李 佳，朱春鵬

(徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院, 江蘇 徐州 221111)

受文獻(xiàn)[4-5]的啟發(fā),論文把文獻(xiàn)[5]的結(jié)果推廣到矩陣A可以有重特征值但并不要求A能夠?qū)腔那闆r.

定義1如果f(t)=F(ω1t,ω2t,…,ωrt)， 其中F(θ1,θ2,…,θr)所有變量都是2π周期的，且θi=ωit，i=1,2,…,r，則稱函數(shù)f是頻率為ω=(ω1,ω2,…,ωr)的擬周期函數(shù).

如果F(θ)，θ=(θ1,θ2,…,θr)在Dρ={θ∈Cr||Imθi|≤ρ,i=1,2,…,r}上解析,則稱f(t)在Dρ上是解析擬周期的.記f(t)在Dρ上的最大值范數(shù)為

定義2如果所有的qij(t)(i,j=1,2,…,n)在Dρ上是解析擬周期的,則稱矩陣函數(shù)Q(t)=(qij(t))1≤i,j≤n在Dρ上是解析擬周期的.

定義Q的范數(shù)

||Q||ρ=n×max1≤i,j≤n||qij||ρ，

則

||Q1Q2||ρ≤||Q1||ρ||Q2||ρ.

為了簡單起見,如果Q是一常數(shù)矩陣,記||Q||=||Q||ρ.Q的平均記為

[Q]=([qij])1≤i,j≤n，

1 主要定理及相關(guān)假設(shè)

定理考慮非線性哈密頓系統(tǒng)

(1)

假設(shè)A可以有重特征值λi,λi≠0，i=1,2,…,2n. 假設(shè)Q(t,ε),g(t,ε),h(x,t,ε)在Dρ上是頻率為ω=(ω1,ω2,…,ωr)的解析擬周期矩陣，并且關(guān)于ε解析.此外，h(x,t,ε)在Ba(0)上關(guān)于x是解析的，h(0,t,ε)=0，Dxh(0,t,ε)=0，其中Ba(0)是中心在原點、半徑為a的球，ε∈(0,ε0)是參數(shù).

假設(shè)1(非共振條件)λ=(λ1,λ2,…,λn)和ω=(ω1,ω2,…,ωr) 滿足

(2)

(3)

其中:k∈Zr{0}，τ>r-1，α>0是一個小常數(shù).

其中:k1≠k2，k,k1,k2=1,2,…,2n,ε∈(0,ε0),δ,δ1,δ2是常數(shù).

假設(shè)3||Dxxh(x,t,ε)||≤K， 其中x∈Ba(0)，ε∈(0,ε0).

則存在一個具有正Lebesgue測度的Cantor集E*?(0,ε0)，使得當(dāng)ε∈E*時, 存在一個擬周期辛變換x=ψ(t,ε)+φ(t,ε)y，其中ψ(t,ε) 和φ(t,ε)是頻率為ω的解析擬周期矩陣, 使得 (1) 式變?yōu)楣茴D系統(tǒng)

(4)

其中:B(ε)是常數(shù)矩陣,h∞(y,t,ε)=O(y2),y→0. 此時，meas((0,ε0)E*)=o(ε0)，當(dāng)ε0→0.

注1一般來說,Q,g,h都依賴于ε. 下面為了簡單起見，有時省略其中的參數(shù)ε.

注2子集E*?(0,ε0)是一個Cantor集. 于是，函數(shù)在E*上關(guān)于ε的光滑性理解為Whitney光滑. 具體見文獻(xiàn)[11].

2 定理的證明

事實上，論文重特征值但并不要求A能夠?qū)腔那闆r，可參考文獻(xiàn)[5]中的第一步KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser theorem)步驟.因此，首先給出第一步KAM步驟，而以后的KAM迭代變?yōu)椴煌卣髦档那闆r，完全類似文獻(xiàn)[5].

首先，在第一步KAM步驟中，對于(1)式，通過做一個辛變換，使得εg(t)中的ε的次數(shù)變?yōu)棣?.

(5)

其中

解方程

(6)

比較方程(6)兩邊的Fourier系數(shù)，則方程(6)變?yōu)?/p>

(7)

Lxk=εgk.

(8)

(9)

對于哈密頓系統(tǒng)(5)，做辛變換y=eεP0x1，其中哈密頓矩陣P0滿足

得到哈密頓系統(tǒng)

(10)

第一步以后的KAM步驟、KAM迭代的收斂性以及測度估計的證明完全類似于文獻(xiàn)[5]，此略.