為

(11)

將觀測器方程與電機(jī)方程作差，得到差值方程：

(12)

(13)

將式(12)代入式(13)可得

(14)

當(dāng)M滿足如式(15)所示條件時，可保證該極限值小于零。

(15)

(16)

綜上，當(dāng)M同時滿足式(15)和式(16)時，電流觀測系統(tǒng)滿足滑?？蛇_(dá)性條件，觀測狀態(tài)量軌跡最終進(jìn)入滑動模態(tài)。

(17)

將Vα和Vβ的等效值代入磁鏈誤差方程，即可得到滑動模態(tài)時磁鏈觀測誤差的等效方程

(18)

(19)

在上述設(shè)計方案中，以電流觀測誤差作為滑模切換面設(shè)計滑?？刂坪瘮?shù)，該方案能使電流的觀測值很快的趨近于實際值，但對磁鏈的控制卻是間接的，當(dāng)電機(jī)定子電阻發(fā)生變化時，觀測磁鏈仍無法很好地跟隨真實磁鏈。本文提出一種基于磁鏈觀測誤差地滑?？刂坪瘮?shù)設(shè)計方法，對上述滑模磁鏈觀測器設(shè)計方案進(jìn)行改進(jìn)。

在式(10)的滑模磁鏈觀測器方程中，加入新的滑?？刂坪瘮?shù)Uα和Uβ

(20)

(21)

(22)

(23)

而最終改進(jìn)后的滑模磁鏈觀測方程為

(24)

N的取值需要考慮兩方面的因素，第一，N值需要保證Uα和Uβ能使磁鏈觀測值進(jìn)一步趨近于其真實值，因此同樣需要滿足滑?？蛇_(dá)性條件；第二，N的取值不宜過大，導(dǎo)致Uα和Uβ本身設(shè)計所帶來的誤差被放大?？赏ㄟ^仿真實驗選取出最合適的N值。

滑模磁鏈觀測器的Matlab/Simulink仿真結(jié)果如圖5～圖10所示，分別給出了定子電阻、轉(zhuǎn)子電阻和互感變化的情況下電機(jī)的磁鏈觀測結(jié)果。

圖5 定子電阻增大50%

圖6 定子電阻減小50%

圖7 轉(zhuǎn)子電阻增大50%

圖8 轉(zhuǎn)子電阻減小50%

圖9 互感增大50%

圖10 互感減小50%

3 物理實驗

物理實驗包括控制性能實驗和參數(shù)敏感性實驗兩部分。

模型預(yù)測控制的階躍響應(yīng)實驗結(jié)果由圖11給出。感應(yīng)電機(jī)給定轉(zhuǎn)速500r/min，帶5Nm負(fù)載起動。 滑模磁鏈觀測器在參與調(diào)速系統(tǒng)控制的情況下，對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)性能未造成明顯影響。雖然滑模磁鏈觀測器本身會帶來抖振問題，但最終轉(zhuǎn)速曲線能很好地控制在500r/min的轉(zhuǎn)速給定，其波動在正負(fù)4r/min。磁鏈觀測值很好地控制在0.6Wb，轉(zhuǎn)矩觀測值在5Nm，與實際輸出轉(zhuǎn)矩一致。

在物理實驗中，無法對真實電機(jī)的物理參數(shù)進(jìn)行修改。因此，此處滑模磁鏈觀測器的參數(shù)敏感性實驗采用反向的設(shè)定方式，通過修改滑模磁鏈觀測器中使用的電機(jī)參數(shù)來造成觀測器與電機(jī)的參數(shù)誤差，從而判斷在存在參數(shù)誤差的情況下系統(tǒng)的控制性能。參數(shù)敏感性實驗結(jié)果以轉(zhuǎn)子電阻變化為例給出。圖12和圖13分別給出了滑模磁鏈觀測器中轉(zhuǎn)子電阻增大50%和減小50%的實驗結(jié)果。實驗結(jié)果顯示，當(dāng)系統(tǒng)存在參數(shù)誤差時，調(diào)速系統(tǒng)的控制性能未受到很大的影響，依然表現(xiàn)出很好的穩(wěn)態(tài)控制性能。

圖11 感應(yīng)電機(jī)模型預(yù)測控制階躍響應(yīng)曲線

圖12 滑模磁鏈觀測器中轉(zhuǎn)子電阻增大50%

圖13 滑模磁鏈觀測器中轉(zhuǎn)子電阻減小50%

當(dāng)滑模磁鏈觀測器中轉(zhuǎn)子電阻增大50%時，轉(zhuǎn)速存在正負(fù)5r/min的波動，定子磁鏈控制在給定值0.6Wb，轉(zhuǎn)矩預(yù)測也接近實際輸出轉(zhuǎn)矩7Nm。當(dāng)滑模磁鏈觀測器的轉(zhuǎn)子電阻減小50%時，其動態(tài)性能受到一定程度的影響，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，速度保持在500r/min，存在正負(fù)4r/min的波動，磁鏈被控制在0.6Wb的給定值，而觀測轉(zhuǎn)矩比實際輸出轉(zhuǎn)矩偏大。

4 結(jié) 論

本文以提高感應(yīng)電機(jī)模型預(yù)測控制對電機(jī)參數(shù)變化的魯棒性為目的，設(shè)計了感應(yīng)電機(jī)的滑模磁鏈觀測器，針對常規(guī)滑模磁鏈觀測器無法實現(xiàn)對定子電阻參數(shù)魯棒的問題，設(shè)計基于磁鏈觀測誤差的滑模控制函數(shù)對觀測器性能進(jìn)行改進(jìn)。仿真和實驗結(jié)果表明，本文設(shè)計的滑模磁鏈觀測器對電機(jī)參數(shù)變化具有很好的魯棒性，大大提高了感應(yīng)電機(jī)模型預(yù)測控制的在電機(jī)參數(shù)變化情況下的控制性能。