伍少仕，景璐璐

(上海理工大學 機械工程學院，上海 200093)

0 引言

復雜曲面的不可展性使得加工過程中容易出現(xiàn)誤差干涉，如何有效地減少加工誤差，生成最優(yōu)走刀路徑，是仍待解決的問題。復雜曲面的加工通常由五軸機床點銑和側銑實現(xiàn)。點銑常用的刀具有平底刀，球頭刀，加工過程中質(zhì)量容易保證，但效率不高。側銑加工的工作原理是通過回轉刀具側切削刃在工件表面沿設計軌跡移動，形成設計曲面[1]。側銑常用的刀具有圓柱刀，圓錐刀，鼓形刀等，因其幾何性質(zhì)不同，適合加工的曲面也不同。

銑削加工中首先應該考慮刀位軌跡的生成，目前有關刀位軌跡的算法多是針對球頭刀、圓柱刀等外形相對簡單的刀具，類似于鼓形銑刀的相關刀位軌跡算法鮮有論述。修春松等設計了一種無干涉的鼓形刀刀位軌跡生成算法，開發(fā)出整體葉輪五坐標數(shù)控加工程序生成功能模塊[2]，算法具有針對性。孟凡軍等提出一種基于緯線圓圓心定位法，算法提高了鼓形刀具刀位誤差分布的計算效率與精度[3]，但計算過程較為復雜，且外部因素對算法效率與精度具有一定的影響。陳果等基于宏域曲率吻合原則，通過調(diào)整鼓形刀具上端點位置及旋轉角度以避免干涉[4]，在大幅減少輸出刀位的同時卻難以保證加工過程中的局部誤差過大。宮虎在五坐標數(shù)控加工基本模型的基礎上，研究了以密切法為主導的局部優(yōu)化法加工，推導了切點處刀具曲面、刀具包絡面和設計曲面三者不變量內(nèi)在關系的基本曲率公式，并在圓柱刀、圓錐刀和圓環(huán)刀加工下得到實現(xiàn)[5]。但對曲率較大的曲面加工并未給出具體解決方案。與圓柱刀和圓錐刀相比，鼓形刀曲率可以很大，位姿變換較為靈活，適合加工凹形曲面。為擴展其在直紋面?zhèn)茹娂庸ぶ械膽?，文章擬在上述密切法加工基本模型構架下，引入鼓刀緯線半徑和側圓弧半徑，推導鼓刀側銑加工中刀軸矢量、刀心位置的公式表達，并在Matlab中仿真出刀具路徑，驗證了鼓刀密切法加工復雜曲面刀位軌跡生成的可行性。

1 回轉刀具及其幾何性質(zhì)

如圖1所示，鼓形刀具可視為其母線Cm沿與其共面的坐標軸Z旋轉而成的軌跡面，引入鼓刀側圓弧半徑R，刀具上任意一點P的緯線半徑為ri，該點到底端的垂直高度為h，過該點作軌跡面的切線，切線與Z軸的夾角為φ，且由幾何關系知，線段PO與PP′的夾角也為φ。由于鼓刀是回轉面，根據(jù)微分幾何關系[6]可知鼓刀具備回轉面的所有性質(zhì)，即：

(1) 鼓刀上任意點的法線與軸線共面。

(3) 鼓刀法線與軸線的交點為緯線方向的主曲率中心，該點處母線的曲率中心為回轉面經(jīng)線方向的主曲率中心。

圖1 鼓形回轉刀具

2 密切法加工模型構建

為便于后續(xù)討論，用曲線帶形建立五坐標數(shù)控加工刀具運動過程。將設計曲面表示為S1，刀具曲面表示為S2，加工過程中假定設計曲面不動，刀具曲面沿路徑相對于設計曲面運動，刀具曲面與設計曲面相切于P點。

圖2 鼓刀加工曲面的基本模型

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(a) 密切角 (b) 刀具傾角 圖3 曲面空間Frenet標架

3 鼓刀密切法加工的實現(xiàn)

3.1 鼓刀刀位點的計算

(6)

刀心矢量nq可描述成q點處相對設計曲面的絕對坐標，其值可由各矢量沿該方向上通過疊加法算出。

(7)

其中，ri為鼓刀上任意緯線處半徑，h為p點到底端的垂直高度。

(8)

(1)在設計曲面S1=S(u,v)上確定好加工路徑Cn，求曲面S對參數(shù)u,v的一階和二階微分量du,dv,duu,dvv,duv[7]。

(2)在路徑Cn上一點P計算設計曲面S1在該點處的單位法矢：

(9)

(3)求P點處第一和第二基本量：

(10)

(11)

其中，a=EM-FL;b=EN-GL;c=FN-GM

(5)確定單位主方向矢量：

(12)

(13)

其中，A=EG-F2;B=-LG+2MF-NE;C=LN-M2。

(7)根據(jù)鼓刀的幾何特性，刀具在P點處沿緯線e1和經(jīng)線e2方向的主曲率分別為：

(14)

其中，ri為鼓刀在P點處的緯線半徑，R為鼓刀側圓弧半徑。

(8)將4個曲率代入式(8)求出密切角δ。

3.2 鼓刀密切法加工的判別條件

需要注意的是，密切法并非在所有場合下都適用，直觀上來說，密切法加工的基本條件是δ有解。此外還需滿足不干涉條件，全局干涉可通過調(diào)整刀具設計參數(shù)來避免[8]。文獻[5]給出了不干涉條件基本判別式：

(15)

其中，

(16)

4 實例仿真

取文獻[9]中的直紋面，采用鼓形刀進行加工，鼓刀側圓弧半徑R為20mm，刀具曲面與設計曲面切點處鼓刀緯線半徑ri為10mm，刀具傾角φ為15°，切點處距刀具下底面垂直高度h為5mm，加工路線為v=0.5的參數(shù)曲線，仿真在編程軟件Matlab R2017b中實現(xiàn)。

如圖4所示，共生成50個密切刀位，其中，圓點為刀心點，且刀心點與加工曲面偏離一個刀具半徑距離。連接刀心點的直線為刀軸線，相鄰刀軸間距一致，從而縮小了誤差變動范圍。旋轉圖片可以看出，刀軸線與加工曲面具有一定的角度，這個角度就是刀具傾角。

圖4 鼓刀密切法加工刀位軌跡生成

5 結論

(1)基于密切法加工模型構架，引入鼓刀側圓弧半徑和緯線半徑，由矢量疊加法推導鼓刀側銑加工中刀軸矢量、刀心位置的公式表達。

(2)根據(jù)鼓刀密切法加工的適應判別條件，分析了鼓刀以上下底面為切削面時加工的曲面可包含雙曲點或拋物點，由此論證了鼓刀密切法加工條件不僅與曲面曲率有關，還受刀具姿態(tài)本身影響。