鐘城偉

【摘要】根據(jù)開普勒第一定律，萬有引力情況下行星運動軌跡為橢圓，恒星在橢圓的焦點上。在胡克力的情形下，我們很容易得到運動軌跡也是橢圓。本文就這一現(xiàn)象，在理論上探討了胡克力和萬有引力的聯(lián)系。通過引入的一個軌跡間的變換將胡克力運動方程與萬有引力運動方程聯(lián)系起來，由此可以通過胡克力運動方程的解得到萬有引力運動方程的解，并通過所得萬有引力的解證明了開普勒第一定律和第三定律。

【關(guān)鍵詞】胡克力 ?萬有引力 ?橢圓軌跡 ?運動方程 ?變換

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）13-0151-02

一、引言

中學(xué)階段，我們學(xué)習(xí)了萬有引力及行星運動的相關(guān)知識，尤其是開普勒三定律[1]的結(jié)果僅僅把結(jié)論呈現(xiàn)出來，但是為什么萬有引力情形下的運動滿足開普勒三定律卻沒有涉及。想要回答這個問題，我們需要寫出其運動方程并求解，但是直接的求解比較困難，在本文中，我們發(fā)現(xiàn)，胡克力的運動軌跡也為橢圓且非常容易得到其運動軌跡的數(shù)學(xué)表達式。這為求解提供了一個思路，能否將胡克力和萬有引力聯(lián)系起來，通過某種變換將胡克力運動方程的解變?yōu)槿f有引力運動方程的解。正所謂“他山之石，可以攻玉”，我們在本文中確實利用一個變換由胡克橢圓運動方程得到萬有引力運動方程，并由此得到萬有引力運動方程的解，從而證明了開普勒第一和第三定律。

二、運動方程的復(fù)數(shù)形式

萬有引力（反比于距離的平方）的運動方程如下：

m■=-■

其中G為萬有引力常數(shù)，M為恒星質(zhì)量，m為行星質(zhì)量。這屬于有心力場下的運動，因此運動軌跡在一個平面內(nèi)，設(shè)此平面為xy平面，運動方程為：

m■=-■，m■=-■

在此平面上引入復(fù)數(shù)坐標z=x+iy，可改寫運動方程為：

m■=-■

同理對于胡克力（正比于距離）的運動方程m■=-kr（？子表示時間）可以通過引入uv平面和復(fù)數(shù)坐標w=u+iv改寫為（這里使用不同的記號避免混淆）：

m■=-kw

三、兩個方程間的聯(lián)系

1.變換的數(shù)學(xué)表達式

在復(fù)平面上，設(shè)萬有引力方程m■=-■的關(guān)于時間t的解為z（t），胡克力方程m■=-kw關(guān)于時間？子的解為w（？子）。我們的目標是找到一個變換，z=z（w）和？子=？子（t）使得，若w（？子）滿足m■=-kw，則z（w（？子（t）））滿足m■=-■。結(jié)果表明變換z=z（w）和？子=？子（t）為z=■和 ■=■（其中r0是具有長度量綱的常數(shù)），接下來我們證明該變換符合我們的目標，也即變換是有效的。

2.變換有效性的證明

在該變換下，z對時間t的一次導(dǎo)數(shù)■為：

■=■■（w2）=■2w■■=■2w■■

=r0■■

二次導(dǎo)數(shù)■為：

■=r0■■■=r0■■■■

=■■■■+■■■

=■■-■■+■-■w

在胡克力運動方程下，總能量E守恒，E由質(zhì)點動能和彈簧勢能組成

E=■m■■+■■+■ku■+v■

=■m■■+■kw■

所以■■=■，代入到二次導(dǎo)數(shù)■的表達式中可得：

■=■-■■+■-■w

=-r■■■■=-r■■■■

因此令4r0E=GMm，即可得到萬有引力運動方程m=■=-■。

3.變換的進一步說明

當我們求解出來胡克力運動方程m■=-kw的解w（？子）時，我們可以通過引入變換z=■和■=■，并選取合適能量E=■的胡克力運動軌跡w（？子），使得變換后的z（t）=z（w（？子（t）））滿足萬有引力運動方程m■=-■。

四、變換的應(yīng)用

1.變換前后的運動軌跡

可以很容易驗證w（？子）=u+iv=A1cos ？棕？子+iA2sin ？棕？子是胡克力運動方程的解，其中？棕=■，這個軌跡顯然是橢圓■+■=1。我們來看一下變換之后的運動軌跡z（t）。可設(shè)A1>A2>0，改寫w為w=r0re■+■e■，其中r0=■■，r=■。r0具有長度量綱，符合變換的要求。此時Z=■=r0r■e■+■e■+2，因此

x=r■r■+■cos2？棕？子+2r0，y=r0r■-■sin2？棕？子

x，y滿足■+■=1這也是一個橢圓，而且原點位置在橢圓的焦點上。

按照變換■=■，我們求得■=■=r2+■+2cos2？棕？子，所以t=r■+■？子+■sin2？棕？子

以上x（？子），y（？子），t（？子）給出了萬有引力運動的解。

2.開普勒第一定律和第三定律的證明

我們證明了x，y滿足■+■=1因此萬有引力運動軌跡可以是橢圓，且在寫萬有引力運動方程時，我們認為恒星位于原點處，該橢圓的焦點也在原點處，因此我們證明了開普勒第一定律，也即行星的運動軌跡是橢圓，恒星在橢圓的焦點上。

再者，按照上述結(jié)果，橢圓運動的長軸為a=r■r■+■，質(zhì)點位置z在？子=0→■完成一個周期，對應(yīng)t的周期為T=r■+■■+0=r■+■■。我們知道胡克力下的運動w（？子）=u+iv=A1cos？棕？子+iA2sin？棕？子對應(yīng)的運動能量E=■kA■■+A■■■=m ？棕■r■■■+r■，變換要求■=E=m ？棕■r■■■+r■，這個要求實際上意味著■=■=■=■

這就是開普勒第三定律。

五、結(jié)語

本文主要給出了胡克力與萬有引力軌跡使用復(fù)數(shù)表示時的一個變換，將兩個方程聯(lián)系了起來，從而通過胡克力運動方程的橢圓解得到了萬有引力運動方程的橢圓解（和極坐標系的結(jié)果[1]一致），并給出開普勒第一和第三定律證明。這一方法可以嘗試推廣到其它有心力之間的聯(lián)系變換。

參考文獻：

[1]舒幼生.力學(xué)[M].北京大學(xué)出版社，2005，09：128-139.