豆艾, 李璞金

山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 山西 臨汾 041000

0 引言

Berkovich 最早提出研究極大子群都同構(gòu)的有限群的結(jié)構(gòu)問題[1].極大子群都同構(gòu)的有限群在歷史上被稱為 MI 群.由著名的 Sylow 定理可知, MI 群只能是有限p群, 即素數(shù)冪階群.著名群論學(xué)家 Hermann、 Mann 等 曾對MI 群做過研究[2～5,8].宋薔薇等分類了亞循環(huán)和超特殊的MI群[6].然而截至目前, 人們只獲得了MI 群的某些性質(zhì)以及某些特定p群類的MI群.而分類 MI 群，仍是一個未解決的難題. 這個問題也被 Berkovich 在其p群專著“Groups of Prime Power Order I”提出, 即下列[7，Problem 77(d)]中的Classify thep-groups all of whose maximal subgroups are isomorphic.

趙立博等研究了pk階子群都同構(gòu)且交換的p群(稱之為AIk群)并給出了其分類. 顯然, 當|G|=pk+1時, AIk群恰是MI 群[8].張勤海研究了pk階子群都同構(gòu)且內(nèi)交換的p群(稱之為NSIk群)，并給出了其分類. 有趣的是, NSIk群只能是MI 群[9].

我們注意到, 交換群恰是冪零類為1的群.內(nèi)交換p群是冪零類為 2 的群.反之，冪零類為2 的p群不一定是內(nèi)交換p群.本文試圖研究極大子群都同構(gòu)且冪零類是 2 的群(稱之為C2In-1群),得到了這類群的一些性質(zhì). 注意到張勤海分類的是一類特殊的 C2In-1群,本文則完全分類了2元生成的冪零類等于2的C2In-1的有限p群(p>2)[9]. 本文所用符號與文獻[10]中符號一致.符號M1

1 預(yù)備知識

定理1[10,第53頁, 定理2.1.4(2)]設(shè)G是群,G=〈M〉,則Gn=〈[x1,x2,…,xn],Gn+1|xi∈M〉.

定理2[10,第125頁, 定理5.2.2(1)]設(shè)G是有限p群. 若c(G)

引理1[11]設(shè)G是非交換p群且d(G)=n.不妨設(shè)x1,x2,…,xn為G的n個生成元，則G有1+p+p2+…+pn-1個極大子群.它們分別是

其中,ij=0, 1, …,p-1,j=1,2,…,n-1.

2 2元生成類2的C2In-1群的分類

有限群G被稱為 C2In-1群,如果G的所有極大子群均同構(gòu)且冪零類為2.顯然C2In-1群是MI群,是有限p群.下文定理3給出了一些C2In-1群的性質(zhì),定理4給出了2元生成冪零類為2的C2In-1的有限p群(p>2)的分類.

定理3設(shè)G是 C2In-1群, exp(G)=pe, 則下列結(jié)論成立:

(1)c(G)≤3.

(2)Z(G)≤Φ(G).

(3)G′交換.

(4)若Ωe-1(G)≤/Φ(G)，則Ωe-1(G)=G.

(5)若G正則, 則?g∈G-Φ(G)都有o(g)=pe.

(6)exp(G3)≤p.

(7)若exp(G′)=pm, 則G是pm+1交換的.

(8)若exp(G′)=pf,e-f>1, 則Ωe-1(G)≤Φ(G).

(9)若G是有限2群, 則exp(G′)

證明 (1)?H3, 則由文獻[12,定理 3.3]得c(G)=3. 即證.

(2) 若否, 存在g∈Z(G),M1

(3) 由(1)可知,c(G)≤3.若c(G)=2, 則G′≤Z(G).即得G′交換.若c(G)=3, 則G4=1.任取g1,g2,g3,g4∈G,有[[g1,g2][g3,g4]]∈[G2,G2].由文獻[10，定理1.7.14]可知[G2,G2]≤G4=1，即得[[g1,g2],[g3,g4]]=1.于是G′交換.

(4) 若否, 則L=Ωe-1(G)Φ(G)

(5)設(shè)G正則.由文獻[10，定理 5.4.11]可知Ωe-1(G)=Ω{e-1}(G). 因此Ωe-1(G)

(6)因為G是C2In-1群, 由(1) 可知c(G)≤3.若c(G)=2, 顯然成立.若c(G)>2,由文獻[12，定理 3.7]即得exp(G3)=p.

(7)因為G是C2In-1群,由(1),(6)可知c(G)≤3且exp(G3)≤p.由(3)可知G′交換.于是G亞交換.任取g1,g2∈G, 由文獻[10，命題2.1.8] 的計算公式計算可知

即得G是pm+1交換的.

(8)由(6)可知,G是pf+1交換的,因而是pe-1交換的.于是Ωe-1(G)=Ω{e-1}(G)

(9)因為G是 C2In-1群,由(1),(3) 和 (6) 可知c(G)≤ 3,exp(G3)≤p且G′ 交換.于是存在a,b∈G使得o([a,b])=exp(G′). 若exp(G′)=exp(G)=2e, 由文獻[10，命題2.1.8]的計算公式計算可知

這與exp(G)=2e矛盾.故exp(G′)

定理4設(shè)G是2元生成且冪零類為2 的有限p群, 其中p>2，則G為 C2In-1群當且僅當G為下列互不同構(gòu)的群之一

G=〈a,b|apn=bpn=cpr=1,[a,b]=c,[c,a]=1,[c,b]=1〉

其中,n≥r>1.

證明 (?)d(G)=2 且c(G)=2的有限p群(p>2)已在文獻[14]中分類,見文獻[14,定理 3.1]和文獻[14，定理3.2].因此只需在上述兩個定理的群表中挑出C2In-1群即可.

情形1G為文獻[14，定理 3.1]中的群.此種情形下

G=〈a,b|apr+s+u=1,bpr+s+t=apr+s,[a,b]=apr〉

其中，r,s,t,u是非負整數(shù),r≥1,s+u≤r.

情形2G為文獻[14,定理3.2] 中的群.

此種情形下,G是下列4類群之一:

(1)〈a,b,c|apm=1,bpn=1,[a,b]=c,cpr=1,[c,a]=[c,b]=1〉, 其中，m≥n≥r;

(2)〈a,b,c|apm=1,bpn=1,[a,b]=c,cpr=bpt,[c,a]=[c,b]=1〉, 其中 ，m≥n>r,n>t≥(n+r)/2;

(3)〈a,b,c|apm=1,bpn=1,[a,b]=c,cpr=aps,[c,a]=[c,b]=1〉, 其中，m>n>r,m>s≥(m+r)/2,n≥m+r-s;

(4)〈a,b,c|apm=1,bpn=1,[a,b]=c,cpr=apsbpt,[c,a]=[c,b]=1〉, 其中，m>n>r,m>s>t>r,s+nt≥m-s+r.

參數(shù)m,n,r,s,t是正整數(shù),不同參數(shù)的群互不同構(gòu).

若G為(1)中的群且r=1, 則令M1=〈a,bp,c〉，則M1是交換極大子群.因此G不是C2In-1群,由定理3(5)可知o(a)=o(b)=pn.此時得到本定理中的群.

若G為(3),(4)中的群, 此時o(a)≠o(b). 由定理3(5)可知,G不是C2In-1群.