洪杰， 楊哲夫， 呂春光， 馬艷紅,*

(1. 北京航空航天大學(xué)能源與動力工程學(xué)院， 北京 100083；2. 先進(jìn)航空發(fā)動機協(xié)同創(chuàng)新中心， 北京 100083;3. 中國航發(fā)沈陽發(fā)動機研究所， 沈陽 110015)

高速柔性轉(zhuǎn)子一般工作在多階臨界轉(zhuǎn)速之上，且工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)存在以轉(zhuǎn)子彎曲振型為主的臨界轉(zhuǎn)速，為控制其轉(zhuǎn)子變形而常采用多支點支承方案。高速柔性轉(zhuǎn)子在起動工作過程中需要通過多階臨界轉(zhuǎn)速，會產(chǎn)生較大彎曲變形，對各支點動載荷及整機振動水平有很大影響。在工作循環(huán)中，支承結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)承載界面的損傷不斷積累，易產(chǎn)生軸承組件界面磨損和轉(zhuǎn)子連接界面接觸損傷等問題。

高速柔性轉(zhuǎn)子的質(zhì)量、剛度分布極不均勻，通過若干界面配合、連接而成，轉(zhuǎn)子產(chǎn)生彎曲變形時，連接結(jié)構(gòu)處的應(yīng)變能會導(dǎo)致轉(zhuǎn)子彎曲剛度存在一定的分散性[1]，同時考慮到支承結(jié)構(gòu)的裝配誤差和工作載荷波動，支承剛度同樣具有一定的分散度，導(dǎo)致臨界轉(zhuǎn)速分布、轉(zhuǎn)子振幅等呈現(xiàn)區(qū)間分布特征。在轉(zhuǎn)子彎曲變形不大，不考慮連接結(jié)構(gòu)剛度損失時，可基于轉(zhuǎn)子連續(xù)力學(xué)模型，通過確定性方法進(jìn)行臨界轉(zhuǎn)速設(shè)計[2]，以實現(xiàn)避開有害振動的設(shè)計目的。隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速負(fù)荷的加大，在工作載荷環(huán)境下轉(zhuǎn)子應(yīng)變能比例的增加，使得必須考慮轉(zhuǎn)子連接界面所產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)非連續(xù)性的影響，即在工作載荷環(huán)境下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性具有低敏感度的穩(wěn)健設(shè)計方法。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者關(guān)于轉(zhuǎn)子動力特性設(shè)計方法的研究主要有兩方面：設(shè)計目標(biāo)函數(shù)的合理選取及非確定設(shè)計方法的研究。在設(shè)計目標(biāo)函數(shù)的合理選取方面，Shiau和Chang[3]以轉(zhuǎn)子質(zhì)量和支點動載荷為目標(biāo)函數(shù)，分別采用多種優(yōu)化算法對支承剛度、軸承位置等變量進(jìn)行優(yōu)化，驗證了同時降低質(zhì)量和減小支點動載荷的可行性；Lin等[4]以轉(zhuǎn)子總應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)，對支承剛度和擠壓油膜阻尼器的油膜間隙進(jìn)行優(yōu)化，通過轉(zhuǎn)子總應(yīng)變能分布反映轉(zhuǎn)子變形及運動狀態(tài)。在非確定設(shè)計方法研究方面，Zang等[5]提出穩(wěn)健設(shè)計方法的本質(zhì)是多目標(biāo)非確定優(yōu)化設(shè)計，核心是降低目標(biāo)函數(shù)的敏感度和分散度；Li等[6]在考慮轉(zhuǎn)速、滑油溫度等工作狀態(tài)具有非確定性的前提下，驗證了凸方法在提高轉(zhuǎn)子平衡精度穩(wěn)健性方面的可行性；Ma等[7]和陳萌[8]將區(qū)間數(shù)學(xué)引入轉(zhuǎn)子振動方程的各矩陣中，采用攝動理論建立了用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性分析的區(qū)間攝動法，并通過試驗驗證了該方法在轉(zhuǎn)子分析中的有效性；Ritto等[9]在考慮支承剛度等參數(shù)具有非確定性的基礎(chǔ)上，假設(shè)了多種概率分布，采用概率性優(yōu)化方法對臨界轉(zhuǎn)速共振裕度進(jìn)行了穩(wěn)健設(shè)計，驗證了此穩(wěn)健設(shè)計方法的有效性。

綜上，國內(nèi)外學(xué)者在轉(zhuǎn)子動力特性設(shè)計方法方面開展的研究工作，大多基于連續(xù)模型假設(shè)，未考慮轉(zhuǎn)子應(yīng)變能分布對轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度的影響，而這正是柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性穩(wěn)健設(shè)計中必須考慮的問題。本文根據(jù)帶有連接結(jié)構(gòu)非連續(xù)柔性轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的特征，考慮支承剛度和轉(zhuǎn)子彎曲剛度等參數(shù)分散性，引入?yún)^(qū)間變量對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性進(jìn)行非確定性設(shè)計方法研究。以全轉(zhuǎn)速區(qū)域轉(zhuǎn)子振幅和支點動載荷為控制優(yōu)化目標(biāo)，采用罰函數(shù)定量描述臨界轉(zhuǎn)速分布特征，進(jìn)行基于臨界轉(zhuǎn)速分布優(yōu)化和振動響應(yīng)低分散性的高速柔性轉(zhuǎn)子穩(wěn)健設(shè)計方法研究。

1 柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型

圖1為典型高速柔性轉(zhuǎn)子的動力學(xué)模型，其主要結(jié)構(gòu)特征為質(zhì)量、剛度沿軸向分布極不均勻，采用多支點支承，通過界面連接而成。在工作轉(zhuǎn)速范圍附近存在多階臨界轉(zhuǎn)速，其動力特性主要由支承特性、轉(zhuǎn)子質(zhì)量/剛度分布以及連接結(jié)構(gòu)剛度特性等因素決定。需要注意的是，轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)處的彎曲變形會導(dǎo)致轉(zhuǎn)子彎曲剛度產(chǎn)生變化，其數(shù)值取決于轉(zhuǎn)子工作狀態(tài)，這使轉(zhuǎn)子剛度特性表現(xiàn)出非確定性。

圖1 典型高速柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非確定動力學(xué)模型Fig.1 Uncertain dynamic model of typical high-speed flexible rotor system

1.1 運動方程

為準(zhǔn)確反映柔性轉(zhuǎn)子的動力特性，可通過有限元素法對轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型進(jìn)行離散[10-11]，各節(jié)點的位移和轉(zhuǎn)角構(gòu)成了系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)q。

q=(x1,y1,θx,1,θy,1,…,xn,yn,θx,n,θy,n)T

(1)

式中：xn和yn分別為第n個截面的x和y方向位移；θx,n和θy,n分別為第n個截面繞x軸和y軸的角向位移。

利用Lagrange能量法建立其動力學(xué)方程為

(2)

式中：T為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動能；V為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)勢能；Fi為外力；qi為廣義坐標(biāo)。

柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一般由輪盤、彈性軸和支承3種單元組成。在建模時，將柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的連接結(jié)構(gòu)(也即聯(lián)軸器)等效為等截面彈性軸，通過調(diào)整密度與內(nèi)外軸徑以保證其質(zhì)量與局部彎曲剛度相同。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動能表達(dá)式為

T=Tshaft+Tdisc

(3)

式中：剛性輪盤的動能Tdisc為

(4)

其中：x、y、md、ωξ、ωη、ωζ、Jd和Jp分別為輪盤質(zhì)心的x向位移、y向位移、輪盤質(zhì)量、輪盤繞x軸轉(zhuǎn)速、繞y軸轉(zhuǎn)速、繞z軸轉(zhuǎn)速、直徑轉(zhuǎn)動慣量和極轉(zhuǎn)動慣量。

彈性軸的動能Tshaft為

(5)

式中：u1s和u2s為軸段兩端的節(jié)點位移；Ms為考慮平動質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量在內(nèi)的一致質(zhì)量矩陣；Js為轉(zhuǎn)動慣量矩陣；Ω為公轉(zhuǎn)角速度。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的勢能表達(dá)式為

V=Vshaft+Vbearing

(6)

式中：彈性軸和軸承的勢能表達(dá)式分別為

(7)

式中:us為彈性軸兩端點的節(jié)點位移組成的向量;Ks為彈性軸的剛度矩陣;k為軸承的支承剛度;e為軸承的變形量。

將上述動能表達(dá)式T、勢能表達(dá)式V代入Lagrange方程中，可得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程為

(8)

式中:M、J和K分別為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程的質(zhì)量矩陣、轉(zhuǎn)動慣量矩陣和剛度矩陣。

令Ω=ω，即可得到臨界轉(zhuǎn)速滿足的方程，解方程可得臨界轉(zhuǎn)速。

|K-(M-J)ω2|=0

(9)

1.2 應(yīng)變能分布特性

應(yīng)變能是指結(jié)構(gòu)在外力作用下發(fā)生形變時，外力在形變位移上所做的功，這些功以能量的形式儲存在結(jié)構(gòu)內(nèi)部，故稱作應(yīng)變能，可用于定量描述外力作用下結(jié)構(gòu)的損傷情況[12]。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在剛體模態(tài)振動時，轉(zhuǎn)子自身不發(fā)生變形，剛體位移僅使支承結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形，即應(yīng)變能均集中于支承結(jié)構(gòu)中，只有當(dāng)轉(zhuǎn)子在靠近彎曲振型共振轉(zhuǎn)速時，轉(zhuǎn)子彎曲變形使應(yīng)變能聚集在轉(zhuǎn)子上。由于轉(zhuǎn)子質(zhì)量/剛度分布不均勻性以及輪盤的慣性力矩載荷的變化，使得轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)處的應(yīng)變能分布在工作過程中存在分散性，造成連接結(jié)構(gòu)界面約束失效，表現(xiàn)為轉(zhuǎn)子彎曲剛度區(qū)間分布特征。因此，轉(zhuǎn)子應(yīng)變能分布可表征轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的變形和受力狀態(tài)，定量反映連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度損失程度。

轉(zhuǎn)子應(yīng)變能的定義式為

(10)

式中:σ、ε和dv分別為微元體的應(yīng)力、應(yīng)變和體積。

應(yīng)變能可以分為體積改變能和畸變能，即

U=Uv+Ud

(11)

根據(jù)材料力學(xué)第四強度理論，只有畸變能會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生失效，同時在細(xì)長軸段中，體積改變能的數(shù)值較小，因此本文中的軸段應(yīng)變能僅考慮畸變能，利用廣義坐標(biāo)Q可表示為

(12)

在計算軸段應(yīng)變能時，先對式(8)的各階模態(tài)振型進(jìn)行歸一化，并提取出軸段的廣義位移Q，再按照式(12)計算得到軸段應(yīng)變能。

支承結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為其自身因變形積累的勢能，按照式(7)計算，即

(13)

2 基于區(qū)間分析的穩(wěn)健設(shè)計方法

穩(wěn)健設(shè)計目的是優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的中值(或稱均值)，同時減小因非確定因素引起的分散度[3]。圖2為本文提出的高速柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性穩(wěn)健設(shè)計方法框圖。考慮到轉(zhuǎn)子應(yīng)變能分布可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)子彎曲剛度產(chǎn)生分散性，以及多支點轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)中彈性支承剛度的分散性[13]，會影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化的穩(wěn)健性，故采用區(qū)間分析方法描述轉(zhuǎn)子動力特性的非確定性，通過合理選擇設(shè)計變量的中值，以優(yōu)化臨界轉(zhuǎn)速分布，并控制彎曲應(yīng)變能在轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)處的分布，減小動力特性參數(shù)分散度，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性穩(wěn)健設(shè)計。

圖2 高速柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性穩(wěn)健設(shè)計思路Fig.2 Robust design concept of dynamic properties of high-speed flexible rotor systems

2.1 區(qū)間分析

實際工程應(yīng)用中，通常無法給出非確定參數(shù)的概率分布和隸屬函數(shù)，僅能確定參數(shù)的波動范圍。區(qū)間分析方法可不對其分布規(guī)律進(jìn)行任何人為假設(shè)，用區(qū)間數(shù)描述參數(shù)非確定性并經(jīng)過區(qū)間運算得到振動響應(yīng)的變差范圍，并以此開展穩(wěn)健設(shè)計。對于帶有連接界面的高速柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，考慮轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)、支承結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間分布特征，以及在求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各階臨界轉(zhuǎn)速、應(yīng)變能等動力特性時，需要在確定性優(yōu)化方法的基礎(chǔ)上，提出基于區(qū)間分析的穩(wěn)健設(shè)計流程。

以臨界轉(zhuǎn)速為例，由于非確定性因素是支承剛度和轉(zhuǎn)子彎曲剛度，將導(dǎo)致方程式(8)中的剛度矩陣K為非確定參數(shù)，可通過區(qū)間參數(shù)加以表示：

(14)

Aψ=λBψ

(15)

υTA=λυTB

(16)

式中：ψ為特征值λ的右特征向量；υT為特征值λ的左特征向量。

(17)

其中:M、J、K為式(8)中對應(yīng)的物理量。

方程式(15)兩端同時左乘B-1，可以表示為

Dψ=λψ

(18)

(19)

經(jīng)過推導(dǎo)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率所在的區(qū)間為

(20)

(21)

其中：υir為第i個左特征向量的實部；ψiy為第i個右特征向量的虛部；ΔD為區(qū)間矩陣D的非確定量。

2.2 設(shè)計流程

為定量描述臨界轉(zhuǎn)速的集中程度，定義臨界轉(zhuǎn)速分布罰函數(shù)，以前兩階臨界轉(zhuǎn)速中值為例。

(22)

針對本文提出的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性穩(wěn)健設(shè)計思想，建立基于區(qū)間分析方法的高速柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性穩(wěn)健設(shè)計流程，如圖4所示。

由圖4可知，高速柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性穩(wěn)健設(shè)計可分為以下4個步驟：

步驟1試取一組設(shè)計變量xi的中值。

步驟2將設(shè)計變量代入方程式(8)，通過區(qū)間分析方法求得各階臨界轉(zhuǎn)速及應(yīng)變能分布的區(qū)間解。

步驟3對控制點應(yīng)變能的區(qū)間上界進(jìn)行評估，若滿足設(shè)計要求，則進(jìn)行步驟4，若不滿足則利用優(yōu)化算法進(jìn)行重新取值，重復(fù)步驟2、步驟3。

圖3 罰函數(shù)圖形Fig.3 Graph of penalty function

圖4 高速柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性穩(wěn)健設(shè)計流程Fig.4 Robust design process for dynamic properties of high-speed flexible rotor systems

步驟4對臨界轉(zhuǎn)速分布罰函數(shù)的區(qū)間中值進(jìn)行評估，如區(qū)間中值滿足收斂條件，則完成該穩(wěn)健優(yōu)化，如不收斂則利用優(yōu)化算法重新取值，重復(fù)步驟2、步驟3，直至優(yōu)化結(jié)束。

2.3 優(yōu)化算法及其參數(shù)選擇

2.3.1 優(yōu)化算法的選擇

依據(jù)優(yōu)化算法中可行域是否具有非確定性，優(yōu)化算法可分為2類：確定性算法與非確定性算法(也稱隨機優(yōu)化算法)[14]。確定性算法是指遵循嚴(yán)格數(shù)學(xué)規(guī)劃的算法，其中不涉及任何非確定元素，如牛頓法、梯度下降法等；非確定性算法是指尋優(yōu)過程中會產(chǎn)生隨機性參數(shù)的算法，如模擬退火算法、遺傳算法等。優(yōu)化算法的選擇及其參數(shù)設(shè)置會影響能否得到全局最優(yōu)解。本文以遺傳算法為例進(jìn)行最優(yōu)解的求解。遺傳算法是在模擬達(dá)爾文的進(jìn)化論基礎(chǔ)上建立的，利用概率方法生成一定數(shù)量的樣本，并選取較優(yōu)的個體繼續(xù)逐代演化，直至得到近似最優(yōu)解。

2.3.2 設(shè)計變量及目標(biāo)函數(shù)的選擇

在柔性轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計中，轉(zhuǎn)子的幾何尺寸、支點位置、輪盤位置通常由整機性能、結(jié)構(gòu)與強度設(shè)計要求所決定，一般不由動力學(xué)特性所決定，故選取各支承剛度的中值為設(shè)計變量。

不同于傳統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速設(shè)計方法，本文以臨界轉(zhuǎn)速的分布特征作為目標(biāo)函數(shù)，即在進(jìn)行臨界轉(zhuǎn)速分布特征設(shè)計時，主要從轉(zhuǎn)子通過多階臨界轉(zhuǎn)速時支點動載荷的抑制出發(fā)，盡可能將多階臨界轉(zhuǎn)速集中于較小的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，當(dāng)轉(zhuǎn)子通過多階臨界轉(zhuǎn)速時，由于各階模態(tài)振動相位的不同而產(chǎn)生了相互制約作用，使得支點動載荷得到抑制。

2.3.3 約束條件的選擇

為使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在滿足一般性的設(shè)計準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性穩(wěn)健性，以臨界轉(zhuǎn)速安全裕度的區(qū)間下界、連接結(jié)構(gòu)處應(yīng)變能的區(qū)間上界作為約束條件?？紤]到固有特性分析中，應(yīng)變能的絕對值并沒有實際意義，故本文以應(yīng)變能比例作為衡量應(yīng)變能多寡的判據(jù)，以柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)連接結(jié)構(gòu)處的應(yīng)變能比例作為約束條件。

計算約束函數(shù)表達(dá)式時，由于支承剛度和連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度等參數(shù)具有區(qū)間分布特征，因此通過動力學(xué)方程式(8)計算出的臨界轉(zhuǎn)速式(9)及連接結(jié)構(gòu)應(yīng)變能式(12)均以區(qū)間參數(shù)的形式表示，類似于剛度矩陣的區(qū)間形式(式(14))，由區(qū)間上界和區(qū)間下界組成。臨界轉(zhuǎn)速安全裕度的區(qū)間下界、連接結(jié)構(gòu)處應(yīng)變能比例的區(qū)間上界如下：

i=1,2,…,nω;k=1,2,…,nΩ

(23)

式中：λ1為臨界轉(zhuǎn)速安全系數(shù)；ωi為第i階臨界轉(zhuǎn)速；Ωk為第k個工作轉(zhuǎn)速。

(24)

式中：Ujoint為連接結(jié)構(gòu)處應(yīng)變能；Uall為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的總應(yīng)變能；λ2為連接結(jié)構(gòu)應(yīng)變能穩(wěn)健系數(shù)。

故柔性轉(zhuǎn)子動力特性的穩(wěn)健設(shè)計模型為

(25)

式中：αi,j為第i，j階臨界轉(zhuǎn)速分布罰函數(shù)中值的關(guān)注系數(shù)；x1,x2,…,xn為各設(shè)計變量的取值。

3 算例分析

圖5為三支點高速柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖，其工作轉(zhuǎn)速為30 000 r/min，主要由壓氣機葉盤、渦輪葉盤、壓氣機軸和渦輪軸組成，兩軸段通過聯(lián)軸器相連，壓氣機葉盤后及渦輪葉盤前均布置一個支點，同時在聯(lián)軸器附近布置一個支點，以控制細(xì)長軸段的變形。該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的具體參數(shù)如表1所示。

采用本文提出的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性穩(wěn)健設(shè)計方法對該轉(zhuǎn)子的支承剛度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。以支點剛度作為非確定變量，用區(qū)間參數(shù)形式表示，并依據(jù)工程經(jīng)驗給定支承剛度的分散度β。對此轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行固有特性的區(qū)間分析，并采用遺傳算法進(jìn)行支承剛度中值的優(yōu)化選取，表2為優(yōu)化過程的控制參數(shù)。

圖5 三支點高速柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 Schematic of three-support high-speed flexible rotor system structure

參數(shù)數(shù)值軸段密度/(kg·m-3)7820軸段彈性模量/GPa195軸段內(nèi)徑/m0.006軸段外徑/m0.022轉(zhuǎn)子總長/m0.598風(fēng)扇等效集中質(zhì)量/kg3.583風(fēng)扇繞軸線轉(zhuǎn)動慣量/(kg·m2)0.024渦輪等效集中質(zhì)量/kg3.135渦輪繞軸線轉(zhuǎn)動慣量/(kg·m2)0.017

表2 優(yōu)化參數(shù)選取Table 2 Choice of optimization parameters

注：i,j=1,2,3,4。

依照表2給出的優(yōu)化參數(shù)，在約束條件的約束下，對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行遺傳優(yōu)化。首先在整個可行域內(nèi)隨機生成100個樣本點，并進(jìn)行個體篩選，保留較優(yōu)秀的樣本，進(jìn)行逐代優(yōu)化，每代個體數(shù)為20個，優(yōu)化過程如圖6所示?？梢钥闯觯?jīng)過6代進(jìn)化，逐步逼近最優(yōu)解。

表3為優(yōu)化前后支點剛度中值、前四階臨界轉(zhuǎn)速及連接結(jié)構(gòu)處的應(yīng)變能比例。圖7為2種方案對應(yīng)的具有區(qū)間分布特征的Campbell圖。從表3和圖7中可以看出，通過降低前支點和中支點的支承剛度，并提高后支點的支承剛度，使得轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的剛度分布更加均勻。將初始方案中分散的前三階臨界轉(zhuǎn)速集中在[13 180,15 818]r/min的轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)，并將連接結(jié)構(gòu)處的應(yīng)變能比例由11.15%降低至1.93%，驗證了優(yōu)化算法選取的有效性。

圖6 目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化過程Fig.6 Optimization process of objective function

由于考慮了動力特性的非確定性，因此各階臨界轉(zhuǎn)速隨工作轉(zhuǎn)速的變化曲線應(yīng)擴(kuò)展為變化條帶，條帶的寬度表示其分散度的大小。從表3和圖7中可以看出，雖然2個方案均能滿足臨界轉(zhuǎn)速安全裕度的約束，但相比于初始方案，最優(yōu)方案的前三階臨界轉(zhuǎn)速分布較為集中，各階臨界轉(zhuǎn)速的分散度也較小，其動力特性的穩(wěn)健性更高，同時由于在優(yōu)化過程中增設(shè)了針對連接結(jié)構(gòu)應(yīng)變能比例的約束條件，可有效降低連接結(jié)構(gòu)應(yīng)變能比例，降低轉(zhuǎn)子彎曲剛度的分散度，提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)健性。

對上述2種方案進(jìn)行不平衡響應(yīng)計算，可得到各支點動載荷隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化曲線，如圖8所示。雖然初始方案的臨界轉(zhuǎn)速分布滿足安全裕度的要求，但由于各階臨界轉(zhuǎn)速分布較為分散，工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，隨著轉(zhuǎn)速增加，支點動載荷體現(xiàn)出多峰值特征，而最優(yōu)方案的支點動載荷則體現(xiàn)出單峰值特征，利用轉(zhuǎn)子連續(xù)通過多階臨界轉(zhuǎn)速時阻尼滯后和響應(yīng)滯后的特性，使不同相位的振型疊加，使得最優(yōu)方案的支點動載荷最大值相比初始方案較小?？紤]到支點動載荷導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)損傷主要分為2個方面：軸承的損傷與承力框架的損傷，其中軸承的損傷可由滾動軸承的壽命計算公式體現(xiàn)[15]，其壽命與軸承當(dāng)量動載荷呈三次方反比關(guān)系，因此最優(yōu)方案由于支點動載荷較小，在多個工作循環(huán)內(nèi)積累的軸承損傷較小；同時考慮到，在承力框架的溫度載荷等相同時，支點動載荷越小，有利于抑制承力框架連接界面的滑移及微動磨損等情況的發(fā)生，且對靜子承力結(jié)構(gòu)的激勵幅值較小，有利于提高整個轉(zhuǎn)子系統(tǒng)及靜子結(jié)構(gòu)動力特性的穩(wěn)健性。

表3 不同支點剛度組合及其臨界轉(zhuǎn)速Table 3 Different support stiffness combinations and their critical speeds

注：連接結(jié)構(gòu)應(yīng)變能比例上限為工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的應(yīng)變能比例最大值。

圖7 不同支點剛度組合下的Campbell圖Fig.7 Campbell diagram under different support stiffness combinations

圖8 不同支點剛度組合下的支點動載荷Fig.8 Support dynamic load under different support stiffness combinations

4 結(jié) 論

1) 考慮轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)及動力特性參數(shù)具有非確定性，本文提出了控制轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的穩(wěn)健設(shè)計思路，利用轉(zhuǎn)子不同共振轉(zhuǎn)速下振動相位及阻尼滯后特性，將多階臨界轉(zhuǎn)速集中于一定區(qū)間，可以有效降低轉(zhuǎn)子通過臨界轉(zhuǎn)速時的振動響應(yīng)。

2) 采用區(qū)間分析方法描述轉(zhuǎn)子動力特性的非確定性，提出臨界轉(zhuǎn)速分布罰函數(shù)，用于定量評估臨界轉(zhuǎn)速的分布特征，當(dāng)臨界轉(zhuǎn)速分布罰函數(shù)取值最小化，并滿足共振安全裕度要求時，高速柔性轉(zhuǎn)子動力特性具有良好的穩(wěn)健性。

3) 通過算例驗證了本文提出的動力特性穩(wěn)健設(shè)計方法的有效性，算例表明，臨界轉(zhuǎn)速分布罰函數(shù)可有效表征臨界轉(zhuǎn)速的分布特征，通過臨界轉(zhuǎn)速的合理分布，并控制連接結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，可有效控制轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)，同時減小轉(zhuǎn)子動力特性參數(shù)的分散度，可切實提高柔性轉(zhuǎn)子動力特性的穩(wěn)健性。