浙江省平湖中學(xué)

李學(xué)軍 (郵編：314000)

浙江省慈溪中學(xué)

苗孟義 (郵編：315323)

浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)

沈虎躍 (郵編：315200)

源起2018年11月26日，浙江省教育廳“百人千場(chǎng)”高中數(shù)學(xué)專(zhuān)家名師赴磐安縣送教活動(dòng)中，沈虎躍名師網(wǎng)絡(luò)工作室學(xué)科帶頭人慈溪中學(xué)苗孟義老師在磐安二中開(kāi)設(shè)了一節(jié)課題為《立體幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題復(fù)習(xí)》高三一輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，這節(jié)示范課使學(xué)生主動(dòng)深入探究環(huán)境當(dāng)中，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)給學(xué)生創(chuàng)造自由飛翔的空間，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，使得各種層次的學(xué)生都能夠?qū)W有所獲.苗老師的這節(jié)課設(shè)計(jì)樸實(shí)而有針對(duì)性，選題精煉而有代表性，在充分尊重學(xué)生的同時(shí)，又激發(fā)了學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決的熱情，下面簡(jiǎn)要回顧課堂教學(xué)的部分環(huán)節(jié)以及自己的切身感受，談一下自己對(duì)課堂教學(xué)的思考.

1 教師主導(dǎo)——駕馭課堂真老師

苗老師在知識(shí)復(fù)習(xí)階段，回顧了余弦定理及余弦定理的變形，接下來(lái)從余弦定理出發(fā)，向平面向量過(guò)渡，通過(guò)平面向量公式的變形，逐步探究出本節(jié)課的主干知識(shí)，在這個(gè)探究的過(guò)程中，既要兼顧到教材概念、思想、方法的回顧，又要把相互關(guān)聯(lián)的概念、思想和方法有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，使學(xué)生能夠達(dá)到真正意義的融匯貫通.

課堂實(shí)錄1對(duì)角線向量定理的探究

師：余弦定理可以寫(xiě)成向量的形式嗎？

師：兩式相減，左邊等于什么？

師：右邊等于什么？

圖1

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式中字母的規(guī)律了嗎？

生：由內(nèi)及外再交叉相減.

師：這個(gè)定理就叫做對(duì)角線向量定理，有些書(shū)上也叫做四點(diǎn)向量定理；對(duì)角線向量定理，表明四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積可用四條邊的長(zhǎng)度表示.

圖2

師：今天我們研究的主要內(nèi)容是立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，因此這個(gè)四邊形要進(jìn)行翻折，對(duì)不對(duì)？

師：假如我們以BD為軸進(jìn)行翻折，這樣平面問(wèn)題轉(zhuǎn)換為空間問(wèn)題，同學(xué)們思考一下，在空間中，對(duì)角線向量定理是否成立？

生：在翻折的過(guò)程中，四條邊的長(zhǎng)度沒(méi)有發(fā)生變化，因此在空間四邊形中，對(duì)角線向量定理仍然成立；

感悟《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》中說(shuō)“教師應(yīng)理解不同數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)水平的具體要求，不僅關(guān)注每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，更應(yīng)關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標(biāo)，明晰這些目標(biāo)對(duì)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展的貢獻(xiàn).”苗老師的這個(gè)環(huán)節(jié)從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)到知識(shí)理解，知識(shí)遷移，知識(shí)創(chuàng)新層層遞進(jìn).真正體現(xiàn)了“整體設(shè)計(jì)必修和選擇性必修課程的體系，處理好數(shù)學(xué)內(nèi)容的層次性與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平發(fā)展的連續(xù)性”.在高三的一輪復(fù)習(xí)中從教材出發(fā)進(jìn)行追本溯源，挖掘知識(shí)的本源，滲透必要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這樣的復(fù)習(xí)為后續(xù)的綜合能力的提升奠定了非常扎實(shí)的基礎(chǔ).

2 學(xué)生主體——課堂掌控真主人

圖3

A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直

B.存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直

C.存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直

D.對(duì)于任意位置，三對(duì)直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直

課堂實(shí)錄2對(duì)角線向量定理的理解

師：請(qǐng)同學(xué)們用自己所帶的紙折一下，然后猜猜看或者用我們剛剛探究過(guò)的對(duì)角線向量定理.

(巡視和學(xué)生交流是猜的選項(xiàng)B，還是算出來(lái)的)

師：對(duì)于選項(xiàng)A如何判斷？

師：對(duì)于選項(xiàng)B呢？

圖4

師：最大值是多少呢？

師：最小值如何求呢？

生：當(dāng)翻折后與A、B、D共面時(shí)最小.

師：如何求此時(shí)的AC′的長(zhǎng)度呢？翻折后AC′與BD有什么關(guān)系呢？

師：在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們要對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行深究一下，選項(xiàng)C如何判斷呢？

師：如果這種方法，在平時(shí)你一直在用，那么在大型考試中遇到這樣類(lèi)型的小題你就可以進(jìn)行秒殺了.

感悟這個(gè)題目是2012年浙江高考數(shù)學(xué)理科的第10題，苗老師在課堂上引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手折一折，實(shí)際上就是培養(yǎng)學(xué)生因地制宜，充分利用周?chē)沫h(huán)境解決問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)直觀的發(fā)現(xiàn)答案.接下來(lái)苗老師“話風(fēng)”一轉(zhuǎn)，數(shù)學(xué)講究嚴(yán)謹(jǐn)性，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)計(jì)算的方式進(jìn)行嚴(yán)格推理論證.學(xué)生在苗老師的引導(dǎo)下，緊張有序的進(jìn)行逐個(gè)選項(xiàng)的論證.雖然這是高三的一輪復(fù)習(xí)，但是苗老師在課堂上給學(xué)生留出足夠的時(shí)間，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行去思，去悟，去用，真正實(shí)現(xiàn)了學(xué)以致用.

3 課堂主場(chǎng)——滲透素養(yǎng)真領(lǐng)地

圖5

課堂實(shí)錄3對(duì)角線向量定理的內(nèi)化

圖6

生：∠ACD=∠BCD，

師：請(qǐng)問(wèn)，cos∠BCD等于多少？

生：cos∠BCD=cos2∠ACD=

師：在平面四邊形ABCD中，你會(huì)求BD的長(zhǎng)度嗎？

師：當(dāng)點(diǎn)D在什么位置時(shí)，BD的長(zhǎng)度最??？

生：當(dāng)點(diǎn)D′落在BC的三等分點(diǎn)E處時(shí)BD′=3-1=2最小.

感悟《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》中提出“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體.”在標(biāo)準(zhǔn)中還給出了核心素養(yǎng)的水平劃分的三個(gè)層次具體的要求，因此在課堂教學(xué)中，苗老師根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維和習(xí)慣進(jìn)行學(xué)習(xí)，通過(guò)較為復(fù)雜的數(shù)據(jù)運(yùn)算，取值范圍的求解，翻折過(guò)程中的動(dòng)態(tài)變化，使得數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理，直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有效扎實(shí)地落到實(shí)處.

圖7

4 問(wèn)題主線——能力提升真效果

例3(2015年浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題18題)如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60o，線段AD、BD的中點(diǎn)分別為E、F，現(xiàn)將△ABD沿對(duì)角線BD翻折，則異面直線BE與CF所成角的取值范圍是( )

圖8

課堂實(shí)錄4一類(lèi)問(wèn)題的多種思維

師：這是一個(gè)選擇題，你有沒(méi)有辦法猜出答案呢？

師：通過(guò)特殊值法進(jìn)行定性分析是有風(fēng)險(xiǎn)的，如果題目中有陷阱就比較麻煩，接下來(lái)，我們進(jìn)行定量計(jì)算，不妨設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2.

師：非常棒！事實(shí)上當(dāng)△ABD沿對(duì)角線BD翻折的過(guò)程中，點(diǎn)E的軌跡是是什么？

生：是一個(gè)圓.

師：線段BE在翻折的過(guò)程中的軌跡是什么？

生：是圓錐的側(cè)面.

師：請(qǐng)同學(xué)們課后思考一下，你可以通過(guò)這樣的思路解決這道題嗎？

教學(xué)啟示

圖9

(1)關(guān)注教材的潛力

數(shù)學(xué)選修2-1第106頁(yè)例2如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處.從A、B到直線l(庫(kù)底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為a和b，CD的長(zhǎng)為c，AB的長(zhǎng)為d.求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值.

在解決這個(gè)問(wèn)題我們可以從三個(gè)層次進(jìn)行探究.

第三層次：再推廣一下當(dāng)AC，BD與CD不垂直時(shí)，

正如葉圣陶先生所說(shuō)：“教材無(wú)非是個(gè)例子，它只能作為教課的依據(jù).要教得好，使學(xué)生受益，還要靠教師善于運(yùn)用.”事實(shí)上在我們的教材中，只要我們做個(gè)有心人，用心去挖掘這樣的素材，一定可以從不同角度得出更多有意義的結(jié)論，使得我們課堂更加韻味無(wú)窮.

(2)關(guān)注專(zhuān)題的實(shí)效

對(duì)角線向量定理，可以快速解決一類(lèi)關(guān)于向量數(shù)量積或向量夾角問(wèn)題，但并不是一味追求高難度的解題技巧，恰恰相反，通過(guò)這種專(zhuān)題的探究，尋求一類(lèi)問(wèn)題的通解通法，進(jìn)而形成一類(lèi)問(wèn)題的統(tǒng)一解法.事實(shí)上對(duì)于動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題苗老師的這節(jié)課完全可以設(shè)計(jì)動(dòng)畫(huà)演示，通過(guò)動(dòng)畫(huà)學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)理解可能會(huì)更加深刻，尤其對(duì)空間想象能力不強(qiáng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)效果會(huì)更好.但是高三復(fù)習(xí)目的是讓學(xué)生在考場(chǎng)上能夠在有效的時(shí)間內(nèi)對(duì)所考查的問(wèn)題進(jìn)行有效解決，因此在高三的復(fù)習(xí)課堂就應(yīng)該為這樣的目的進(jìn)行設(shè)計(jì)和實(shí)施.

(3)關(guān)注考題的聯(lián)系

考題1(2014年1月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試第25題)如圖，在Rt△ABC中，AC=1,BC=x，D是斜邊AB的中點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折的過(guò)程中存在某一時(shí)刻，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是( )

圖10

圖11

圖12

考題2(2009浙江高考理科第17題)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2,BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上的一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足.設(shè)AK=t，則t的取值范圍是.

這樣背景的試題在高三的復(fù)習(xí)資料中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們也應(yīng)該關(guān)注這些試題之間是否存在共性的東西，解決這類(lèi)問(wèn)題是否有行之有效的共性辦法，這也就是數(shù)學(xué)中的合情推理和演繹推理的最好落實(shí).正如波利亞曾形象地指出“好問(wèn)題同某些蘑菇有些相似，它們大都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)之后，你應(yīng)當(dāng)在周?chē)僬乙徽?，很可能就有幾個(gè)”.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教授數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)方法，更要引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題.張奠宙教授曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn).”在教學(xué)中要想更好的駕馭時(shí)刻在變化的課堂，就需要老師在平時(shí)不斷提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而實(shí)現(xiàn)真正意義的教學(xué)相長(zhǎng).