馬 暢，冷建偉

(天津理工大學(xué) 電氣電子工程學(xué)院 天津市復(fù)雜控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384)

0 引言

近年來，隨著永磁材料技術(shù)的不斷發(fā)展，永磁同步電機(jī)在工業(yè)，高精度數(shù)控機(jī)床，軍事等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛[1]。永磁同步電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、功率密度高、效率高、損耗少、節(jié)能效果明顯等優(yōu)點(diǎn)[2]。傳統(tǒng)的永磁同步電機(jī)多采用PI控制策略，但PI調(diào)節(jié)性能具有一定缺陷，比如系統(tǒng)在遇到外部干擾或者內(nèi)部參數(shù)變化時(shí)，PI控制不能顯示出很強(qiáng)的魯棒性[3]。后來有些學(xué)者提出把滑模控制加入到控制系統(tǒng)中，雖然滑?？刂凭哂休^強(qiáng)的魯棒性，但是在各種非線性控制系統(tǒng)中，會(huì)出現(xiàn)抖振問題[4]。抖振的產(chǎn)生不僅影響系統(tǒng)的精度，增加控制器的負(fù)擔(dān)，還影響系統(tǒng)穩(wěn)定。

為了提高滑模運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，解決抖振問題。目前主要有趨近律法、觀測(cè)器方法、模糊控制方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法、遺傳算法、動(dòng)態(tài)滑模方法等。其中，我國高為炳院士提出的趨近律法在抑制滑模抖振方面是國內(nèi)外使用和研究的一個(gè)熱點(diǎn)。高為炳[5]提出了趨近律技術(shù)的概念并分析了等速趨近律、指數(shù)趨近律和冪次趨近律等方法。等速趨近律的速度不變，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單；指數(shù)趨近律雖然提高了趨近系統(tǒng)滑模面的速度，但是這兩種方法由于常值切換項(xiàng)ksgn(s)的存在，使得系統(tǒng)必定會(huì)存在抖振；冪次趨近律雖然可以消除抖振，但是在系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)趨近速度很低。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一種新型趨近律和擾動(dòng)觀測(cè)器相結(jié)合的滑?？刂撇呗?，選取指數(shù)項(xiàng)、系統(tǒng)狀態(tài)變量、線性增益等組成滑模趨近律，并結(jié)合積分型滑模面，有效的提高了系統(tǒng)的趨近速度并減小了抖動(dòng)，但是趨近律的形式復(fù)雜，參數(shù)選取困難。文獻(xiàn)[7]將終端吸引子的概念引入了指數(shù)趨近律，設(shè)計(jì)了一種新型趨近律，提高了趨近速度，有效減小了抖振。文獻(xiàn)[8]在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，提出一種新型快速冪次趨近律，并與傳統(tǒng)PI控制器作比較，實(shí)驗(yàn)顯示該趨近律具有較好的性能。文獻(xiàn)[9]首先提出雙冪次趨近律的形式，并將其應(yīng)用于機(jī)器人的路徑跟蹤控制，具有較強(qiáng)魯棒性。廖英[10]等提出一種雙冪次組合函數(shù)趨近律，通過理論分析和實(shí)驗(yàn)證明該趨近律無論系統(tǒng)在何種狀態(tài)都具有比傳統(tǒng)趨近律更優(yōu)的控制性能，不足之處在于參數(shù)較多，不同參數(shù)下的滑模收斂特性還有待研究。張瑤[11]等在雙冪次趨近律的基礎(chǔ)上提出了一種多冪次趨近律，采用三個(gè)冪次項(xiàng)和一個(gè)線性項(xiàng)。該趨近律的變指數(shù)的冪次項(xiàng)具有較強(qiáng)的自適應(yīng)能力，不足之處在于系統(tǒng)受到干擾時(shí)，穩(wěn)定性有待研究。

為進(jìn)一步提高永磁同步電機(jī)的動(dòng)態(tài)跟蹤性能，本文提出了一種新型趨近律，是在雙冪次趨近律的基礎(chǔ)上結(jié)合文獻(xiàn)[7]，加入變指數(shù)項(xiàng)，進(jìn)一步加快了雙冪次趨近律在遠(yuǎn)離滑模面時(shí)的趨近速度，引入系統(tǒng)狀態(tài)變量，抑制了滑模固有的抖振問題。最后通過理論分析和實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證該算法具有更好的性能。

1 新型趨近律

1.1 新型趨近律的設(shè)計(jì)

對(duì)于設(shè)計(jì)趨近律來說，要考慮兩個(gè)方面，一個(gè)是快速性，一個(gè)是抑制抖振。由于文獻(xiàn)[12]論證出雙冪次趨近律具有有效消除抖振的特點(diǎn)，所以在雙冪次趨近律的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)。對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，所設(shè)計(jì)的新型趨近律如下所示：

(1)

(2)

其中，k1>0,k2>0,ε>0,0<α<1,β>1，x1為系統(tǒng)狀態(tài)變量，s是系統(tǒng)滑模面，sgn(g)為符號(hào)函數(shù)。

1.2 存在性及可達(dá)性證明

(3)

1.3 新型趨近律的滑模特性分析

證明：分析新型趨近律的收斂時(shí)間，下面分2個(gè)階段進(jìn)行討論。

階段1：從初始狀態(tài)s(0)到s(t1)=1階段

在該階段，由于參數(shù)0<α<1,β>1，所以對(duì)雙冪次趨近律來說，在|s|>1時(shí)，對(duì)于收斂速度其主要作用的是第二項(xiàng)，忽略第一項(xiàng)的影響，將雙冪次趨近律寫成：

(4)

對(duì)上式兩邊進(jìn)行積分可得：

(5)

由此可得從初始狀態(tài)s(0)到s(t1)=1階段的收斂時(shí)間為：

(6)

同理在該階段，對(duì)于新型趨近律(1)來說，起作用的為第二項(xiàng)和第三項(xiàng)(這時(shí)γ=β)，忽略第一項(xiàng)，則趨近律(1)寫為：

(7)

(8)

將式(8)兩邊積分可得:

(9)

(10)

階段2：從s(t1)=1到s(t2)=0階段

在該階段，同樣由于參數(shù)0<α<1,β>1，所以對(duì)雙冪次趨近律來說，在|s|<1時(shí)，對(duì)于收斂速度其主要作用的是第一項(xiàng)，忽略第二項(xiàng)的影響，將雙冪次趨近律寫成:

(11)

對(duì)上式兩邊進(jìn)行積分可得：

(12)

從初始狀態(tài)s(t1)=1到s(t2)=0階段的收斂時(shí)間為：

(13)

同理在該階段，對(duì)于新型趨近律(1)來說，起作用的為第二項(xiàng)和第三項(xiàng)(這時(shí)γ=α)，忽略第一項(xiàng)，則趨近律(1)寫為：

(14)

綜上所述，新型趨近律下滑模趨近總時(shí)間T=Tα+Tβ小于雙冪次趨近律趨近總時(shí)間t=t1+t2。定理1得證。

1.4 新型趨近律控制性能分析

以式(15)所示的系統(tǒng)為例，比較分析雙冪次趨近律和新型趨近律的控制性能。

(15)

取系統(tǒng)滑模面為s=Cx，對(duì)其求導(dǎo)得:

(16)

將式(1)、式(15)帶入式(16)可得:

(17)

在相同的參數(shù)設(shè)置下，將新型趨近律和雙冪次趨近律進(jìn)行仿真對(duì)比，結(jié)果如圖1所示。

(a) 系統(tǒng)狀態(tài)x1收斂過程 (b) 系統(tǒng)狀態(tài)x2收斂過程

(c) 趨近律趨近過程所需時(shí)間 (d) 控制器輸出u

(e) 雙冪次趨近律滑模運(yùn)動(dòng)相軌跡 (f) 新型趨近律滑模運(yùn)動(dòng)相軌跡 圖1 雙冪次趨近律和新型趨近律性能比較

通過對(duì)比圖1中雙冪次趨近律和新型趨近律的控制性能可知，新型趨近律在趨近滑模面的速度方面快于雙冪次趨近律,能更快地使系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定，且通過輸出曲線u可以看出，新型趨近律具有減小抖陣的作用。因此本文提出的新型趨近律比雙冪次趨近律擁有更優(yōu)的控制性能。

2 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

建立永磁同步電機(jī)在d-q軸同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)假設(shè)磁場(chǎng)在空間中正弦分布，并忽略磁滯損耗和渦流損耗。則電機(jī)的數(shù)學(xué)模型為：

(18)

(19)

轉(zhuǎn)矩公式：

(20)

其中，ud、uq分別為定子電壓在d軸和q軸分量；id、iq分別為電機(jī)定子電流在d軸和q軸分量；ψd、ψq分別為電機(jī)磁鏈在d軸和q軸的分量；Ld、Lq分別為電機(jī)電感在d軸和q軸的分量；R為定子電阻；ωm為轉(zhuǎn)子角速度；ψf為永磁體磁鏈。

對(duì)于表貼式PMSM而言，采用id=0的轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)定向控制方法即可獲得較好的控制效果:

(21)

運(yùn)動(dòng)方程為:

(22)

3 滑?？刂破鳂?gòu)造

結(jié)合式(18)和式(19)為：

(23)

定義

(24)

其中，ω為電機(jī)參考速度，ωm為實(shí)際速度。

根據(jù)式(23)和式(24):

(25)

(26)

定義滑模面為s=cx1+x2，對(duì)其求導(dǎo)并結(jié)合本文所提出的新型趨近律，則:

(27)

(28)

從而得到參考電流為：

(29)

4 仿真及實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證本文所提出的基于新型趨近律的滑模控制器有效性，搭建MATLAB/simulink仿真模型，構(gòu)建如圖2所示的仿真系統(tǒng)。仿真采用的PMSM電機(jī)參數(shù)為：磁極數(shù)pn=4，電感Ld=Lq=8.5mH，轉(zhuǎn)子慣量J=0.0018kg·m2，阻尼系數(shù)B=0.0001。永磁磁鏈幅值ψf=0.175Wb，定子電阻R=2.875Ω。

圖2 PMSM的系統(tǒng)控制圖

仿真實(shí)驗(yàn)中對(duì)傳統(tǒng)PI控制器和新型趨近律滑?？刂破髯隽藢?duì)比實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果分別從電機(jī)的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩、定子電流三方面比較。給定電機(jī)轉(zhuǎn)速為400r/min，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0。從圖3a中可以看出，新型滑?？刂破鞅葌鹘y(tǒng)PI控制器轉(zhuǎn)速響應(yīng)快，到達(dá)指定轉(zhuǎn)速的所用的時(shí)間少，且無超調(diào)現(xiàn)象。電機(jī)轉(zhuǎn)速在0.2s時(shí)突然增加到600r/min，從圖3a中可以看出，在轉(zhuǎn)速突變的情況下，SMC控制速度響應(yīng)也是快于PI作用，且率先達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。圖3b顯示的是在轉(zhuǎn)速突變的情況下電機(jī)轉(zhuǎn)矩響應(yīng)，從圖中可以看出，PI控制策略下轉(zhuǎn)矩到達(dá)穩(wěn)定的時(shí)間慢于SMC控制策略，并且在轉(zhuǎn)速變化時(shí)，PI控制下的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)達(dá)到了初始轉(zhuǎn)矩變化幅度5N·m，起伏波動(dòng)比較大，而SMC控制下，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)幅度只有初始幅度的一半3N·m，波動(dòng)小，具有更好的抗擾動(dòng)特性。同樣從圖3c、 圖3d的定子電流對(duì)比也可看出SMC較快到達(dá)穩(wěn)定，并且波動(dòng)幅度小，展示出具有較好的控制性能。綜上，在面對(duì)系統(tǒng)突變時(shí)，采用新型趨近律下的滑模控制器具有響應(yīng)速度快，穩(wěn)定后抑制抖動(dòng)能力強(qiáng)，魯棒性好的優(yōu)點(diǎn)。

(a) 兩種控制下的轉(zhuǎn)速響應(yīng) (b) 兩種控制下的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)

(c) PI控制下的電流響應(yīng) (d) SMC控制下的電流響應(yīng) 圖3 系統(tǒng)起動(dòng)和轉(zhuǎn)速突變響應(yīng)仿真

4.1 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文以天煌教儀THEAZT-3C型電力電子與調(diào)速系統(tǒng)設(shè)計(jì)/創(chuàng)新平臺(tái)為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，以TMS320F2812PGFA控制芯片，搭建了實(shí)物平臺(tái)，通過調(diào)速監(jiān)控軟件可以監(jiān)測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速。實(shí)驗(yàn)主要測(cè)試PI控制和SMC控制下電機(jī)從起動(dòng)到設(shè)定轉(zhuǎn)速，然后改變電機(jī)轉(zhuǎn)速，觀察系統(tǒng)響應(yīng)。

圖4 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)及部分模塊

4.2 實(shí)驗(yàn)分析

首先設(shè)定電機(jī)的轉(zhuǎn)速為500r/min，初始負(fù)載為0，空載啟動(dòng)。從實(shí)驗(yàn)圖中可以看到，當(dāng)電機(jī)加速時(shí)，SMC控制速度響應(yīng)快于PI控制，且SMC控制策略下，電機(jī)不存在超調(diào)現(xiàn)象。在電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行后，突加負(fù)載轉(zhuǎn)矩1N·m，PI控制下轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)比較大，到達(dá)平衡時(shí)間也比SMC控制下要長，說明滑模控制具有較好的抗干擾能力。

隨后設(shè)定電機(jī)轉(zhuǎn)速到1000r/min，然后進(jìn)行減速實(shí)驗(yàn)。通過實(shí)驗(yàn)可以看出，SMC控制下電機(jī)可以迅速做出響應(yīng)到達(dá)給定轉(zhuǎn)速500r/min，到達(dá)穩(wěn)定時(shí)間短。

(a) PI控制下電機(jī)起動(dòng)轉(zhuǎn)速響應(yīng)

(b) SMC控制下電機(jī)起動(dòng)轉(zhuǎn)速響應(yīng)

(c) PI控制下突加負(fù)載的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)

(d) SMC控制下突加負(fù)載的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)

(e) PI控制電機(jī)轉(zhuǎn)速下降時(shí)的轉(zhuǎn)速響應(yīng)

(f) SMC控制電機(jī)轉(zhuǎn)速下降時(shí)的轉(zhuǎn)速響應(yīng) 圖5 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)測(cè)試

5 結(jié)論

本文提出了一種新型趨近律方案，是在雙冪次趨近律的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，并從理論上分析了新型趨近律的可靠性、存在性和可達(dá)性。通過公式推導(dǎo)驗(yàn)證了新型趨近律比雙冪次趨近律無論是靠近滑模面還是在遠(yuǎn)離滑模面時(shí)，都具有更快的收斂速度。在新型趨近律的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)滑模控制器，與傳統(tǒng)PI控制器進(jìn)行比較，仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明，新型趨近律滑?？刂破髟谒俣软憫?yīng)，穩(wěn)態(tài)精度，抑制抖動(dòng)方面;具有較好的性能表現(xiàn)，驗(yàn)證了本方法的可行性。