晁智強(qiáng)， 譚永營， 王 飛， 寧初明

(1.陸軍裝甲兵學(xué)院車輛工程系， 北京 100072； 2. 66366部隊(duì), 河北 高碑店 074000；3. 軍事科學(xué)院系統(tǒng)工程研究院, 北京 100039)

負(fù)載型四足步行平臺(tái)以其良好的復(fù)雜地形適應(yīng)能力得到人們的關(guān)注。在復(fù)雜環(huán)境中，四足步行平臺(tái)的靜步態(tài)是其行走的主要步態(tài)之一。由于自然環(huán)境的復(fù)雜性及結(jié)構(gòu)的限制，步行平臺(tái)靜步態(tài)行走過程中要不斷調(diào)整姿態(tài)，以適應(yīng)復(fù)雜地形。由于負(fù)載型四足步行平臺(tái)機(jī)身質(zhì)量大、質(zhì)心位置高、慣量大，因此位姿調(diào)整對(duì)于其復(fù)雜地形的適應(yīng)性有重要影響。

四足步行平臺(tái)復(fù)雜地形適應(yīng)能力由其足端活動(dòng)空間及地形坎坷程度共同決定，在其靜步態(tài)行走過程中足端必須滿足活動(dòng)空間的需求，否則無法實(shí)現(xiàn)期望的位姿。國內(nèi)外學(xué)者對(duì)四足步行平臺(tái)位姿調(diào)整方法進(jìn)行了分析，如：KALAKRISHNAN等[1]為實(shí)現(xiàn)Littledog復(fù)雜地形靜步態(tài)行走，在最大化足端可達(dá)性和避免步行平臺(tái)與地形干涉的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了Pose Finder對(duì)其目標(biāo)姿態(tài)進(jìn)行搜索，但這種方法需要消耗大量的時(shí)間，限制了步行平臺(tái)的移動(dòng)速度；WINKER等[2]為Hydraulically Actuated Quadruped Robot步行平臺(tái)設(shè)計(jì)了Body Pose Finder，根據(jù)足端在機(jī)體坐標(biāo)系中的高度確定平臺(tái)的高度，由前后腿及左右腿高度差確定步行平臺(tái)的俯仰角與橫滾角,但這種方法需要提前得到復(fù)雜地形的特征；孟健等[3]在對(duì)四足步行平臺(tái)斜坡及臺(tái)階行走姿態(tài)調(diào)整問題的研究中，指出步行平臺(tái)的姿態(tài)由支撐腿形成的支撐面決定，張帥帥等[4]則給出了四足步行平臺(tái)以間歇靜步態(tài)在復(fù)雜地形行走時(shí)的目標(biāo)姿態(tài)角，但二者均對(duì)姿態(tài)調(diào)整過程中足端活動(dòng)空間問題考慮不足，這容易導(dǎo)致步行平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過程中達(dá)到結(jié)構(gòu)死點(diǎn)，造成平臺(tái)失去穩(wěn)定性。

為滿足四足平行平臺(tái)行走過程中實(shí)時(shí)調(diào)整姿態(tài)的需要，筆者在步行平臺(tái)足端活動(dòng)空間分析的基礎(chǔ)上，綜合考慮感受到的地形特征及步態(tài)參數(shù)，得到其目標(biāo)姿態(tài)角，且對(duì)姿態(tài)調(diào)整過程進(jìn)行規(guī)劃，保證了平臺(tái)靜步態(tài)行走過程中軌跡的連續(xù)性，最后對(duì)步行平臺(tái)復(fù)雜地形靜步態(tài)行走進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了位姿調(diào)整方法的有效性。

1 四足步行平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及足端活動(dòng)空間

四足步行平臺(tái)的模型及各坐標(biāo)系如圖1中所示，其4條腿的結(jié)構(gòu)完全相同，每條腿有3個(gè)自由度，從上到下依次為胯側(cè)擺段、大腿段和小腿段，對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)分別為胯側(cè)擺關(guān)節(jié)、胯縱擺關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)，且均為主動(dòng)關(guān)節(jié)。

為方便對(duì)步行平臺(tái)機(jī)體及各腿段位姿的分析，在其機(jī)體質(zhì)心處建立機(jī)體坐標(biāo)系，在各腿胯側(cè)擺關(guān)節(jié)處建立各腿基坐標(biāo)系，并選擇大地上任一點(diǎn)建立絕對(duì)坐標(biāo)系。機(jī)體坐標(biāo)系的xb軸指向平臺(tái)前進(jìn)方向，yb指向其側(cè)方向，zb軸指向豎直方向。各腿基坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的指向與機(jī)體坐標(biāo)系相同。步行平臺(tái)參數(shù)如表1所示。

圖1 步行平臺(tái)模型及各坐標(biāo)系

參數(shù)數(shù)值機(jī)體質(zhì)量M/kg150髖側(cè)擺段長度l1/m0.085大腿長度l2/m0.31小腿長度l3/m0.3

由于各腿結(jié)構(gòu)相同，因此僅對(duì)右前腿進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。運(yùn)用Denavit-Hartenberg方法進(jìn)行步行平臺(tái)單腿的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，在各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)及足端建立如圖2所示的坐標(biāo)系[5]。

圖2 步行平臺(tái)模型及各坐標(biāo)系

由旋轉(zhuǎn)變換矩陣連乘可得1腿足端在腿基坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(1)

式中：θ11為1腿胯側(cè)擺關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角；θ12為胯側(cè)擺段與大腿夾角；θ13為大腿與小腿夾角。將式(1)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得

(2)

四足步行平臺(tái)的足端活動(dòng)空間是指在其機(jī)械結(jié)構(gòu)約束下足端所能達(dá)到的活動(dòng)范圍[7]。足端活動(dòng)空間在步行平臺(tái)機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)具有重要作用，是步行平臺(tái)腿部桿件設(shè)計(jì)的重要參考標(biāo)準(zhǔn)。由于步行平臺(tái)靜步態(tài)行走過程中并不轉(zhuǎn)彎行走，腿在側(cè)向的擺動(dòng)較小，因此在單腿平面內(nèi)對(duì)步行平臺(tái)足端活動(dòng)空間進(jìn)行分析即可滿足要求。平臺(tái)胯縱擺關(guān)節(jié)的活動(dòng)范圍為90°～160°，膝關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變化范圍均為50°～130°，結(jié)合腿部的正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，可得出單腿平面內(nèi)其足端活動(dòng)空間，如圖3紅色區(qū)域所示。

圖3 足端活動(dòng)空間

由動(dòng)物仿生學(xué)研究可知：步行動(dòng)物在運(yùn)動(dòng)過程中前后腿的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)出明顯的對(duì)稱現(xiàn)象[8]。由于四足步行平臺(tái)各腿在機(jī)體的安裝方式為前肘后膝，前后腿成鏡像對(duì)稱關(guān)系。因此,為方便對(duì)步行平臺(tái)行走過程中足端的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究，選定的足端活動(dòng)空間為圖3藍(lán)色區(qū)域。

2 四足步行平臺(tái)目標(biāo)姿態(tài)的選擇

四足步行平臺(tái)姿態(tài)調(diào)整過程中其目標(biāo)姿態(tài)由平臺(tái)自身結(jié)構(gòu)及地形共同決定。對(duì)于腿部各腿段較長，足端活動(dòng)空間較大的步行平臺(tái)，在通過一些高度較低障礙時(shí)，可以不調(diào)整機(jī)體姿態(tài)，充分利用較大的足端活動(dòng)空間實(shí)現(xiàn)對(duì)障礙的跨越。但對(duì)于文中的負(fù)載型四足步行平臺(tái)，受足端活動(dòng)空間的限制，必須進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整，才能實(shí)現(xiàn)對(duì)障礙的爬越。

2.1 基于支撐平面的步行平臺(tái)地形感知

張帥帥等[4]提出了利用支撐腿足端坐標(biāo)平均值計(jì)算目標(biāo)俯仰角的方法，實(shí)現(xiàn)了平臺(tái)間歇靜步態(tài)對(duì)復(fù)雜地形的適應(yīng)性；CHEW等[9]針對(duì)雙足步行平臺(tái)上斜坡問題，提出了利用廣義坡度(global slope)和局部坡度(local slope)計(jì)算步行平臺(tái)的相關(guān)參數(shù)。在參考文獻(xiàn)[4]、[9]的基礎(chǔ)上，借助四足支撐過程中支撐腿形成的平均支撐平面的法向量，可計(jì)算得到步行平臺(tái)感受到的地形坡度，具體方法如下：

圖4為四足步行平臺(tái)地形坡度計(jì)算示意圖。1腿足端與2腿足端連線中點(diǎn)BWp12及3腿足端與4腿足端連線中點(diǎn)BWp34在平面xBWOBzBW內(nèi)的投影分別為

(3)

(4)

圖4 地形坡度計(jì)算示意圖

1腿足端與4腿足端連線中點(diǎn)BWp14及2腿足端與3腿足端連線中點(diǎn)BWp23在yBWOBzBW平面內(nèi)的投影分別為

(5)

(6)

設(shè)a=(BWx34-BWx12,BWz34-BWz12)，b=(BWx23-BWx14,BWz23-BWz14)，則由向量a與b決定的平面法向量為

(7)

步行平臺(tái)姿態(tài)角與n的關(guān)系為

(8)

式中：θ為a與b的夾角；α為步行平臺(tái)偏航角，根據(jù)四足步行平臺(tái)行走過程實(shí)際進(jìn)行設(shè)置；βd、γd分別為地形前進(jìn)方向坡度和側(cè)向坡度，二者均為待求量；Rz(α)、Ry(βd)、Rx(γd)為相應(yīng)姿態(tài)角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。則

(9)

(10)

四足步行平臺(tái)靜步態(tài)行走過程中，根據(jù)以上各式可得平臺(tái)感受到的地形特征。

2.2 步行平臺(tái)目標(biāo)位姿確定

四足步行平臺(tái)復(fù)雜地形行走過程中位姿調(diào)整的目的，是滿足下一階段平臺(tái)行走過程中足端的運(yùn)動(dòng)需求，避免死點(diǎn)位置，同時(shí)充分利用其活動(dòng)空間提高復(fù)雜地形適應(yīng)能力。因此，結(jié)合平臺(tái)行走過程中足端的運(yùn)動(dòng)需求對(duì)其活動(dòng)空間進(jìn)行分析。

四足步行平臺(tái)靜步態(tài)行走過程中，為充分利用支撐多邊形中的雙支撐三角形，實(shí)現(xiàn)單側(cè)腿的連續(xù)邁步，選擇的邁腿順序?yàn)?腿→2腿→4腿→1腿，其中在2腿及1腿邁腿結(jié)束后為四足支撐重心調(diào)整階段。步行平臺(tái)的位姿調(diào)整過程可能存在于任何一個(gè)擺動(dòng)腿的著地之后。當(dāng)步行平臺(tái)感受到的地形坡度超過設(shè)定的閾值后，就進(jìn)入姿態(tài)調(diào)整階段，之后進(jìn)行四足支撐重心位置調(diào)整，最后進(jìn)入正常的步態(tài)周期。

由步行平臺(tái)絕對(duì)穩(wěn)定裕度定義可知：其靜步態(tài)行走過程中的穩(wěn)定性由重心到支撐多邊形邊界的距離決定[10]。而步行平臺(tái)在復(fù)雜地形行走過程中，穩(wěn)定裕度的大小往往是在其重心的水平投影坐標(biāo)系中描述的，因此，在圖4坐標(biāo)系OBxBWyBWzBW內(nèi)中對(duì)步行平臺(tái)足端的運(yùn)動(dòng)學(xué)裕度進(jìn)行分析。黃博等[11]提出當(dāng)步行平臺(tái)機(jī)體的姿態(tài)與地形平行時(shí)，其足端的運(yùn)動(dòng)裕度最大，靈活性最好。因此，在足端活動(dòng)空間分析過程中以感受到的地形坡度為約束條件。

根據(jù)四足步行平臺(tái)行走過程中相對(duì)跨距、步高等相關(guān)步態(tài)參數(shù)及擺動(dòng)腿足端軌跡可得其足端步態(tài)參數(shù)三角形，如圖5所示。其中：lx為步行平臺(tái)下一步邁腿的相對(duì)跨距；H為步行平臺(tái)的邁腿高度。

圖5 步態(tài)三角形

四足步行平臺(tái)足端活動(dòng)空間分析主要是在給定期望姿態(tài)角情況下，尋找擺動(dòng)腿可能的起步點(diǎn)位置及對(duì)姿態(tài)角進(jìn)行校正。具體過程如下：

1) 利用步態(tài)參數(shù)三角形的下底，在選定的足端活動(dòng)空間中找到能夠滿足要求的足端最下方位置，如圖6中GN。起步點(diǎn)的位置必須在直線GN的上方。

圖6 起步點(diǎn)位置

2) 利用步態(tài)參數(shù)三角形起步點(diǎn)位置(A1)及最高點(diǎn)位置(C1)，在選定的足端活動(dòng)空間中找到滿足邁腿高度及相對(duì)跨距的最左端位置E。起步點(diǎn)位置必須在點(diǎn)E的右側(cè)。

3) 過點(diǎn)E做直線AB的平行線，如圖6中EF。起步點(diǎn)位置必須在直線EF的下方。

4)利用步態(tài)參數(shù)三角形在足端活動(dòng)空間找到能夠滿足邁腿相對(duì)跨距及擺腿高度的起步點(diǎn)最右端位置J。

z=lEF(x)=lAB(x)-(H-lxtanφyd)cosφyd，

(11)

式中：φyd為目標(biāo)俯仰角。

由步態(tài)參數(shù)三角形及選定足端活動(dòng)空間特征點(diǎn)可得點(diǎn)E在坐標(biāo)系OBxByBzB中縱坐標(biāo)為

zE=zB-(H-lxtanφyd)cosφyd。

(12)

點(diǎn)E橫坐標(biāo)可由直線lEF(x)與五次曲線lBC(x)交點(diǎn)得到，

xE=lEF-BC(zE)，

(13)

式中：lEF-BC(zE)表示2個(gè)方程的交點(diǎn)。則在坐標(biāo)系OBxBWyBWzBW中E點(diǎn)的坐標(biāo)可由坐標(biāo)變換得到。位姿調(diào)整結(jié)束后，步行平臺(tái)接著進(jìn)行四足支撐階段，機(jī)體前進(jìn)方向的位移量由下一擺動(dòng)腿的運(yùn)動(dòng)學(xué)裕度決定。因此，為保證在正常的步態(tài)周期中機(jī)體能夠一直保持前進(jìn)，還需對(duì)機(jī)體的位置進(jìn)行調(diào)整。

由于四足步行平臺(tái)的高度不可能太小，由上述方法得到的步行平臺(tái)機(jī)體高度不一定滿足平臺(tái)最小高度要求。因此，若不滿足上述約束條件，則減小相對(duì)跨距，增大姿態(tài)角，運(yùn)用相同的方法重新尋找起步點(diǎn)位置。

3 四足步行平臺(tái)機(jī)體位姿調(diào)整過程分析

相關(guān)研究表明：四足步行平臺(tái)復(fù)雜地形行走過程中失穩(wěn)的原因往往是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)達(dá)到了死點(diǎn)位置，使其支撐力不足[12]。當(dāng)將機(jī)體位姿調(diào)整階段與步態(tài)規(guī)劃階段放在一起時(shí)，機(jī)體姿態(tài)角的變化范圍較大，不利于負(fù)載型步行平臺(tái)機(jī)體穩(wěn)定性，在此單獨(dú)設(shè)置機(jī)體姿態(tài)調(diào)整階段。且在機(jī)體姿態(tài)調(diào)整過程中，為避免前后方向及側(cè)方向的運(yùn)動(dòng)對(duì)其機(jī)體位姿調(diào)整的影響，將步行平臺(tái)機(jī)體的速度減到0后再進(jìn)行機(jī)體姿態(tài)的調(diào)整。因此，步行平臺(tái)的位姿調(diào)整過程可分為3個(gè)階段，分別為減速階段、姿態(tài)調(diào)整階段及調(diào)整后的重新規(guī)劃階段。

3.1 減速階段

減速階段主要是在姿態(tài)調(diào)整前將步行平臺(tái)前進(jìn)方向及側(cè)方向的速度減小到0，避免姿態(tài)調(diào)整過程中各關(guān)節(jié)達(dá)到死點(diǎn)位置。為保證平臺(tái)機(jī)體軌跡的連續(xù)性，用三次多項(xiàng)式對(duì)步行平臺(tái)的機(jī)體速度進(jìn)行規(guī)劃。在此過程中，機(jī)體俯仰角保持不變，重心移動(dòng)速度的約束條件為

(14)

(15)

式中：vx(·)、vy(·)分別為步行平臺(tái)機(jī)體前進(jìn)方向和側(cè)向的速度；ax(·)、ay(·)分別為步行平臺(tái)機(jī)體前進(jìn)方向和側(cè)向的加速度；vx0、vy0分別為步行平臺(tái)前進(jìn)方向及側(cè)方向的初始速度；tc1為減速過程所用時(shí)間。將以上約束條件代入三次多項(xiàng)式中，可得

(16)

3.2 姿態(tài)調(diào)整階段

在四足步行平臺(tái)的速度減小到0后，接著對(duì)其姿態(tài)進(jìn)行調(diào)整。在姿態(tài)調(diào)整過程中，希望其由初始姿態(tài)角平穩(wěn)變化到目標(biāo)姿態(tài)角。因此，為保證速度及加速度連續(xù)，運(yùn)用五次曲線對(duì)其姿態(tài)調(diào)整過程中俯仰角進(jìn)行規(guī)劃。其滿足的邊界條件為

(17)

(18)

(19)

3.3 調(diào)整后重新規(guī)劃階段

姿態(tài)調(diào)整結(jié)束后，為保證下一擺動(dòng)腿的運(yùn)動(dòng)學(xué)裕度不小于參考值Mac，機(jī)體需在前進(jìn)方向調(diào)整位置，以避免正常行走過程中機(jī)體后退現(xiàn)象。假設(shè)此過程機(jī)體在前進(jìn)方向的調(diào)整量為xb2，機(jī)體在減速階段的位移量為xb1,則此過程約束條件為

(20)

(21)

式中:x(·)為平臺(tái)在前進(jìn)方向的位置。對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行求解，可得

(22)

4 四足步行平臺(tái)靜步態(tài)行走位姿調(diào)整仿真

構(gòu)建的復(fù)雜地形及四足步行平臺(tái)三維模型如圖7所示，機(jī)體裝配陀螺儀以實(shí)現(xiàn)姿態(tài)的感知，足底裝有力傳感器。為驗(yàn)證位姿調(diào)整方法的有效性，設(shè)計(jì)了如圖7所示的復(fù)雜地形。四足步行平臺(tái)對(duì)地形未知，完全依靠足底力傳感器實(shí)現(xiàn)對(duì)地形的適應(yīng)。在步行平臺(tái)行走過程中，其相關(guān)參數(shù)的變化圖8-10所示。

圖7 構(gòu)建的復(fù)雜地形及四足步行平臺(tái)三維模型

由圖8可知:四足步行平臺(tái)復(fù)雜地形行走過程中共有4次姿態(tài)調(diào)整過程，除姿態(tài)調(diào)整過程外，其余時(shí)刻機(jī)體的速度均>0。由圖9可知:步行平臺(tái)姿態(tài)調(diào)整過程中，機(jī)體俯仰角與前進(jìn)速度按照預(yù)先規(guī)劃好的軌跡連續(xù)變化。由圖10可知:在平臺(tái)行走過程中，足端始終在其活動(dòng)空間中。步行平臺(tái)利用文中的姿態(tài)調(diào)整方法實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜地形中平穩(wěn)行走，仿真結(jié)果證明了位姿調(diào)整方法的有效性。

圖9 某個(gè)姿態(tài)調(diào)整過程的前進(jìn)速度及俯仰角

圖10 右前腿足端活動(dòng)情況

5 結(jié)論

筆者對(duì)負(fù)載型四足步行平臺(tái)靜步態(tài)行走過程中位姿調(diào)整方法進(jìn)行了研究，對(duì)目標(biāo)姿態(tài)的選擇及位姿調(diào)整過程進(jìn)行了分析，并對(duì)位姿調(diào)整過程進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明：負(fù)載型四足步行平臺(tái)分階段的姿態(tài)調(diào)整方法實(shí)現(xiàn)了其在復(fù)雜地形中的平穩(wěn)行走。負(fù)載型四足步行平臺(tái)是一個(gè)復(fù)雜的多體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，筆者在研究過程中僅考慮了機(jī)體俯仰角的變化，后續(xù)將研究此方法在平臺(tái)同時(shí)出現(xiàn)俯仰角及橫滾角時(shí)的適用性。