張冬梅（特級教師）

小學(xué)數(shù)學(xué)中有一類是主觀性較強(qiáng)的知識，是長期以來約定俗成的，通常被稱作“數(shù)學(xué)規(guī)定”或者“數(shù)學(xué)規(guī)則”。關(guān)于規(guī)則教學(xué)一直爭議頗多。有人認(rèn)為，數(shù)學(xué)規(guī)則都有深刻的背景和理由，從學(xué)生認(rèn)知水平的角度來看，不適合讓學(xué)生討論或探究作出某種規(guī)定的原因，并且有時也難于對小學(xué)生說清楚，因此教學(xué)中直接告訴學(xué)生就可以了。也有人認(rèn)為：如果僅僅是一味地告訴學(xué)生這是一個“規(guī)定”，從學(xué)生持續(xù)發(fā)展的角度來看，這樣的教學(xué)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，學(xué)生會誤認(rèn)為數(shù)學(xué)就是權(quán)威的、書本的，只要照做就可以了，會壓抑其探究精神和創(chuàng)新意識。為此，許多教師在進(jìn)行規(guī)則教學(xué)時感到進(jìn)退兩難。

細(xì)細(xì)研讀王健老師的《數(shù)學(xué)語言的習(xí)得與內(nèi)化》（后簡稱設(shè)計一）和張緬老師的《讓學(xué)習(xí)深度發(fā)生》（后簡稱設(shè)計二），很欣慰兩位教師均已在專業(yè)成長的路上走向成熟的同時，更深有感觸：上面的兩種觀點不是“是”與“非”的對立，而更應(yīng)該是合理應(yīng)用、恰當(dāng)演繹、科學(xué)取舍的問題。

蘇教版四年級下冊第八單元的《確定位置》主要教學(xué)用“數(shù)對”確定位置，在生活經(jīng)驗描述位置的基礎(chǔ)上，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法確定位置，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思考的能力，并且滲透以后要認(rèn)識學(xué)習(xí)的直角坐標(biāo)系。兩份設(shè)計的風(fēng)格迥異，在目標(biāo)上各有重點，在策略上也各顯身手。

一、基于兒童的認(rèn)知規(guī)律：淡化證明，強(qiáng)化合理

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史業(yè)已充分表明，創(chuàng)建數(shù)學(xué)的基石是人的自由思想。德國數(shù)學(xué)家康托爾說，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是自由的。數(shù)學(xué)規(guī)則同樣也蘊含著豐富的自由思維，我們不應(yīng)該只看到它的歷史規(guī)定性，而是應(yīng)該看到其源頭都閃爍著人類的自由思維。按照數(shù)學(xué)科學(xué)的要求，數(shù)學(xué)規(guī)則的敘述必須嚴(yán)密、準(zhǔn)確，都要經(jīng)過嚴(yán)格的論證。但受兒童智力發(fā)展水平和接受能力的限制，許多小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則并不進(jìn)行嚴(yán)格的證明。為了讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、邏輯性，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)規(guī)則是有根有據(jù)的，小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)一般采用合情推理，用不完全歸納法或類比法導(dǎo)出。正如張奠宙先生也認(rèn)為，對于數(shù)學(xué)規(guī)定雖然不需要證明，只要遵守，但我們可以談“規(guī)則”的合理性。

1.合理訴說，表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)則之“溫情”。

設(shè)計一中，“小軍坐在哪里呢？”的設(shè)問，學(xué)生有不同的回答：“小軍坐在從左往右數(shù)的第四組，從下往上數(shù)的第三個”“小軍坐在第三排第四個”“小軍坐在第四組第三個”……學(xué)生的答案都合理，為什么卻不一樣呢？學(xué)生在反思中意識到了需要統(tǒng)一“方向”與“順序”的重要性。于是有關(guān)“行”“列”的教學(xué)，以及先“列”后“行”順序的規(guī)定都順理成章。“小軍坐在第四列第三行”，隨著問題的解決，有關(guān)“數(shù)對”的規(guī)則不但自然形成，還盡顯了數(shù)對規(guī)則的合情合理之意。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多規(guī)定或規(guī)則都可以如設(shè)計一那樣，不需要讓學(xué)生進(jìn)行探究和猜想，可以先入為主，借助情境或相關(guān)事例，化抽象為具體，合理解釋規(guī)則，幫助學(xué)生更好地認(rèn)識規(guī)則、理解規(guī)則，從而明確數(shù)學(xué)不是枯燥無味的，而是生動活潑的。或許，這些解釋用歷史的真實來考察，可能會與史實有些出入，但卻是基本符合本意的教學(xué)情境描述，它讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)規(guī)定不僅理性，而且充滿溫情和意蘊。

2．合理剖析，體現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)則之“簡潔”。

數(shù)學(xué)課程的一個重要目的，是使學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，形成一定的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)意識。數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)往往可以起到促進(jìn)作用。數(shù)學(xué)規(guī)則的背后往往蘊含著深刻的道理，而有些規(guī)則可以通過適度的剖析，讓學(xué)生從中體會到一定的數(shù)學(xué)思想或者數(shù)學(xué)意識。比如，“求簡”原則便是其中最顯著體現(xiàn)的數(shù)學(xué)意識之一。

設(shè)計一中有一次經(jīng)典追問是：“還有更加簡潔的表達(dá)方式嗎？”學(xué)生很快有了個性化的表達(dá)方式：4 列3 行、4|3-、4 3、（4，3）……

很顯然，這些個性化的表達(dá)方式中，大家不約而同地選擇了“4”“3”這兩個元素，再細(xì)細(xì)一剖析，本著既“簡潔”又“明確”的原則，大家確定了“（4，3）”這樣的表示方法。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，很多規(guī)則的教學(xué)，比如書寫格式、運算順序等規(guī)定，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的求簡原則。上面設(shè)計一中表現(xiàn)出來的豐富多彩的個性化表達(dá)方式，本身也是教學(xué)開放的成果，一方面基于兒童思維的發(fā)展，體會規(guī)則誕生之曲折；另一方面，學(xué)生結(jié)合豐富的材料進(jìn)行合理剖析，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)規(guī)則，真實感受數(shù)學(xué)的求簡原則。這樣的課堂，讓學(xué)生既能明白規(guī)則的意義，又能牢固掌握所學(xué)的相關(guān)知識，拓寬了教學(xué)空間而未超越學(xué)生的思維領(lǐng)域。

王尚志教授說，數(shù)學(xué)要講邏輯推理，更要講道理。規(guī)則教學(xué)也就可以這樣理解：既要呈現(xiàn)為什么要有這個規(guī)定，如果沒有這個規(guī)定會發(fā)生什么；還要不滿足于僅僅讓學(xué)生知道是什么，而是深入地理解為什么會這樣規(guī)定。

二、基于學(xué)科核心素養(yǎng)：大膽探索，逐步深化

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的本質(zhì)是“具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)”。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先要學(xué)會思維，數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤為重要。在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中，特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生的思維品質(zhì)，這是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，以及數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值所決定的。而同時，我們必須認(rèn)識到，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。學(xué)生的核心素養(yǎng)是在教育的過程中形成的，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)同樣是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中形成的。數(shù)學(xué)課程與教學(xué)在擔(dān)負(fù)著傳授數(shù)學(xué)知識的技能任務(wù)的同時，還有培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要任務(wù)。落實到每一節(jié)數(shù)學(xué)課堂上，也必須將學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)作為重要目標(biāo)，并采取有效的策略與方法使其真實落地。

1．自主建構(gòu)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)規(guī)則之“發(fā)展”。

數(shù)學(xué)規(guī)則的形成和發(fā)展不是一蹴而就的，也不是一成不變的。甚至很多數(shù)學(xué)規(guī)則從產(chǎn)生到被普遍承認(rèn)也不是一朝一夕就能完成的，都有一個曲折而漫長的過程。數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個有指導(dǎo)的“再創(chuàng)造”的過程。對于數(shù)學(xué)中的規(guī)則，我們必須從數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展的視角加以審視，必須從直接經(jīng)驗對學(xué)生學(xué)習(xí)的積極作用方面加以考慮。因此，如果屬于學(xué)生能夠自主建構(gòu)的數(shù)學(xué)規(guī)則，我們主張讓學(xué)生用“再創(chuàng)造”的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)規(guī)則形成與發(fā)展的過程，親歷“人類思維發(fā)展中的那些關(guān)鍵性的步子”，感受并體會數(shù)學(xué)規(guī)則的產(chǎn)生是自然的，從而更好地了解數(shù)學(xué)規(guī)則在數(shù)學(xué)內(nèi)部需要與和諧發(fā)展中形成的思想背景與承擔(dān)的功能，達(dá)到對規(guī)則更深刻、更精確、更厚實地理解和把握。

本節(jié)課，就知識結(jié)構(gòu)而言，應(yīng)該遵從數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的發(fā)展脈絡(luò)，體現(xiàn)一種大格局：“數(shù)對”不應(yīng)該只是生活中“第幾列第幾行”的直接升級，而應(yīng)該把它作為“平面直角坐標(biāo)系”的雛形；同時，就教學(xué)過程而言，學(xué)生的“當(dāng)下”才是教學(xué)的起點，一定要遵從學(xué)生真實的學(xué)習(xí)過程，激活學(xué)生的經(jīng)驗，用好學(xué)生原生態(tài)的學(xué)習(xí)痕跡，相機(jī)而導(dǎo)，順學(xué)而為，促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展，指向?qū)W生學(xué)科核心素養(yǎng)的提升。設(shè)計二創(chuàng)設(shè)了尋找光頭強(qiáng)的游戲，教學(xué)首先通過游戲引導(dǎo)學(xué)生回顧了一維空間中點的位置的描述方法，明確了直線上任意一點都有唯一的一個數(shù)與它對應(yīng)。隨著“光頭強(qiáng)”的移動，問題也從確定直線上點的位置，過渡到確定平面上點的位置，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用原有的方法描述的信息是模糊的，于是形成了認(rèn)知沖突，推動他們?nèi)で笮碌慕鉀Q方法。到底如何確定平面上“光頭強(qiáng)”的位置呢？課堂給了學(xué)生充分的時間與空間，讓學(xué)生自主探索、積極研究如何確定二維空間里點的位置。由于學(xué)生認(rèn)知起點、思維水平的差異，課堂上呈現(xiàn)出了不同層次的思維成果。有的學(xué)生說“在3的正前方2 厘米處”；也有的學(xué)生說“要是能在圖上豎著放一把尺就好了”；還有的學(xué)生說“我在森林的左邊標(biāo)上了數(shù)字。從光頭強(qiáng)現(xiàn)在位置對著橫軸和豎軸上相應(yīng)的數(shù)字畫橫線和豎線，這樣看得更清楚?！憋@然，學(xué)生在激烈的思維碰撞中，完成了從一維到二維的艱難突破，逐步創(chuàng)造出了平面直角坐標(biāo)系（第一象限）雛形。課堂上激烈的生生互動，有質(zhì)疑、有補(bǔ)充、有尊重、有完善，而這些都是主動建構(gòu)的真實經(jīng)歷，學(xué)生成功實現(xiàn)了“再創(chuàng)造”。

學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)規(guī)則的過程，是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的有機(jī)組成部分，是師生共同開發(fā)教材與經(jīng)歷成長的動態(tài)過程，是師生共同理解、感受、體驗、欣賞數(shù)學(xué)的重要途徑。這種經(jīng)歷數(shù)學(xué)規(guī)則“再創(chuàng)造”的過程而獲得的知識是那么的鮮活和牢固，因為這是學(xué)生自我建構(gòu)所得。在自我建構(gòu)的過程中，學(xué)生更是充分地感受到數(shù)學(xué)是基于實際生活和需要而產(chǎn)生和發(fā)展的，數(shù)學(xué)的“親和”與“道理”也就更能深入人心。

2.整體視野，感受數(shù)學(xué)規(guī)則之“聯(lián)系”。

“數(shù)學(xué)知識不在于全，而在于聯(lián)”。在小學(xué)階段，為適應(yīng)小學(xué)生認(rèn)知能力及認(rèn)知規(guī)律，小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要規(guī)則，往往采用先滲透，再深化，逐步提高的分段編排方法。這樣的編排方法，本身就對教學(xué)提出了“整體視野”的要求，要求教師在教學(xué)某一規(guī)則時，一定要理性而深刻地把握教學(xué)內(nèi)容，向前追溯這一內(nèi)容的生活經(jīng)驗與知識經(jīng)驗，向后思索這一內(nèi)容的數(shù)學(xué)意義，在學(xué)科體系中的地位、價值，蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)精神等等。規(guī)則的教學(xué)只有注重了知識的“生長點”與“延伸點”，把規(guī)則置于整體結(jié)構(gòu)和體系中，才能更好地把握局部與整體的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。在規(guī)則教學(xué)中，如果能找到一個與兒童貼近的載體，利用合適的形式，不僅可以讓學(xué)生明白這樣規(guī)定是有道理的，而且還能打通數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性。

設(shè)計二中，尋找光頭強(qiáng)的游戲正是這樣的載體。隨著光頭強(qiáng)位置的變化，引發(fā)了學(xué)生對于一維與二維確定位置不同方法的關(guān)注，體會其中的聯(lián)系與區(qū)別，學(xué)生的思維實現(xiàn)從一維到二維突破的同時，更是完善了原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；課的最后，光頭強(qiáng)借助直升飛機(jī)逃離的情境，又將學(xué)生的視野從平面的點拓展到了三維空間中的點，思維還將從二維向三維發(fā)展。課堂的四十分鐘，是師生生命的一次真實經(jīng)歷，而思考更不會因為四十分鐘的到來而停止。怎么表示空中光頭強(qiáng)的位置又成為新的懸念，激勵學(xué)生進(jìn)一步地探索，數(shù)學(xué)規(guī)則也就在學(xué)生不斷地思考與研究中深化，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)還將不斷地更新、不斷地完善。

數(shù)學(xué)規(guī)則的“理”具有抽象性，往往被認(rèn)為是學(xué)生觸不可及的。但我們不能忽視的是“理”更具有歷史性、貫通性、綜合性和人文性，是前人的智慧結(jié)晶，其“情”是可以讓學(xué)生親近的。在數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)中，無論是基于兒童的認(rèn)知規(guī)律，還是基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，我們都應(yīng)當(dāng)理性對待，處理好“科學(xué)數(shù)學(xué)”和“學(xué)科數(shù)學(xué)”的關(guān)系，實現(xiàn)“情”與“理”的融會貫通，促進(jìn)學(xué)生智慧的增長，讓數(shù)學(xué)規(guī)則根植于學(xué)生的心田，使其應(yīng)用源自于學(xué)生內(nèi)心的心智。