摘 要：心理學(xué)家黃月霞認(rèn)為：“傾聽是有效溝通所必備的元素，它是一種接納的語言?！焙芏嗝利惖纳芍ㄊ窃诶蠋熀蛯W(xué)生的傾聽中綻放的。在轟轟烈烈的數(shù)學(xué)課堂要豎起耳朵傾聽來自學(xué)生的聲音，營造出親密的學(xué)習(xí)情境，給學(xué)生以積極的情感體驗(yàn)。學(xué)生深刻的體驗(yàn)?zāi)鼙淮蠹曳窒?，學(xué)生的能力才能獲得更好的發(fā)展，生成之花就會越開越絢麗。

關(guān)鍵詞：邏輯；三角函數(shù)；思維

案例1：必修5P31第4數(shù)列的前5項(xiàng)分別是以下各數(shù)，寫出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

（3）1，22，12，24，14

在高二（5）班因快下課了，時(shí)間急促，我就匆匆講了教材給的方法，沒注意學(xué)生有什么不同的聲音。一分鐘不到解決問題。而在高二（4）班上課時(shí)，講到此題，因時(shí)間比較充裕，講到這題時(shí)，我停頓了片刻，問學(xué)生怎么找？班上不同的聲音傳來。

我請同學(xué)們說自己的解法：

學(xué)生1：22，22，222，24，242

所以他得出an=2（2）n

學(xué)生2：11，12，1（2）2，1（2）3，1（2）4

所以得出an=1（2）n-1

學(xué)生3：220，221，222，223，224

所以得出an=22n-1

真是意外的驚喜，如果按教參的答案是學(xué)生3的解法，雖然解法三看上去最簡潔，但并不是學(xué)生最新想到的。讓學(xué)生自己去展示，我們才能了解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)是什么。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生了解給了數(shù)列的前幾項(xiàng)要求寫通項(xiàng)公式很多時(shí)候表達(dá)不唯一，學(xué)生很愉快地接受了這一說法。當(dāng)然就這三個(gè)同學(xué)，雖表示不同，但化簡后發(fā)現(xiàn)其實(shí)結(jié)果是一樣的。學(xué)習(xí)的方法很多，條條道路通羅馬。我們只有多讓學(xué)生去展現(xiàn)，意外的生成才會開花結(jié)果。

案例2：在△ABC中，角A，B，C所多對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosA-3sinA）cosB=0。

（1）求角B的大小。

（2）若a+c=1，求b的取值范圍。

這題來自優(yōu)化設(shè)計(jì)，大部分學(xué)生想法都是想到余弦定理，解法如下

解：（1）B=π3。

（2）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB。

因?yàn)閍+c=1，cosB=12，所以b2=3a-122+14。

又0

而有一女學(xué)生特意向我提出另外一種解法：由正弦定理知asinA=bsinB=csinC，

所以bsinB=a+csinA+sinC

所以bsinπ3=1sinA+sinC，

b=32sinA+sin2π3-A=12sinA+π6

因?yàn)?

所以π6

12

所以12≤12sinA+π6<1

所以12≤b<1。

我感嘆學(xué)生的反應(yīng)能力，她能把我前面剛講的等比性質(zhì)用上。而且這章是解三角形，應(yīng)該和三角函數(shù)圖象性質(zhì)密切相關(guān)。學(xué)生這種解法非常貼切教學(xué)主題。這讓我情不自禁和學(xué)生一起歸納了求有關(guān)范圍的三種解法：①利用二次函數(shù)求最值；②利用三角函數(shù)有界求最值；③利用基本不等式求最值（上節(jié)講評作業(yè)剛好有涉及）。這真是個(gè)意外的收獲。

案例3：已知a=（3，-4），b=（cosθ，sinθ），則|a-2b|的取值范圍是 。

任課教師是一名五十多歲的老教師，在學(xué)生心目中威信比較高，但有時(shí)這變成課堂教學(xué)生成的一擋板石。板書特別工整，一堂課下來剛好寫滿一黑板。這一直以來是他的優(yōu)點(diǎn)之一。下面呈現(xiàn)上課片段。

師：這題這樣來解

解法一：因?yàn)閍-2b=（3-2cosθ，-4-2sinθ）

|a-2b|=（3-2cosθ）2+（-4-2sinθ）2

=29-12cosθ+16sinθ

=29+2045sinθ-35cosθ

=29+20sin（θ-φ）

其中sinφ=35，cosφ=45

這時(shí)有學(xué)生大聲提出可以直接用模去做，可老師只是停頓了下，說有更簡單嗎？我看未必。然后就引進(jìn)第二種解法，真是可惜，失去了由此生成機(jī)會，而且嚴(yán)重打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。應(yīng)停頓下來，請那位學(xué)生講講他的解法。

解法二：數(shù)形結(jié)合法

a=（3，-4），b=（cosθ，sinθ），所以知b在單位圓上，然后畫圖。

到此老師很自豪地說簡單嗎？比你的解法快吧。真是可惜，這種解法學(xué)生應(yīng)該很難想到，不是學(xué)生最接近的思路。

后面老師們評課時(shí)提到，可用向量的三角不等式來解，這是此位老師在一開始復(fù)習(xí)了的。這就是一個(gè)很好的例子。

||a|-2|b||≤|a-2b|≤|a|+2|b|答案馬上出來[3，7]

這里為什么用這方法好呢，因?yàn)檫@里a和b的模都知道。如果其中一個(gè)模不知道，那還是要用通法。

解法四：（a-2b）2=a2-4a·b+4b2=29+20sin（θ-φ）（同解法一類似）

課堂是學(xué)生生活與學(xué)習(xí)的場景，教室是有限的空間，而課堂可以不局限于教室，他可以是學(xué)生在廣闊的時(shí)空中。我們可以在課堂也可以在課外傾聽學(xué)生不同的聲音，讓學(xué)生的生成之花一路綻放。

作者簡介：

鐘桂芳，福建省龍巖市，龍巖市高級中學(xué)。