石冶郝 林 玲 孫 穎

(1. 首都師范大學初等教育學院, 北京 100048; 2. 湖南省邵陽市大祥區(qū)祥鳳實驗學校, 湖南 邵陽 422000)

0 引 言

李陽剛[1]從一道奧林匹克問題入手，利用柯西不等式及均值不等式得到一類不等式的統(tǒng)一證法，并提出兩個類似不等式的猜想. 為下文需要，先給出參考文獻[1]的兩個定理和兩個猜想.

定理A設a,b>1，-1≤λ≤1，則

(1)

定理B若a1,a2,…,an>1，n∈N+，n≥2，0<λ≤1，則

(2)

猜想1若a,b,c>1,0<λ≤1，則

(3)

猜想2若a1,a2,…,an>1，n∈N+，n≥2，0<λ≤1，則

(4)

本文利用函數(shù)的凹凸性，借助琴生不等式，給出了不等式(1) 和(2)的更一般的形式，在特殊情形下，上述兩個猜想得到了證明.

1 主要結(jié)論

定理1若a1,a2,…,an>1,n∈N+,-1≤λ≤1,則當μ≥1時,

(5)

等號成立當且僅當a1=a2=…=an.

定理2若0

(6)

等號成立當且僅當a1=a2=…=an.

定理1和定理2證明方法相似，下面僅給出定理1的證明.

當μ≥1時,且-1≤λ≤1,x>0，則f″(x)>0.

注1當μ=1時，由定理1的特殊情形容易發(fā)現(xiàn)參考文獻[1]的猜想2是成立的，顯然猜想2是猜想1的高維情形，因而猜想1自然成立. 但是定理1拓廣了兩個不等式(3) 和(4)中參數(shù)λ的研究范圍.

注2下面給出不等式(3)的一種加細．

=f(lna3)+f(lnb3)+f(lnc3)

故有

高維情形類似可得加細不等式.

為確認SL-ASIA量表測量的有效性，本文將3個村寨獲得的樣本按各村寨人數(shù)比例隨機分成人數(shù)基本相同的兩組（Ecklund，2005；Reynolds，Ecklund &Terrance，2011）。使用一組樣本借助探索性因子分析檢驗侗寨原住民的文化適應情況及內(nèi)在維度，使用另一組樣本借助驗證性因子分析來交叉驗證第一組樣本里提出的維度模型，以觀察和確認派生出的各個維度的內(nèi)部一致性。

注3當μ≥1時, 如果事先用數(shù)學歸納法證明了猜想2，但是數(shù)學歸納法證明過程非常繁瑣，則可根據(jù)不等式(2) 、(4)和冪平均不等式有

因此

整理即得定理1.利用Jensen加權不等式, 可以對定理1和定理2作加權推廣.

定理3若ak>1,ωk∈(0,1),k=1,2,…,n,ω1+ω2+…+ωn=1,n∈N+, -1≤λ≤1,

當μ≥1時,

(7)

等號成立當且僅當a1=a2=…=an.

定理4若ak∈(0,1],ωk∈(0,1),k=1,2,…,n,ω1+ω2+…+ωn=1,n∈N+,λ≥1,

則當0<μ≤1時,

(8)

等號成立當且僅當a1=a2=…=an.

下面給出定理3的證明.

利用Jensen加權不等式,

得ω1f(lnx1)+ω2f(lnx2)+…+ωnf(lnxn)≥f(ω1lnx1+ω2lnx2+…+ωnlnxn)，

同理可證定理4.

定理5若λ>0,n∈N+,ω1+ω2+…+ωn=1,ωk∈(0,1),k=1,2,…,n,

(1)當μ∈(-∞,0)時,xk∈(0,+∞) ,則

(9)

(10)

(11)

等號成立當且僅當x1=x2=…=xn.證明過程從略.

(12)

(11)退化為：

(13)

不等式(5)與(12)，(6)與(13)比較，結(jié)構相同，但是不等式中的變量約束條件和參數(shù)范圍不一致. 本文對λ<0的情形不再討論.

2 應 用

回顧定理1和定理2，當λ=1且μ=1時，即成為Henrici′s不等式[2]：

等號成立當且僅當a1=a2=…=an.

同時，本文所證定理的一些特殊情形也頻繁的出現(xiàn)在數(shù)學競賽關于不等式證明的試題中，利用定理1(當λ=1且μ=1時)和定理4，分別得到下面3個例題.

例1(第39屆IMO預選試題) 令實數(shù)r1,r2,…,rn≥1，試證

說明：本題也可以用數(shù)學歸納法證明.

不等式是數(shù)學的重要組成部分，它遍及數(shù)學的每一個分支學科，在競賽數(shù)學中占有不可忽視的一席之地. 命題者可以根據(jù)本文的結(jié)論編制不同的數(shù)學問題，為不同層次的學生提供方法.

3 思 考

若定理1中參數(shù)λ為負數(shù)，我們可以用級數(shù)方法重新證明不等式(5). 根據(jù)二項式函數(shù)(1+x)α的冪級數(shù)展開式[4]，

當α≤-1時, 收斂域為(-1,1).

因此,當μ≥1時,

于是