張莉

長治學(xué)院數(shù)學(xué)系， 山西 長治 046011

合作對策理論主要研究如何分配合作所產(chǎn)生的收益, 在日常生活中有廣泛的應(yīng)用. 例如股東的權(quán)利分配, 企業(yè)間合作的收益分配, 銀行破產(chǎn)債務(wù)分配等等. 在合作對策中, 不同的分配原則會得到不同的分配結(jié)果.1953年Shapley基于邊際貢獻提出了Shapley值[1，2]. 1965年Davis和Maschler基于超量和最大剩余值提出了核[3].1969年Schmeidler基于超量提出了核子[4], 超量是用來衡量聯(lián)盟抱怨(聯(lián)盟不滿意度)的, 核子就是基于聯(lián)盟抱怨用字典序的方法在分配集中找到的最優(yōu)解.自此,眾多學(xué)者將核子進行了推廣,得到了預(yù)核子[5]、廣義核子[6]、Modified Nucleolus[7]、SM-核子[8]、SD-核子[9]等等, 這些都是基于聯(lián)盟抱怨且都是用字典序的方法得到的解. 除用字典序的方法之外, Ruiz在1996年提出了最小平方預(yù)核子[10],在1998年提出了最小平方值[11],他用的是最優(yōu)化的方法選擇最優(yōu)分配使得各個聯(lián)盟的不滿意度變化最小化.之后在2000年Molina和Tejada給出了最小平方核子與廣義核子的關(guān)系[12].相較于基于聯(lián)盟不滿意度的解的研究的多樣化,從單個參與者自身的角度入手, 基于單個參與者的不滿意度的解的研究相對很少, 1994年Sakawa和Nishizaki首次從單個參與者的角度考慮對分配的不滿意度, 通過定義參與者超量得到了字典序解[13].

本文主要從單個參與者對于分配的不滿意度入手, 提出了新的衡量每個參與者不滿意度的標準, 基于這一標準用字典序的方法在預(yù)分配集中得到最優(yōu)解, 將該解稱為邊際預(yù)核子, 并對其進行了公理化研究以說明該解的公平合理性.

1 基本概念

GN表示定義在集合N上的所有具有n個參與者的合作對策的集合.2N表示N的所有子集,N的子集S(S?N)稱為一個聯(lián)盟, 實數(shù)v(S)表示聯(lián)盟S中的成員通過合作所能獲得的價值. 在不引起混淆的前提下, 為了方便使用, 我們用v代表對策(N,v), 用v(i)代替v({i}).

定義3對于任意n人對策v∈GN,支付向量x是有效的[1],若大聯(lián)盟的收益全部分給所有參與者,即

x(N)=v(N)

支付向量x是個體理性的, 若對任意的參與者i∈N在支付向量x下獲得的收益不少于它單干的價值,即

xi≥v(i)

支付向量x是聯(lián)盟理性的, 若對任意的聯(lián)盟S?N在支付向量x下獲得的收益不少于聯(lián)盟S的價值, 即

x(S)≥v(S)

所有滿足有效性的支付向量的集合稱為預(yù)分配集, 記作I*(v), 即

I*(v)={x∈Rn|x(N)=v(N)}

所有滿足有效性和個體理性的支付向量的集合稱為分配集, 記作I(v), 即

I(v)={x∈Rn|x(N)=v(N)且xi≥v(i)，對任意的i∈N}

對于任意n人對策v∈GN和支付向量x∈Rn,聯(lián)盟S的超量為

e(S,x)=v(S)-x(S)

由超量的定義可知,聯(lián)盟S的超量e(S,x)可以看成是聯(lián)盟S中的成員對于支付向量x的不滿意度或抱怨.e(S,x)越大, 聯(lián)盟S中的成員越感到受到不公平對待, 不滿意度也越大.

核子[4]是合作對策中一個非常重要的單值解, 它是基于超量的, 也可以說是基于聯(lián)盟抱怨的.

定義4令θ(x)是一個2n維的向量, 它的分量為e(S,x)(S?N), 并按照非遞增的順序排列. 即

θi(x)≥θj(x) 1≤i≤j≤2n

則θ(x)可看作是抱怨向量.

我們用字典序的方法對抱怨向量θ(x)，x∈Rn進行排序, 字典序記為“≤L”.對于任意的x,y∈Rn有

θ(x)

θ(x)≤Lθ(y) 若θ(x)

核子是在分配集中使得抱怨向量θ(x)按字典序最小的解.即

η(v)={x∈I(v)|θ(x)≤Lθ(y)},對任意的y∈I(v)}

2 主要結(jié)論

本節(jié)將從參與者個體抱怨的角度得到一個新的合作對策解——邊際預(yù)核子,并給出邊際預(yù)核子所具有的一些好的性質(zhì), 最后給出邊際預(yù)核子的公理化證明.

2.1 邊際預(yù)核子

核子是從聯(lián)盟抱怨的角度, 考慮每一個聯(lián)盟對于某個分配的不滿意度, 而作為合作中的每一個參與者也應(yīng)該都有各自對于某一分配的不滿意度. 在這一小節(jié)中基于參與者個體的不滿意度, 首先給出了一種新的參與者不滿意度衡量方法.

定義5對于任意對策v∈GN和任意支付向量x∈Rn，參與者i∈N的邊際超量為

ei(x)=e(N,x)-e(Ni,x)

定義7對任意對策v∈GN, 在預(yù)分配集I*(v)中滿足

的預(yù)分配x*是邊際預(yù)核子.

因此, 邊際預(yù)核子是在預(yù)分配集中選擇使得邊際抱怨向量按字典序排列最小的解. 這個解通過最小化邊際抱怨向量來盡量達到公平合理.

為了能給出邊際預(yù)核子的解析表達式, 我們首先給出下列推論.

推論1對任意對策v∈GN,邊際預(yù)核子x*滿足

據(jù)勘查，昌樂境內(nèi)藍寶石富礦區(qū)450平方公里，儲量數(shù)十億克拉，占全國藍寶石總儲量的90%以上，是繼泰國、澳大利亞、斯里蘭卡藍寶石礦之后世界上發(fā)現(xiàn)的第四大藍寶石礦床。昌樂藍寶石化學(xué)成分和礦物成分與緬甸、泰國、柬埔寨、斯里蘭卡等國家生產(chǎn)的藍寶石并無大的不同，“其化學(xué)成分主要是三氧化二鋁，就是金屬鋁的氧化物，因為含有微量元素鈦和鐵而呈現(xiàn)藍色，并且具有顆粒大、顏色純、質(zhì)量好、雙色性、易開采、奇異寶石多等特點。尤其是昌樂藍寶石獨有的雙色性，即表面呈現(xiàn)藍色，側(cè)面則是神奇的綠色，頗受國內(nèi)外珠寶界青睞，昌樂也因此被譽為“藍寶石之都”。

對任意的i,j∈N恒成立.

證明 我們用反證法來證明上述結(jié)論.

假設(shè)存在l,h∈N,使得

我們不妨假設(shè)

也就是說

1≤h

令

那么我們可以構(gòu)造新的解x**∈Rn, 使得

則

但是

因此,

證畢.

定理1對任意對策v∈GN,邊際預(yù)核子可以表示為

證明 首先, 在對策v∈GN中, 對任意預(yù)分配x∈I*(v)

是常數(shù).

又由推論1，邊際預(yù)核子x*滿足

即

ei(x*)=ej(x*)

對任意的i,j∈N恒成立.所以,

證畢.

2.2 邊際預(yù)核子的公理化

定義8一個支付向量x∈Rn滿足邊際超量相等性, 若對任意的對策v∈GN和任意的i,j∈N且i≠j,有

ei(x)=ej(x)

定理2邊際預(yù)核子是唯一滿足有效性和邊際超量相等性的解.

證明 由邊際預(yù)核子的定義及推論1可知, 邊際預(yù)核子滿足有效性和邊際超量相等性.

為了證明邊際預(yù)核子是唯一滿足有效性和邊際超量相等性的解, 我們假設(shè)存在兩個支付向量y1,y2∈Rn同時滿足以上兩個性質(zhì), 則必有y1=y2.

在對策中v∈GN,對任意預(yù)分配x∈I*(v)

是定值, 我們把該定值記為C.由于向量y1,y2都滿足個體超量相等性, 所以對任意參與者i∈N,有

即

ei(y1)=ei(y2)

對任意參與者i∈N都成立.由此可得y1=y2.

下面我們來證明上述用來公理化邊際預(yù)核子的兩個性質(zhì)是邏輯獨立的.

* 考慮解

該解只滿足邊際超量相等性不滿足有效性.證畢.

3 結(jié)語

本文主要從參與者個體的角度, 通過衡量每個參與者對于某個分配的不滿意度, 在預(yù)分配集中得到了一個新的解,即邊際預(yù)核子.為了進一步說明它的公平合理性, 我們進行了公理化研究.邊際預(yù)核子對于在實際合作中每個參與者如何分配合作所產(chǎn)生的收益具有一定的意義,但邊際預(yù)核子也損失了v(S),|S|≤n-2所包含的信息.如何將對策的所有信息包含在內(nèi)是我們未來進一步研究的方向.此外除了對新的解進行公理化之外,我們還可以從非合作的角度進行非合作機制設(shè)計[14],例如投標機制設(shè)計[15]，以說明它的公平合理性.