丁國龍 秦 園 明廷伯 趙大興 余運清

1.湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，武漢，4300682.武漢市精華減速機(jī)制造有限公司，武漢，430068

0 引言

隨著工業(yè)機(jī)器人的發(fā)展，人們對RV減速器的傳動精度和使用壽命提出了越來越高的要求，擺線輪作為RV減速器的關(guān)鍵部件，開展其齒廓修形技術(shù)的研究很有必要。CHMURAWA等[1]通過分析擺線輪齒廓修形與擺線輪載荷之間的關(guān)系，得到了修形后具有良好性能的擺線輪，但對具體修形方法涉及較少。庫特略夫采[2]通過分析擺線針輪傳動理論，提出了一套適用于標(biāo)準(zhǔn)齒廓的擺線輪齒形受力分析理論，卻忽略了修形后的擺線輪齒廓的變化對受力的影響。LEHMANN等[3]分析了擺線輪成形機(jī)理、誤差分布規(guī)律以及徑向修形引起的間隙和法向修形引起的間隙之間的關(guān)系。由于核心技術(shù)保密等因素，目前可檢索到的國外相關(guān)的研究報道極少[4]。國內(nèi)方面,王秋成[5]建立了包括等距、移距和轉(zhuǎn)角三種修形方式的擺線輪齒形的通用參數(shù)方程，并提出了一種符合工程實際的擺線針輪嚙合受力的分析方法。嚴(yán)勇等[6]對齒輪嚙合過程進(jìn)行分析，提出分段復(fù)合修正的思想，在齒根和齒頂處采用圓弧修正，在主要傳力段進(jìn)行轉(zhuǎn)角修正和微量鼓形修正。此外，關(guān)天民等[7]提出了“反弓”齒廓的概念，通過“正等距+負(fù)移距”組合修形方式對擺線輪進(jìn)行修形，并且給出了優(yōu)化設(shè)計方法。該齒廓與傳統(tǒng)組合修形方式獲得的齒廓相比，可以有效減小最大接觸力，提高齒面承載能力。陳振宇[8]提出了基于成形磨削的擺線輪齒廓的分段修形方法，王新春[9]在其基礎(chǔ)上分析了齒輪嚙合時的潤滑問題，確定了擺線針輪潤滑的最小油膜厚度，從而給出了擺線輪齒根處非工作段的三次擬合樣條曲線。

本文提出一種基于接觸應(yīng)力均化的擺線輪齒廓修形方法，該方法以壓力角較小的齒廓工作段為修形區(qū)間，綜合考慮齒側(cè)間隙(簡稱“側(cè)隙”)和傳動精度，以各齒齒面接觸應(yīng)力方差最小的轉(zhuǎn)角修形齒廓為目標(biāo)齒廓，采用“負(fù)等距+正移距”組合修形方式逼近目標(biāo)齒廓，在保證傳動精度的前提下可以均化齒面接觸應(yīng)力，有效提高RV減速器的使用壽命。

1 擺線輪齒廓常用修形方法對比分析

1.1 擺線輪齒廓基本修形方式

根據(jù)擺線輪成形機(jī)理，目前最基本的擺線輪齒廓修形方式有等距修形、移距修形和轉(zhuǎn)角修形三種，包含以上三種修形參數(shù)的擺線輪齒廓方程為[10]：

(1)

本文以RV-80E樣機(jī)為研究對象，樣機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 RV-80E樣機(jī)基本參數(shù)

取相同的等距和移距以及適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)角分別對齒廓進(jìn)行修形，代入式(1)中，得到的齒廓與標(biāo)準(zhǔn)齒廓對比如圖1所示。

圖1 修形后的齒廓Fig.1 Modification profile

由圖1可知，三種基本修形方式具有如下特點：①在修形量相同情況下, 等距修形和移距修形能在齒頂和齒根處形成相同的間隙，而在其他位置，等距修形的法向間隙大于移距修形的法向間隙。②轉(zhuǎn)角修形齒廓在齒根與齒頂處沒有間隙，從齒頂?shù)烬X根，徑向間隙先增大后減小，因此選擇合適的轉(zhuǎn)角修形量，能夠保證齒根與齒頂處無間隙嚙合，而在齒廓工作段留有適當(dāng)?shù)拈g隙,以有效補(bǔ)償制造誤差和安裝誤差，同時為潤滑留下足夠的空間。

1.2 齒面受力分析

圖2為擺線輪初始間隙示意圖，當(dāng)最先接觸點所受力為Fb時，產(chǎn)生的對應(yīng)形變?yōu)棣腷，所傳遞的力矩為Tc，其余各個位置的受力記為Fi，變形記為δi，初始間隙記為Δφi，有[11]

(2)

圖2 初始間隙示意圖Fig.2 Initial gap diagram

(3)

式中，θT為初始嚙合時針輪轉(zhuǎn)過的角度;θi為第i號齒嚙合時針輪相對于轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)角。

修形后的擺線輪在傳遞轉(zhuǎn)矩時，由于擺線輪與針輪之間存在接觸變形，在嚙合點或者待嚙合點法線方向會產(chǎn)生相應(yīng)的變形δi。

經(jīng)過修形后的擺線輪，如果不考慮彈性變形的補(bǔ)償作用，擺線輪與針輪之間存在大小不同的初始間隙，初始間隙表達(dá)式為[11]

(4)

只有變形量δi的值大于該位置初始間隙ΔQi的各齒才參與嚙合。以圖3為例，只有2～10號齒之間的變形量大于初始間隙，因此只有2～10號針齒參與了嚙合。

圖3 初始間隙和變形量分布曲線Fig.3 The distribution curve of initial gap and deformation

由力矩平衡關(guān)系可知Fb與δb的關(guān)系：

(5)

式中，Li為擺線輪傳動力臂。

由于RV減速器中的針齒都有一半插入針齒座上，因此針齒銷的彎曲變形很小，可以忽略不計，則總的變形量近似為接觸變形，總的變形量與接觸力的關(guān)系可表示為

(6)

(7)

式中，E為彈性模量；μ為泊松比；b為擺線輪寬度；|ρ|為最先接觸點處的曲率半徑ρ的絕對值。

修形后的擺線輪曲率半徑可由下式計算：

(8)

接觸應(yīng)力可由赫茲公式得到：

(9)

其中，|Fi|為各齒之間的嚙合接觸力Fi的模；Ee為當(dāng)量彈性模數(shù)；ρei為當(dāng)量曲率半徑，有

(10)

式中，ρi為擺線輪在某嚙合點處的曲率半徑。

將得到的各齒之間的接觸力代入到赫茲公式中，可以得到擺線輪與針輪嚙合時各齒之間的接觸應(yīng)力分布情況。

1.3 兩種基本組合修形方式比較

采用單一修形方式修形往往無法滿足RV減速器高精度的要求。在實際加工過程中，一般采用“正等距+負(fù)移距”和“負(fù)等距+正移距”兩種組合修形方式來對擺線輪進(jìn)行修形。在修形量相同情況下，移距修形相較于等距修形所形成的回轉(zhuǎn)角較小。根據(jù)修形量選取公式[12]：

(11)

(12)

給定相同徑向間隙Δ=0.02 mm，可以計算得到兩種組合修形方式下對應(yīng)的回轉(zhuǎn)角，如表2所示。

表2 修形量和回轉(zhuǎn)角

由表2可知，通過“負(fù)等距+正移距”修形后的擺線輪齒廓相較于通過“正等距+負(fù)移距”修形后的擺線輪齒廓，在與標(biāo)準(zhǔn)擺線輪配合傳動時，抵消間隙所需要轉(zhuǎn)過的角度(間隙回轉(zhuǎn)角)較小。

根據(jù)表2所給的參數(shù)，可以作出經(jīng)過“負(fù)等距+正移距”和“正等距+負(fù)移距”組合修形方式修形后的齒廓與原齒廓的對比圖(圖4)。

圖4 兩種組合修形方式齒廓對比Fig.4 Tooth profile comparison chart of two combinations of shaping methods

由圖4可知，通過“負(fù)等距+正移距”組合修形方式形成的擺線輪齒廓相較于通過“正等距+負(fù)移距”組合修形方式形成的擺線輪齒廓更接近于標(biāo)準(zhǔn)齒廓。

以表2中的修形量為例，施加相同載荷，對兩種組合修形方式修形后的擺線針輪接觸應(yīng)力進(jìn)行比較，結(jié)果如圖5所示。

圖5 接觸應(yīng)力對比圖Fig.5 Compare figure of contact stress

由圖5可知，經(jīng)過“正等距+負(fù)移距”組合修形的擺線輪相較于經(jīng)過“負(fù)等距+正移距”組合修形的擺線輪，在施加相同載荷時，參與嚙合的齒數(shù)更多，并且各齒受力較小，較均衡，而后者參與嚙合的齒數(shù)較少，各齒之間受力變化較大。

綜上，在保證徑向間隙相同的情況下，通過“負(fù)等距+正移距”組合修形的擺線輪相較于通過“正等距+負(fù)移距”組合修形的擺線輪，在傳動時，雖然同時嚙合的齒數(shù)較少，各齒受力較集中，但是引起的間隙回轉(zhuǎn)角較小，能有效提高RV減速器的傳動精度。因此目前主要采用“負(fù)等距+正移距”的組合修形方式。

2 接觸應(yīng)力均化的擺線輪修形方法

由于通過轉(zhuǎn)角修形形成的齒廓與標(biāo)準(zhǔn)針輪嚙合時，齒根與齒頂處無間隙，在齒廓工作段留有適當(dāng)?shù)拈g隙，同時嚙合齒輪具有傳動平穩(wěn)性好、同時嚙合齒數(shù)多、整體剛度大等優(yōu)點，因此在采用“負(fù)等距+正移距”組合修形方式時，以合適的轉(zhuǎn)角修形齒廓為優(yōu)化目標(biāo)，在給定徑向間隙的條件下使得經(jīng)過組合修形的齒廓逼近轉(zhuǎn)角修形的齒廓?；诮佑|應(yīng)力均化的修形流程如圖6所示。

圖6 基于齒面接觸應(yīng)力均化流程圖Fig.6 The flow chart of cycloidal wheel based on contact stress equalizatio

2.1 最佳組合修形逼近算法

由式(1)可知，給定初始的轉(zhuǎn)角修形量Δθz，可得到優(yōu)化目標(biāo)轉(zhuǎn)角修形齒廓的參數(shù)方程點集，記為(xzi，yzi)，同理，根據(jù)“負(fù)等距+正移距”的修形方式，給定初始等距修形量Δrrp和移距修形量Δrp，可以得到待優(yōu)化的組合修形齒廓參數(shù)方程點集，記為(xci，yci)，如圖7所示。

圖7 修形量優(yōu)化示意圖Fig.7 Modification quantity optimization schematic

將擺線輪的主要工作齒廓在x軸方向的投影平均分成k份，轉(zhuǎn)角修形齒廓曲線與組合修形齒廓曲線并不重合，所以在橫坐標(biāo)相同時，縱坐標(biāo)不一定重合，即令xci=xzi時，yci-yzi≠0，將工作齒廓區(qū)間的k個點所對應(yīng)縱坐標(biāo)的差值的絕對值求和，再取其平均值，作為評判組合修形齒廓接近轉(zhuǎn)角齒廓的參數(shù)。所求平均值越小，兩者之間接近程度越高，因此目標(biāo)函數(shù)可以定義為

(13)

2.2 確定最優(yōu)修形區(qū)間

在擺線輪與針輪嚙合傳動過程中，壓力角越小，傳動效率越高，同時曲柄軸軸承所承受的力越小。

圖8所示為壓力角在一個嚙合周期內(nèi)變化規(guī)律。只有在xj點處壓力角取最小值，而嚙合時是一個區(qū)間，因而要保證該區(qū)間內(nèi)壓力角平均值最小，在壓力角最小點附近取邊界點xb和點xe，保證xe-xb=θw，其中θw為區(qū)間的范圍，可根據(jù)擺線針輪傳動時期望共同嚙合齒數(shù)Nw求得，即

(14)

圖8 優(yōu)化區(qū)間示意圖Fig.8 Optimization interval diagram

根據(jù)壓力角的解析式

a=arctan(dyc/dxc)-arctan(yc/xc)

(15)

可以求得最小壓力角處對應(yīng)的橫坐標(biāo)值xj。在0和xj點之間給定一個初始值xb0，并以它為起點，xb0+θw為終點，設(shè)置步長i，計算該區(qū)間各點對應(yīng)壓力角和的平均值。遍歷0～xj區(qū)間，將所得平均值最小的對應(yīng)起點xb作為擺線輪工作齒廓的起點，則點xe=xb+θw為擺線輪工作齒廓的終點。

2.3 徑向間隙和側(cè)隙的確定

擺線輪徑向間隙主要影響非工作齒廓的形狀；工作段側(cè)隙則要考慮多個因素綜合選取，因為它會直接影響RV減速器傳動精度、整機(jī)剛度以及平穩(wěn)性等整機(jī)性能。

假設(shè)彌補(bǔ)擺線輪因加工誤差所需的嚙合側(cè)隙為cw，彌補(bǔ)因齒輪熱變形所需的嚙合側(cè)隙為ch，潤滑的最小側(cè)隙為cr，假設(shè)RV減速器背隙所允許的最大值為rb。由力臂的計算公式可知，在力臂最大處，為滿足上述初始條件所需要的最小的轉(zhuǎn)角為

(16)

假定加工誤差、熱變形、油膜最小厚度很小且為常數(shù)，那么Δθz也是一個常量，但是以該轉(zhuǎn)角修形齒廓作為擬合修形目標(biāo)齒廓時，齒廓受力方式并非是最好的。實際上，Δθz在較小范圍內(nèi)變化時，組合修形擬合得到的等距與移距修形量變化并不明顯，回差也變化較小，回轉(zhuǎn)角也只是有微小的變化，并且可以通過后續(xù)的轉(zhuǎn)角修形進(jìn)行彌補(bǔ)。

在初始間隙、優(yōu)化區(qū)間都相同時，以轉(zhuǎn)角修形量分別為Δθz0=0.000 5 rad，Δθz1=0.000 55 rad，Δθz2=0.000 6 rad為例，得到對應(yīng)的擬合等距和移距修形量如表3所示。

表3 修形量優(yōu)化求解結(jié)果

進(jìn)一步將上述得到的擬合等距和移距修形量代入到擺線針輪受力求解方程中，得到擺線輪與針輪的接觸應(yīng)力變化曲線，如圖9所示。

圖9 接觸應(yīng)力對比圖Fig.9 Compare figure of contact stress

由圖9可知，在載荷相同條件下，選擇不同的轉(zhuǎn)角修形齒廓作為擬合修形的目標(biāo)齒廓，優(yōu)化修形后的擺線輪與標(biāo)準(zhǔn)針輪傳動時，同時嚙合的齒數(shù)以及各齒之間的接觸應(yīng)力分布都有明顯的差異，因此需要在轉(zhuǎn)角合理范圍內(nèi)找到一個最佳的Δθz值作為最佳的擬合轉(zhuǎn)角修形量。

λ′=θT

(17)

根據(jù)式(16)可知,經(jīng)組合修形方式得到的擺線輪需的轉(zhuǎn)角修形量為

θz=θT-Δθz

(18)

2.4 最佳擬合轉(zhuǎn)角修形量的求解

由于傳動時是多個齒同時嚙合的，而所有嚙合齒的接觸應(yīng)力方差相較于應(yīng)力平均值變化更加明顯，所以采用方差衡量修形的效果。

以θb=0.000 5 rad，θe=0.000 8 rad，初始間隙Δ=0.02 mm為例，將區(qū)間劃分成n=40等份依次進(jìn)行搜索，可得到各擬合轉(zhuǎn)角修形量下各組嚙合齒的接觸應(yīng)力方差分布如圖10所示。

由接觸應(yīng)力方差圖可知，選擇不同轉(zhuǎn)角作為修形的目標(biāo)齒廓，優(yōu)化后的齒面接觸應(yīng)力是有明顯差異的。

3 仿真分析與試驗對比

3.1 仿真分析

本文以RV-80E樣機(jī)為研究對象，對基于接觸應(yīng)力均化的修形方法的理論正確性以及優(yōu)越性進(jìn)行驗證。各初始條件如表4所示。

表4 求解初始條件

將表4中的初始條件代入到最佳擬合轉(zhuǎn)角修形量的求解中，得到的各主要參數(shù)如表5所示。

表5 主要參數(shù)計算結(jié)果

同時，根據(jù)最佳轉(zhuǎn)角修形量的求解過程，可以得到每個子步對應(yīng)轉(zhuǎn)角修形量下，擺線針輪傳動時同時嚙合的齒數(shù)以及各齒之間的最大接觸應(yīng)力分布情況，其中擺線針輪傳動受力情況與擬合轉(zhuǎn)角修形量之間的關(guān)系如圖11所示。

圖11 嚙合齒接觸應(yīng)力分布與擬合轉(zhuǎn)角修形量的關(guān)系Fig.11 Relationship between the contact stress distribution of the meshing teeth and the amount of deformation of the fitted corner

由圖11可知，隨著轉(zhuǎn)角修形量的增大，經(jīng)組合修形優(yōu)化后的擺線輪，在與針輪嚙合時，同時嚙合的齒數(shù)隨之增多；在轉(zhuǎn)角修形量不變時，各齒之間的最大接觸應(yīng)力先逐漸增大，達(dá)到峰值后，逐漸減小。

為了更直觀地比較不同轉(zhuǎn)角修形量對應(yīng)的齒面應(yīng)力分布情況，在擬合轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)，選取求得的最佳擬合轉(zhuǎn)角修形量前后各一段區(qū)間，得到一系列轉(zhuǎn)角修形所對應(yīng)的接觸應(yīng)力分布圖，選取接觸應(yīng)力變化較為明顯的對應(yīng)轉(zhuǎn)角修形量，畫出對應(yīng)擬合轉(zhuǎn)角修形量下的擺線針輪齒面接觸應(yīng)力分布如圖12所示。

圖12 對應(yīng)擬合轉(zhuǎn)角下的接觸應(yīng)力分布圖Fig.12 Contact stress distribution figure corresponding to the fitted corner

由圖12可知，轉(zhuǎn)角修形量與最佳轉(zhuǎn)角修形量相差越小時，各齒之間接觸應(yīng)力越均衡，轉(zhuǎn)角修形量與最佳轉(zhuǎn)角修形量相差越大，各齒之間的接觸應(yīng)力變化也越大；此外，隨著轉(zhuǎn)角修形量的增大，同時嚙合的齒數(shù)也呈增加趨勢。

由于“負(fù)等距+正移距”組合修形方式理論上可以滿足擺線針輪傳動回轉(zhuǎn)角為“0”的條件，因此取Δθz=0，根據(jù)表3中的最佳等距和最佳移距修形量，利用最佳擬合轉(zhuǎn)角修形量的求解方法，可以求得此時最佳擬合轉(zhuǎn)角為

θT=5.699 0×10-4rad

根據(jù)式(18)可以得到所需的轉(zhuǎn)角θz為

θz=θT=5.699 0×10-4rad

圖13 齒廓對比圖Fig.13 Tooth profile comparison figure

圖14 接觸應(yīng)力對比圖Fig.14 Compare figure of contact stress

3.2 試驗對比分析

在仿真分析的基礎(chǔ)上，采用基于接觸應(yīng)力均化修形方式(參數(shù)如表5所示)和傳統(tǒng)修形方式(參數(shù)如表6所示)修形出擺線輪，然后組裝成RV減速器整機(jī)進(jìn)行樣機(jī)試驗。

表6 傳統(tǒng)修形方式的參數(shù)

傳動誤差是RV減速器綜合性能的重要指標(biāo)，本文選用ZRT-Ⅱ型工業(yè)機(jī)器人減速器試驗臺(圖15)測量樣機(jī)的傳動誤差，輸入端與輸出端均安裝有高精度角度傳感器，可以實時精確測量輸出端與輸入端角度變化。

圖15 ZRT-Ⅱ型工業(yè)機(jī)器人減速器試驗臺Fig.15 ZRT-Ⅱ industrial robot reducer test bench

傳動誤差計算公式為

Δθe=(θin-θout)/i0

式中，θin為輸入端角度；θout為輸出端角度；i0為傳動比，樣機(jī)傳動比為121。

在額定轉(zhuǎn)速下，分別測量樣機(jī)的傳動誤差，并繪制傳動誤差與輸出角度之間的曲線圖，見圖16和圖17。

圖16 傳統(tǒng)修形方法的傳動誤差曲線Fig.16 Transmission error curve of traditional shaping method

圖17 接觸應(yīng)力均化方法的傳動誤差曲線Fig.17 Transmission error curve of contact stress equalization method

由傳動誤差曲線可知，采用傳統(tǒng)修形方法的擺線輪傳動誤差介于-0.004 4°～0.007 2° ，采用接觸應(yīng)力均化修形方法的擺線輪傳動誤差介于-0.003 6°～0.006 9°。相較于傳統(tǒng)修形方式，采用基于接觸應(yīng)力均化的修形方式，能夠有效減小傳動誤差的最大值和最小值，降低RV減速器傳動誤差的波動范圍，有效提高傳動的穩(wěn)定性。

為進(jìn)一步驗證基于接觸應(yīng)力均化修形方法的優(yōu)越性，將組裝好的樣機(jī)安裝在ZRT-IS型垂直壽命試驗臺上進(jìn)行試驗，試驗臺如圖18所示。

圖18 ZRT-IS型垂直壽命試驗臺Fig.18 ZRT-IS horizontal life test bench

試驗條件設(shè)置為：額定轉(zhuǎn)速下以1.2倍額定負(fù)載運轉(zhuǎn)。觀察RV減速器運行1 000 h 、2 000 h、3 000 h擺線齒廓磨損情況，結(jié)果如表7所示。兩種修形方式的擺線輪在運行2 000 h、3 000 h的齒廓磨損對比見圖19。

由表7和圖19可知，采用傳統(tǒng)修形方式，齒面磨損嚴(yán)重并且比較集中；采用基于接觸應(yīng)力均化的擺線輪修形方式，能夠有效均化齒面受力，極大地改善齒面受力狀況，延長擺線輪的有效使用壽命。

表7 齒廓磨損對比

(a)基于接觸應(yīng)力均化運行(t=2 000 h) (b)傳統(tǒng)修形方式運行(t=2 000 h)

(c)基于接觸應(yīng)力均化運行(t=3 000 h) (d)傳統(tǒng)修形方式運行(t=3 000 h) 圖19 齒廓磨損對比圖Fig.19 Figure wear tooth profile comparison

4 結(jié)論

(1)采用“負(fù)等距+正移距”的組合修形方式，以同時嚙合各齒之間接觸應(yīng)力分布方差最小為優(yōu)化目標(biāo)修形，修形后的嚙合齒面接觸應(yīng)力分布均勻，受力狀況明顯改善。

(2)給出了基于齒面接觸應(yīng)力均化的計算方法，包括最佳轉(zhuǎn)角修形量的求解和對應(yīng)等距和移距修形量的求解。該算法簡單實用。

(3)通過RV-80E仿真以及試驗對比分析，驗證了該方法的正確性和可行性。相較于傳統(tǒng)修形方法，基于齒面接觸應(yīng)力均化的修形方法，可使嚙合齒數(shù)增加，齒面接觸應(yīng)力明顯減小，延長擺線輪的有效使用壽命，降低傳動誤差。