劉燕鋒，劉吉利，馬官營

0 引 言

加速度計(jì)是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中最基本的傳感器之一.隨著對(duì)航天器導(dǎo)航、制導(dǎo)精度要求的提高，對(duì)加速度計(jì)的測(cè)量精度的需求也進(jìn)一步提高.現(xiàn)有的液浮擺式加速度計(jì)和石英撓性加速度計(jì)的精度在10-6g范圍以內(nèi)[1]，難以滿足高精度導(dǎo)航的任務(wù)需求.靜電懸浮加速度計(jì)可實(shí)現(xiàn)超高分辨率，適合測(cè)量緩慢變化的微弱加速度，量程極小，主要用于空間微加速度的測(cè)量[2-4].

為了滿足導(dǎo)航系統(tǒng)高精度加速度測(cè)量要求，綜合石英擺式加速度和靜電懸浮加速度計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，研制了一種靜電力平衡式石英撓性加速度計(jì).該加速度計(jì)采用靜電力實(shí)現(xiàn)力反饋閉環(huán)，代替?zhèn)鹘y(tǒng)石英撓性加速度計(jì)使用的電磁力閉環(huán)，無需在結(jié)構(gòu)上設(shè)計(jì)線圈和永磁體，結(jié)構(gòu)簡單，且力反饋精度高，可滿足空間電推進(jìn)加速度的測(cè)量精度要求.

靜電力平衡式石英撓性加速度計(jì)采用靜電力反饋、電容檢測(cè)的驅(qū)動(dòng)檢測(cè)方式.隨著加速度計(jì)測(cè)量精度的提高，機(jī)械熱噪聲成為影響加速度計(jì)精度的主要因素之一，因此加速度計(jì)表頭需要具有高真空度，這導(dǎo)致加速度計(jì)表頭的阻尼為0，在擺片固有頻率處產(chǎn)生振蕩.同時(shí)，加速度計(jì)驅(qū)動(dòng)電容的極板之間的電壓差會(huì)引起靜電力負(fù)剛度，導(dǎo)致加速度計(jì)在動(dòng)態(tài)工作條件下表頭剛度不斷發(fā)生變化，甚至整個(gè)表頭剛度變?yōu)樨?fù)數(shù)，影響加速度計(jì)的正常工作.因此，根據(jù)靜電力平衡式石英撓性加速度計(jì)的表頭參數(shù)特點(diǎn)進(jìn)行閉環(huán)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有重要意義.

本文針對(duì)靜電力平衡式石英撓性加速度計(jì)，建立了加速度計(jì)表頭的系統(tǒng)模型，建立了擺片的剛度模型和撓度模型，并分析了靜電力負(fù)剛度對(duì)表頭系統(tǒng)模型的影響；在閉環(huán)控制系統(tǒng)中引入了阻尼補(bǔ)償環(huán)節(jié)，并設(shè)計(jì)了系統(tǒng)校正環(huán)節(jié)，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性動(dòng)態(tài)特性.

1 加速度計(jì)表頭模型

靜電力平衡式石英撓性加速度計(jì)表頭主要由敏感擺片、驅(qū)動(dòng)電容和檢測(cè)電容構(gòu)成，如圖1所示.

圖1 靜電力平衡式石英撓性加速度計(jì)表頭示意圖Fig.1 Schematic diagram of electrostatic force-balance quartz-flexure accelerometer

設(shè)測(cè)量加速度為a，擺片轉(zhuǎn)動(dòng)角度為α，敏感擺片的動(dòng)力學(xué)微分方程為[5]：

(1)

其中，P為擺片的擺性，設(shè)擺片質(zhì)量為m，擺片質(zhì)心距離(相對(duì)懸臂梁固定端)為L，則擺性P=mL；J為擺片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K為擺片的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度；C為擺片的轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼，當(dāng)表頭具有高真空度時(shí)，C≈0.

則表頭系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

(2)

當(dāng)擺片轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，驅(qū)動(dòng)、檢測(cè)電容的電極間隙變化不均勻，影響驅(qū)動(dòng)力和檢測(cè)電容變化量等參數(shù).下面對(duì)加速度作用下擺片的剛度和撓度進(jìn)行分析.

敏感擺片主要由撓性梁和敏感質(zhì)量塊組成.敏感質(zhì)量塊的厚度為幾百μm，撓性梁的厚度僅為十～幾十μm，因此敏感擺片的剛度由主要由撓性梁剛度組成.敏感擺片可以等效為懸臂梁模型，如圖2所示.

圖2 敏感擺片示意圖Fig.2 Schematic diagram of sensitive pendulum

懸臂梁任意截面x處的轉(zhuǎn)角θ和撓度y的關(guān)系滿足tanθ=dy/dx.

懸臂梁質(zhì)心處受到作用力為F=ma,撓性梁的彎矩方程為[6]：

M(x)=-F(L-x)

(3)

邊界條件滿足：

(4)

式中，y0表示當(dāng)x=0時(shí)，撓度y的取值，以此類推.

設(shè)擺片材料的楊氏模量為E,撓性梁慣性矩為I,則撓性梁的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為：

(5)

由方程(3)～(5)可求得撓性梁轉(zhuǎn)角公式和撓度公式：

(6)

(7)

則撓性梁的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為：

(8)

敏感質(zhì)量塊可等效為剛體，不發(fā)生形變.則當(dāng)x≥l時(shí)，懸臂梁(敏感質(zhì)量塊)的撓度公式為：

(9)

由式(9)可以求得擺片各位置的位移，即電容間隙的變化量.敏感質(zhì)量塊的位移梯度為：

(10)

隨著作用力F的增大，敏感質(zhì)量塊的撓度梯度增大，電容間隙變化量的不均勻性增大.當(dāng)加速度計(jì)在開環(huán)工作或測(cè)試條件下，需要考慮電容間隙變化量不均勻?qū)︱?qū)動(dòng)、檢測(cè)參數(shù)的影響.

因此，加速度計(jì)一般工作在力平衡閉環(huán)條件下，擺片受平衡力的作用一直工作在平衡位置附近，轉(zhuǎn)動(dòng)角度十分小，電容間隙變化量可以近似為恒定值，等效為電容面積形心處的位移.

靜電力平衡式石英撓性加速度計(jì)采用靜電力反饋，在差分式驅(qū)動(dòng)電容上施加反饋驅(qū)動(dòng)力.設(shè)介電常數(shù)為ε,電容面積為Ad,電容初始間隙為dd,則單邊驅(qū)動(dòng)電容的初始值為Cd=εAd/dd[7].施加在擺片驅(qū)動(dòng)電極上的恒定直流電壓為Vb;施加在另一個(gè)驅(qū)動(dòng)電極上力平衡反饋電壓為Vf,差分驅(qū)動(dòng)電容上的力平衡反饋電壓大小相等，方向相反.當(dāng)擺片位移為z時(shí)，差分式驅(qū)動(dòng)電容的總儲(chǔ)存能量為：

(11)

差分式驅(qū)動(dòng)電容上總靜電力為：

(12)

式(12)中，右項(xiàng)為反饋靜電力，通過改變反饋電壓Vf的大小，即可改變反饋靜電力的大?。蛔箜?xiàng)為負(fù)剛度靜電力，該力與擺片位移呈正比，等效靜電力負(fù)剛度(轉(zhuǎn)動(dòng))為：

(13)

因此，加速度計(jì)表頭系統(tǒng)的總剛度為K′=K-Ke,且隨著擺片位移變化量的增大而減小，甚至為負(fù)剛度.

2 加速度計(jì)閉環(huán)控制系統(tǒng)

為了提高加速度計(jì)表頭的工作穩(wěn)定性和工作精度，需要合理設(shè)計(jì)加速度計(jì)閉環(huán)控制系統(tǒng).

為了提高加速度計(jì)的精度，降低機(jī)械熱噪聲，加速度計(jì)表頭需要具有高真空度，導(dǎo)致表頭系統(tǒng)阻尼為0，在擺片固有頻率處產(chǎn)生振蕩，因此需要在加速度計(jì)閉環(huán)控制系統(tǒng)中設(shè)計(jì)阻尼補(bǔ)償環(huán)節(jié).表頭系統(tǒng)的諧振頻率較低，導(dǎo)致加速度計(jì)帶寬低，擺片位移變化時(shí)，表頭系統(tǒng)剛度發(fā)生變化，因此需要增大加速度計(jì)閉環(huán)控制系統(tǒng)的帶寬，增加表頭剛度變化條件下的閉環(huán)系統(tǒng)魯棒性.

以一款靜電力平衡式石英撓性加速度計(jì)參數(shù)進(jìn)行閉環(huán)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與仿真分析.

在高真空度下，表頭系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

(14)

仿真得到表頭的開環(huán)頻率特性曲線如圖4所示，系統(tǒng)在頻率14.5 Hz處有一個(gè)諧振峰，工作過程中易發(fā)生振蕩.

圖3 加速度計(jì)閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖Fig.3 Close-loop control system of accelerameter

圖4 加速度計(jì)表頭的開環(huán)頻率特性曲線Fig.4 Open-loop frequency response of accelerometer

經(jīng)過阻尼后補(bǔ)償后的傳遞函數(shù)為：

G2(s)=

(15)

加速度計(jì)的檢測(cè)放大參數(shù)KCKD≈5 000,力反饋參數(shù)由驅(qū)動(dòng)電容的力放大系數(shù)決定：Kfb≈1.22×10-7,阻尼補(bǔ)償環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)參數(shù)為KP=20，τ=0.005.仿真得到阻尼補(bǔ)償后系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線如圖5所示.經(jīng)過阻尼補(bǔ)償后，系統(tǒng)不出現(xiàn)振蕩，但該系統(tǒng)閉環(huán)后不穩(wěn)定且?guī)捿^低，需要引入校正環(huán)節(jié)[8-9].

圖5 阻尼補(bǔ)償后系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線Fig.5 Damping-compensated open-loop frequency response of accelerometer

為了消除系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，在系統(tǒng)中引入積分環(huán)節(jié)，積分后的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性如圖6所示，系統(tǒng)開環(huán)截止頻率18.63 kHz，相角裕度0.7°.系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率過大，相角裕度過小，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性的要求，因此需要加入校正環(huán)節(jié).

圖6 加入積分環(huán)節(jié)后系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線Fig.6 Open-loop frequency response with integral element

采用超前校正環(huán)節(jié)來進(jìn)行系統(tǒng)校正，選定校正環(huán)節(jié)表達(dá)式為：

(16)

校正后的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線見圖7.系統(tǒng)開環(huán)截止頻率1 579 Hz，相角裕度78°，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性條件.校正后的系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性曲線如圖8所示，幅頻特性曲線無諧振峰，系統(tǒng)的阻尼比接近0.707，系統(tǒng)帶寬約2 380 Hz.

圖7 加入校正環(huán)節(jié)后系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線Fig.7 Open-loop frequency response with correction element

圖8 加入校正環(huán)節(jié)后系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性曲線Fig.8 Close-loop frequency response with correction element

加速度計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖線如圖9所示，系統(tǒng)超調(diào)量為3%，調(diào)節(jié)時(shí)間為0.5 ms，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.

圖9 閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線Fig.9 Step response of closed-loop system

下面分析靜電力負(fù)剛度增大對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的影響.由于加速度計(jì)工作在閉環(huán)條件下，擺片在平衡力的作用下工作在平衡位置附近，受到的靜電力負(fù)剛度接近0(在平衡位移處為0).為了驗(yàn)證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，取比較極端的情況，設(shè)靜電力負(fù)剛度增大到原系統(tǒng)剛度的20倍，加計(jì)表頭系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

(17)

仿真得到表頭的開環(huán)頻率特性曲線見圖10，系統(tǒng)相位恒定為-90°，系統(tǒng)不穩(wěn)定.

圖10 靜電力負(fù)剛度增大后的表頭系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線Fig.10 Open-loop frequency response of accelerometer with the increase of negeative stiffness

閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線如圖11所示，系統(tǒng)帶寬為2 383 Hz.閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖線如圖12所示，系統(tǒng)超調(diào)量為3%，調(diào)節(jié)時(shí)間為3 ms，閉環(huán)系統(tǒng)依舊穩(wěn)定.

圖11 靜電力負(fù)剛度增大后的系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性曲線Fig.11 Close-loop frequency response with the increase of negeative stiffness

圖12 靜電力負(fù)剛度增大后的閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線Fig.12 Step response of closed-loop system with the increase of negeative stiffness

3 結(jié) 論

本文針對(duì)一種靜電力平衡式石英撓性加速度計(jì)，建立了其表頭系統(tǒng)模型并設(shè)計(jì)了一種靜電力力平衡式閉環(huán)控制系統(tǒng).針對(duì)表頭擺片擺動(dòng)引起的電容間隙不均勻?qū)︱?qū)動(dòng)、檢測(cè)參數(shù)的影響，建立了擺片的剛度模型和撓度模型，為加速度計(jì)的驅(qū)動(dòng)、檢測(cè)設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ).針對(duì)加速度計(jì)表頭高真空度引起的表頭振蕩，在閉環(huán)系統(tǒng)中引入阻尼補(bǔ)償環(huán)節(jié)，并在加閉環(huán)系統(tǒng)中設(shè)計(jì)積分環(huán)節(jié)和校正環(huán)節(jié)來增加系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性.仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)帶寬約2 380 Hz，階躍響應(yīng)的超調(diào)量為3%，調(diào)節(jié)時(shí)間為0.5 ms.當(dāng)系統(tǒng)靜電力負(fù)剛度增大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)也可以穩(wěn)定工作.