陶小會

（重慶大學(xué)，重慶 400044）

0 引言

隨著航空航天、船舶、汽車行業(yè)的飛速發(fā)展，對制造業(yè)水平的要求也越來越高。提高數(shù)控機(jī)床的精度是提高制造業(yè)發(fā)展水平的重要方法之一?？臻g定位精度是指刀具的實(shí)際位置相對于刀具的理想位置之間的偏差，機(jī)床的空間定位精度對工件的加工誤差有重大影響[1]。影響數(shù)控機(jī)床精度的誤差源主要包括幾何誤差、熱誤差及力誤差，其中幾何誤差占重要地位[2]。數(shù)控機(jī)床的空間定位精度保證方法包括精度設(shè)計(jì)和誤差補(bǔ)償[3]。因此，分析立式加工中心幾何誤差對空間定位精度的敏感度，找到影響空間定位精度的關(guān)鍵誤差源，對提升數(shù)控機(jī)床的精度具有重要的指導(dǎo)意義。

常用的誤差敏感度分析方法主要有矩陣微分法、概率分析法和區(qū)間分析法。矩陣微分法是把空間定位精度模型對某一誤差項(xiàng)的偏微分求導(dǎo)結(jié)果作為該誤差項(xiàng)的敏感度評價(jià)指標(biāo)，但該方法只適用于線性誤差模型敏感度分析。CHEN等[4]基于剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)和齊次坐標(biāo)變換建立了空間誤差模型，利用矩陣微分法分析處理37項(xiàng)誤差項(xiàng)的敏感度，并成功應(yīng)用于五軸超精密機(jī)床精度設(shè)計(jì)。Li等[5]定義了敏感度指數(shù)新指標(biāo)，并對機(jī)床的位置誤差和姿態(tài)誤差都進(jìn)行了敏感度分析。程強(qiáng)等[6]利用矩陣微分法建立四軸數(shù)控機(jī)床敏感度分析數(shù)學(xué)模型，識別出機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差源。概率分析法是以基于概率分布的誤差建模方法為基礎(chǔ)，以某一誤差項(xiàng)的方差與總體方差的比值作為該誤差項(xiàng)的敏感度指標(biāo)[7]。CHENG等[8]通過多次測量數(shù)據(jù)分析，假設(shè)機(jī)床的幾何誤差服從正態(tài)分布，識別出立式加工中心的關(guān)鍵幾何誤差。區(qū)間分析法是假定誤差為給定邊界的區(qū)間數(shù)，計(jì)算刀具的誤差區(qū)間范圍，以引起的刀具誤差區(qū)間寬度值作為敏感度評價(jià)指標(biāo)[7]。誤差敏感度分析是機(jī)床精度設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，對提高機(jī)床的空間定位精度具有重要作用。

因此，本研究中首先基于多體系統(tǒng)理論建立數(shù)控機(jī)床空間誤差模型；然后，利用矩陣微分法分析各誤差項(xiàng)的敏感度，找出關(guān)鍵幾何誤差項(xiàng)；最后，根據(jù)敏感度分析結(jié)果，對空間定位精度進(jìn)行改進(jìn)。

1 基于多體系統(tǒng)理論的空間誤差建模

1.1 三軸立式加工中心結(jié)構(gòu)

本研究中采用的三軸立式加工中心結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。它由床身、工作臺（X軸）、Y軸、Z軸和主軸組成。圖2為其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，用于描述多體系統(tǒng)中體與體之間的連接方式，三軸立式加工中心的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以分為兩個(gè)分支，第一個(gè)分支為工件分支，主要由機(jī)床床身、Y軸、X軸和工件組成；第二個(gè)分支為刀具分支，主要由機(jī)床床身、Z軸、主軸和刀具構(gòu)成。

圖1 三軸立式加工中心結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 三軸立式加工中心的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

用低序體陣列描述多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡單方便，因此被廣泛使用。計(jì)算低序體陣列的計(jì)算公式如下：

任選體Bj為系統(tǒng)中任意典型體，體Bj的n階低序體的序號定義為：

式中，L為低序體算子，并稱體Bj為體Bi的n階高序體，且滿足：

當(dāng)體Bi為體Bj的相鄰低序體時(shí)，有：

根據(jù)以上定義，可以計(jì)算出圖2所示的多體系統(tǒng)的各階低序體陣列如表1所示。表2為三軸立式加工中心的自由度，它表示機(jī)床各單元之間的約束情況，表中“0”表示不能自由運(yùn)動(dòng)，“1”表示能自由運(yùn)動(dòng)。

表1 三軸立式加工中心的低序體陣列

表2 三軸立式加工中心的自由度

1.2 三軸立式加工中心誤差分析

三軸立式加工中心有三個(gè)平動(dòng)軸，每個(gè)平動(dòng)軸包含6個(gè)位置相關(guān)幾何誤差，三個(gè)平動(dòng)軸之間還存在3個(gè)直線度誤差，共21項(xiàng)幾何誤差，將這些誤差項(xiàng)用gi（i=1，2…21）表示，如表3所示。

表3 三軸立式加工中心幾何誤差

1.3 三軸立式加工中心的空間誤差模型

根據(jù)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論[9，10]，相鄰體之間的位置和姿態(tài)可以用齊次坐標(biāo)變換矩陣來表示。兩個(gè)相鄰體之間的其次坐標(biāo)變換矩陣由理想靜止變換矩陣、實(shí)際靜止變換矩陣（如表4所示）、理想運(yùn)動(dòng)變換矩陣和實(shí)際運(yùn)動(dòng)變換矩陣（如表5所示）組成，其中，i代表相鄰體的低階體代表相鄰體的高階體，則兩相鄰體之間的其次變換矩陣可以表示為：

在理想情況下，不存在誤差，此時(shí)刀具成形點(diǎn)和工件成形點(diǎn)重合，即

理想情況下，刀具軌跡在工件坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值為：

在實(shí)際情況下，有誤差存在時(shí)，刀具成形點(diǎn)和工件成形點(diǎn)不重合，將會產(chǎn)生偏差，實(shí)際情況下，刀具軌跡在工件坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值為：

空間誤差模型可表示為：

將空間誤差表示為標(biāo)量形式為：

表4 相鄰體的理想靜止及實(shí)際靜止變換矩陣

表5 相鄰體的理想運(yùn)動(dòng)及實(shí)際運(yùn)動(dòng)變換矩陣

2 誤差敏感度分析

2.1 建立誤差敏感度數(shù)學(xué)模型

本研究中的幾何誤差敏感度用幾何誤差產(chǎn)生微小變動(dòng)時(shí)對總的空間定位誤差的影響表示。因此，21項(xiàng)幾何誤差的敏感度可以表示為：

為了便于分析，對各誤差元素的誤差敏感度系數(shù)進(jìn)行歸一化處理[6]，定義為：分別為幾何誤差元素 gi在 x、y、z 三個(gè)方向的敏感度系數(shù)。在各個(gè)方向上的誤差敏感度系數(shù)之和為1。

2.2 關(guān)鍵幾何誤差元素識別

在上述的機(jī)床空間誤差模型的基礎(chǔ)上，利用矩陣微分法分析各項(xiàng)誤差敏感度。三軸立式加工中心的尺寸為800×500×600，工作臺上的中間位置點(diǎn)為常用的加工位置點(diǎn)，即 Pw=（400，250，0，1），對該點(diǎn)處的誤差進(jìn)行敏感度分析。

21項(xiàng)幾何誤差對x方向的定位誤差敏感度如圖3所示，對y方向的定位誤差敏感度如圖4所示，對z方向的定位誤差敏感度如圖5所示。從圖3中可以看出，z軸運(yùn)動(dòng)時(shí)x方向的直線度誤差δxz對x方向的定位精度影響最大，敏感度系數(shù)為 0.34；δxx、δxy、δzy對x方向的定位精度影響也很大，敏感度系數(shù)分別為0.15、0.25、0.22，其他的誤差項(xiàng)對x方向的定位精度影響很小，其他誤差的敏感度系數(shù)之和為0.04。

圖3 x方向的幾何誤差敏感度

圖4 y方向的幾何誤差敏感度

圖5 z方向的幾何誤差敏感度

因此，在該點(diǎn)處對該三軸立式加工中心的空間定位精度影響較大的誤差元素有

（1）提高x軸的螺桿制造精度；

（2）提高垂直平面和水平平面的直線度。

3 結(jié)論

（1）誤差建模是機(jī)床敏感度分析的前提，基于多體系統(tǒng)理論，利用齊次坐標(biāo)變換建立三軸立式加工中心空間誤差模型；

（2）結(jié)合空間誤差模型，利用矩陣微分法，建立幾何誤差敏感度計(jì)算數(shù)學(xué)模型，計(jì)算出21項(xiàng)幾何誤差的敏感度系數(shù)，識別出機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差項(xiàng)；

（3）基于辨識出的關(guān)鍵幾何誤差項(xiàng)，分析幾何誤差來源，提出三軸立式加工中心精度設(shè)計(jì)方法。