簡偉偉

(江西省橫峰中學(xué) 江西 上饒 334300)

復(fù)合場中豎直平面內(nèi)的圓周運動類題型，特別是該類問題中“不脫離軌道”類問題，因其知識聯(lián)系性廣、綜合性強(qiáng)，是高中物理教學(xué)中的難點問題.筆者從教學(xué)實踐中總結(jié)出一種分析該類問題的方法——“兩線法”，該法相比“等效場法”，既能究其本質(zhì)、抓住關(guān)鍵，又通俗易懂、方便快捷.

“兩線法”就是指在以圓軌道的圓心為原點，在物體運動的圓周上沿著場力的方向作出一條參考線——“場力線”，再作出一條垂直“場力線”的參考線——“壓軌線”，我們利用這兩條參考線方便、清晰地突破豎直平面內(nèi)不脫軌類問題的解題方法.

1 模型構(gòu)建 難點突破(以僅在重力場作用下為基本模型)

【例1】如圖1所示，一質(zhì)量為m的小球從半徑為R的固定光滑圓軌道的最低點a點，以速度v0向右運動，若它運動過程中不脫離軌道，試分析小球的運動情景.

圖1 例1題圖

1.1 “場力線”的作用

因為只有重力場，沿著場力(此處為重力)方向作出一條參考線——“場力線”，這條線可以突破以下難點問題：

(1)圓周上什么位置速度最大？什么位置速度最??？

如圖2所示，因為只有重力做功，沿著重力方向移動，重力都要做正功則其速度就要增大，可知參考面L1為沿著重力方向最低的平面，可知小球在a點速度最大，同理參考面L5為沿著重力方向最高的平面(重力做的負(fù)功最多)，可知小球在e點速度最小.

圖2 速度最大和最小點分析圖

總結(jié):圓周上“場力線”最上方的位置速度最小、最下方的位置速度最大.

(2)什么位置軌道受到的壓力最大？

總結(jié):圓周上“場力線”最下方的位置軌道受到的壓力最大.

圖3 軌道受壓力最大和最易脫軌點分析圖

(3)什么地方最易脫離軌道？

如圖3所示，最小向心力為不利用軌道的彈力，僅靠重力的作用來提供向心力，由圖可知在場力線上e點時，重力全部沿徑向指向圓心提供向心力，可知該位置的最小向心力最大.由機(jī)械能能量守恒定律易知,在場力線的上方小球的速度會減小，即越向上運動越容易使得F提供的向心力>F需要的向心力，所以e點是小球最易脫離軌道的位置，要使得小球做完整的圓周運動，就一定要使得小球通過e點[1].

總結(jié):圓周上“場力線”最上方的位置最易脫軌(做近心運動).

1.2 “壓軌線”的作用

如圖4所示，作出一條垂直“場力線”的參考線——“壓軌線”，我們可知這條線將圓周一分為二，在靠近“場力線”下方的這半圓上的任何位置(如圖中b點)，由于重力沿徑向的分力是使小球有緊壓軌道的效果.在靠近“場力線”的上方的這半圓上的任何位置(如圖中d點)，由于重力沿徑向的分力具有使小球脫離軌道的效果.因此，這條線是場力是否緊壓軌道的分界線，筆者把它簡稱為“壓軌線”.利用這條線可以突破以下難點問題.

圖4 不脫軌范圍和不脫軌條件分析圖

(1)小球在什么范圍內(nèi)運動一定不會脫軌？

通過上面的分析我們可知,在“壓軌線”靠近“場力線”下方的半圓上的任何位置，即使小球速度為零，小球還是會緊貼軌道.在靠近“場力線”上方的這半圓上的任何位置，由于重力沿徑向的分力是使小球脫離軌道的效果，當(dāng)小球速度小于某一值(由所需的向心力決定)，小球會脫離軌道而做近心運動.

總結(jié)：“壓軌線”是我們分析小球速度為零時，小球是否會脫離軌道的參考線.

(2)小球在圓周上運動時不脫離軌道要滿足什么條件？

綜上分析可得：小球要不脫離軌道，要么通過“場力線”的最上方的位置做完整的圓周運動，要么在“壓軌線”靠近“場力線”下方的半圓上來回運動.

2 實戰(zhàn)演練 體驗功效(以重力場和電場相交匯的復(fù)合場為普遍范例)

圖5 例2題圖

分析：(1)受力分析，作出兩線

如圖6所示，分析小球所受到的場力(重力、電場力)，作出場力的合力，則該合力的方向即為“場力線”的方向，作“場力線”的垂線，即為“壓軌線”.

圖6 “場力線”和“壓軌線”示意圖

(2)巧借兩線，突破難點

如圖7所示，我們過圓軌道的圓心，作出“場力線”和“壓軌線”.

圖7 “場力線”和“壓軌線”解題圖

利用“兩線法”原理我們知道，要使小球不脫離軌道，有兩種情況：1)在“壓軌線”下部分半圓(bfe)上來回運動，臨界情況為到b點或e點速度恰好為零；2)恰好以最小的速度過c點，在圓周上做完整的圓周運動.

(3)結(jié)合分析，列式求解

解:要使小球不脫離軌道有以下兩種情況.

1)在半圓(bfe)上來回運動，設(shè)其以初速度v運動，當(dāng)其到達(dá)e點速度恰好為零，由動能定理得

解得

2)小球在圓周上做完整的圓周運動，而不脫離軌道.設(shè)以初速度v′運動,當(dāng)其恰好通過c點時，有

-EqRsin 45°-mgR(1+cos45°)=

解得

綜上所述，要使小球在圓軌道上運動過程中不脫離軌道需滿足

由以上對重力場和電場的普遍范例分析可以看出，利用“兩線法”處理豎直平面內(nèi)不脫軌類問題時，內(nèi)在上可以從本質(zhì)上分析各個臨界點的形成因素，外在上又能以簡單直觀的方式告訴我們?nèi)绾螌ふ疫@些臨界點，可謂既究其本質(zhì)，又通俗易懂.