徐明海

[摘? 要] 對(duì)于一道數(shù)列不等式證明，從幾個(gè)“漂亮”的證明入手——“精美”的放縮、裂項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)細(xì)節(jié)上的錯(cuò)誤，導(dǎo)致證明失敗，各類現(xiàn)象引起教師的關(guān)注與思考，探究成因，促使教師引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成精細(xì)的推理習(xí)慣而采取有效教學(xué)策略.

[關(guān)鍵詞] 推理習(xí)慣;放縮技巧;裂項(xiàng)技巧;關(guān)注細(xì)節(jié)

數(shù)列不等式是高考數(shù)學(xué)命題中最常見(jiàn)的一類題目，遇到此類題目，人們要想方設(shè)法，用各種放縮技巧來(lái)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，比如，用一個(gè)規(guī)范的數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列等）來(lái)做比較，進(jìn)行放大或縮小;用裂項(xiàng)法放大或縮小;用一些常見(jiàn)的公式進(jìn)行放縮等.然而，這些方法要用準(zhǔn)對(duì)象，精準(zhǔn)施策才是有效的，否則就會(huì)看似漂亮，實(shí)質(zhì)錯(cuò)誤.

以上放大技術(shù)含量很大，不僅學(xué)生想不到，可能大多數(shù)老師也未曾想到.

為什么不用下列簡(jiǎn)單證明呢？

此證明有兩個(gè)特點(diǎn)：

一是得到一個(gè)好結(jié)論：就是把“”進(jìn)一步縮小到“”;

二是“”比標(biāo)準(zhǔn)答案中的數(shù)（大約為1.785879）還要小一點(diǎn).

此題作為一次模擬考試的最后一題，從435份答題卡上信息，只有3位同學(xué)做對(duì)，問(wèn)題出在哪兒？

（1）縱觀學(xué)生的答題卡，有許多學(xué)生想到的方法很好，但總會(huì)出現(xiàn)或這樣或那樣的錯(cuò)誤，比如中間過(guò)程的一個(gè)小的誤判，一個(gè)數(shù)字計(jì)算或估算錯(cuò)誤，這說(shuō)明學(xué)生精細(xì)化思考不足. 長(zhǎng)此以往，這是一個(gè)非?？膳碌氖虑?，將這樣的習(xí)慣用在任何一項(xiàng)工作中都會(huì)帶來(lái)不可估量的損失.

（2）嚴(yán)格的、嚴(yán)密的邏輯推理不足，漏洞百出，想當(dāng)然的較多，比如“”的跳出，強(qiáng)迫給定的數(shù)列求和可以放大到一個(gè)等比數(shù)列的求和.

（3）試圖用數(shù)學(xué)歸納法證明，但會(huì)出現(xiàn)如下問(wèn)題：一是敘述不規(guī)范;二是證明到n=k+1時(shí)，無(wú)法嚴(yán)格推理和敘述下去.

（4）從上述分析可知，此題如果變成下列形式，可能有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練與檢測(cè).