江蘇省海門中學(xué)

朱建軍 (郵編：226100)

數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題是能力與素養(yǎng)的具體表現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用問題是江蘇數(shù)學(xué)高考的突出亮點，常以中檔題(17或18題)的形式呈現(xiàn)，具有良好的區(qū)分度，是高考的重點與熱點．本文將通過在2019屆的一次四大市調(diào)研測試中的應(yīng)用題，介紹以平面幾何為載體的應(yīng)用問題的思維路徑及解決辦法.

1 題目

(1)求圖1中拱門最高點到地面的距離；

(2)現(xiàn)欲以B點為支點將拱門放倒，放倒過程中矩形ABCD所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示．設(shè)BC與地面水平線l所成的角為θ．記拱門上的點到地面的最大距離為h，試用θ的函數(shù)表示h，并求出h的最大值.

圖1圖2圖3圖4

(第18題)

2 解決路徑

思路1 通過建立直角坐標(biāo)系，利用三角函數(shù)的定義建立數(shù)學(xué)模型.

(1)如圖，過O作與地面垂直的直線交AB、CD于點O1、O2，交劣弧CD于點P，O1P的長即為拱門最高點到地面的距離．

答：拱門最高點到地面的距離為5m．

(2)在拱門放倒過程中，過點O作與地面垂直的直線與“拱門外框上沿”相交于點P．

當(dāng)點P在劣弧CD上時，拱門上的點到地面的最大距離h等于圓O的半徑長與圓心O到地面距離之和；

當(dāng)點P在線段AD上時，拱門上的點到地面的最大距離h等于點D到地面的距離．

由(1)知，在Rt△OO1B中，

以B為坐標(biāo)原點，直線l為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．

解題反思很多實際問題都與曲線有關(guān)(如直線、圓、拋物線以及由函數(shù)關(guān)系給出的曲線)，通常的處理方法是仔細(xì)審題，明確解題方向，根據(jù)題意，結(jié)合所給圖形的結(jié)構(gòu)特征，建立直角坐標(biāo)系，把要解決的問題放在坐標(biāo)平面上使之與有關(guān)曲線相聯(lián)系，根據(jù)相關(guān)等量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型(函數(shù)模型、不等式模型等)，運用解析幾何的基本知識、思想和方法予以解決，此類問題還通常涉及確定最優(yōu)解的點的位置.

思路2 通過討論點P在圓弧CD上的不同情況，建立三角形模型，借助解三角形、輔助角公式求出最值.

由(1)知，在Rt△OO1B中，

如圖，過點D作DE⊥l，垂足為E，過點C分別作DE、l的垂線，垂足為G、F．

所以h=DE=DG+CF．

在Rt△BFC中，CF=4sinθ．

在Rt△CGD中，∠CDG=θ，

解題反思涉及平面圖形的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，通常的處理方法是結(jié)合實際問題，明晰解題方向，結(jié)合所給平面圖形的結(jié)構(gòu)特征以及相關(guān)性質(zhì)，適當(dāng)選取參數(shù)(如角、線段的長度等)，建立數(shù)學(xué)模型，運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識予以解決．

思路3 構(gòu)建與思路2不同的三角形模型，優(yōu)化解題過程.

此時拱門上的點到地面的最大距離為h=R+OE．

過O作OG⊥CF，垂足為G，則OE=GF，在Rt△BFC中，CF=4sinθ．

此時拱門上的點到地面的最大距離為h=R+OE．

過C作CG⊥OE，垂足為G，則GE=CF．

在Rt△BFC中，CF=4sinθ．

3 追本溯源

本次調(diào)研測試中所考查的應(yīng)用題改編自蘇教版必修四P125的“鏈接”.模型摘錄如下：

(2)矩形ABCD所在平面與地面垂直，A點在地面上，AB=a,BC=b,AB與地面成θ角(如圖所示).若記點C到地面的距離為h,試用θ的函數(shù)表示h,并求出h的最大值。

4 反思教學(xué)

4.1 《課程標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.數(shù)學(xué)建模是提高核心素養(yǎng)的一種非常重要的形式，通過建模教學(xué)，可以提高學(xué)生邏輯思維和抽象思維能力，能真正培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決實際問題的能力.教學(xué)中教師一定讓學(xué)生真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，運用數(shù)學(xué)的方法對材料加工分析，大膽地猜想和不斷地提出問題，從而激發(fā)學(xué)生興趣和熱情，進一步培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)造才能.

4.2 重視教材的理解和挖掘.

課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了教育的內(nèi)容.教材文本內(nèi)容是課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容的具體化，是教材編寫者們把自己對課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容的解讀通過文本的方式呈現(xiàn)出來的方式之一，教材文本的內(nèi)容也能體現(xiàn)教材編寫者們對課程標(biāo)準(zhǔn)理解的層次和深度.作為一線教師在研究課程標(biāo)準(zhǔn)的同時，更要解讀教材文本的內(nèi)容，理解教材編寫者們的意圖，深入挖掘內(nèi)涵與本質(zhì).也只有當(dāng)我們真正地把握住了課標(biāo)和教材的意圖，在教學(xué)的過程中就可以脫離教材文本的束縛，從而實現(xiàn)用教材教而不是教教材.

總之，數(shù)學(xué)源于生活，體現(xiàn)于生活，在應(yīng)用問題的教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)善于使用建模思想，引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用問題進行歸類，增強學(xué)生的建模能力，發(fā)揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數(shù)學(xué)建模的困難，從而實現(xiàn)從數(shù)學(xué)知識的傳授走向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成.