李靖敏

[摘? 要] 筆者對一道經典高考題進行改編、再創(chuàng)造，生成系列問題，在對問題的思辨過程中引導學生深入思考，進而激發(fā)學生的思維活動，創(chuàng)設“數(shù)學思維歷程”. 學生在親歷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的數(shù)學思維歷程中，學會數(shù)學的思考問題的方法，掌握選擇解決問題的策略，從而形成數(shù)學核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 四邊形;思維活動;思維歷程

學習數(shù)學不僅要掌握知識和技能，更為重要的是掌握其思想和方法. 數(shù)學思想方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，是數(shù)學的靈魂和精髓. 創(chuàng)設“數(shù)學思維歷程”的課堂教學，有利于學生掌握數(shù)學思想和方法，學會數(shù)學的思考，形成數(shù)學核心素養(yǎng). 這也是高中數(shù)學教學的核心任務和長遠目標，對學生數(shù)學能力的發(fā)展起到關鍵作用.

筆者在高三復習課教學實踐中有意進行了創(chuàng)設“數(shù)學思維歷程”的課堂教學的嘗試，將要復習的知識通過問題呈現(xiàn)出來，通過問題思辨引導學生深入思考，激發(fā)學生的思維活動，促進師生的思維碰撞. 在學生親歷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程中，在生與生、師與生思維的碰撞中，體驗高三數(shù)學復習的樂趣，體驗美妙的數(shù)學思維歷程，學會數(shù)學的思考問題，提升解決問題的邏輯思維能力.

改編經典高考題——創(chuàng)設 “數(shù)學思維歷程”

（1）當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積;

（2）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.

這道題既考查了解析幾何的基本知識與方法，也考查了學生的數(shù)學思維能力，還考查了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，是每年高三解析幾何復習必選的題目，面對這樣經典的解析幾何題，采用什么方式進行教學才能改變學生的學習方式，提升學生分析解決幾何問題的能力呢？

在高三一輪復習時，筆者進行了創(chuàng)設“數(shù)學思維歷程”課堂教學的嘗試.

首先把要解決的問題“四邊形OABC是否可能為菱形”看成果樹上要摘的果實，尋根溯源挖掘埋藏在樹根底部泥土之中的知識與方法，在此基礎上邏輯生成、生長：四邊形OABC是否可為梯形、平行四邊形、矩形、正方形？在學生親歷這一思維過程中，學會思考解析幾何問題的方法;掌握選擇解決解析幾何問題的策略;能精準表達解決解析幾何問題的過程;從而提升學生解決解析幾何問題的能力，促進學生思維發(fā)展. 為此筆者用兩節(jié)連排課，將按邏輯的生成、生長的問題讓學生充分探討，相互啟發(fā)，去展示和碰撞各自不同的想法. 鑒于此，設計如下三個教學環(huán)節(jié)

教學實踐——學生親歷“數(shù)學思維過程”

（一）動手操作，驗證猜想

問題的拋出猶如一石激起千層浪，學生積極動手操作，很快得出有無數(shù)個梯形.

師：為什么有無數(shù)個梯形？

生：能找到OA或AB的無數(shù)條平行線（圖2、圖3）

師：所作的平行線中都能滿足其是梯形嗎？

生：如圖3，當OA=BC時，不是梯形，而是平行四邊形.

師：一定有OA=BC嗎？

師：為什么？

此時大部分學生困惑，說不出理由，經過思考，有學生想到：當BC與橢圓相切時，BC趨近于零，當BC過O點時，BC最大為2OA，所以一定能找到OA=BC.

師：太棒了，比較兩條線段的大小，可將其中一條線段的范圍求出來，0

生：有BCOA，則必有OA=BC.

師：這種連續(xù)變化的思想非常重要，是“零點存在定理”在幾何圖形中的應用，它在驗證幾何結論時被經常使用.

判斷一個四邊形是平行四邊形除了從邊上思考，還可以從哪些角度思考？

生：對角線互相平分、對角相等.

師：哪個更簡單？如何驗證？

學生一致認為：用對角線互相平分更優(yōu)，學生畫圖，將AC繞BO的中點D旋轉，觀察AD與DC的大小，用連續(xù)變化的思想，驗證有平行四邊形，如圖4. （學法指導初見成效）

師：以上從數(shù)、形兩方面在平移、旋轉的連續(xù)變化中驗證了問題：OABC可以是平行四邊形，有無數(shù)個. 接下來該研究OABC是什么四邊形？

生：菱形、矩形、正方形.

師：討論其各有多少個？

經討論，大部分學生認為：菱形有4個，且當B點在橢圓的頂點處時. 個別學生不知道矩形有沒有，但根據(jù)橢圓的對稱性：若有，則一定有四個.

師：角AOC在連續(xù)變化過程中有直角的可能嗎？或兩條對角線有相等的可能嗎？（學生進行深入思考）

生1：先從特殊位置找鈍角，當OA垂直x軸，BC過焦點F垂直x軸時，BC=AO=1，角AOC是鈍角. 如圖5，當B點在橢圓右頂點時，角AOC是銳角. 如圖6，用連續(xù)變化的觀點知一定有角AOC是直角，根據(jù)橢圓的對稱性，矩形有四個. 當B在右頂點時，角AOC為什么是銳角？很多學生提出質疑.

生1：如圖6，OD=1，AD小于短半軸的長1，所以角AOD小于45°，？搖所以角AOC小于90°. （話音剛落教室響起熱烈的掌聲）

師：角AOC是鈍角，大部分同學找的是B在橢圓上（或下）頂點時的菱形，難點是找銳角，生1不僅找到了，而且還說明了理由，非常棒！

師：這樣驗證了矩形有4個，有正方形嗎？

生一致認為沒有，理由是只有B點在橢圓的頂點處時，四邊形OABC才是菱形，此時OABC不是矩形，所以四邊形OABC不可能為正方形.

師追問：B不在頂點時，四邊形OABC一定不是菱形嗎？

生：看著不像.

師：偉大的數(shù)學家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，幾何結論不能僅僅看圖觀察，用連續(xù)變化思想驗證，還必須從“數(shù)”上嚴格證明. 將學生的思維自然而然引入第二環(huán)節(jié).

（二）優(yōu)中選優(yōu)，證明猜想

師：平行四邊形、菱形、矩形，先證明哪個結論好？生一致認為：平行四邊形.

師：剛才我們從邊、對角線上驗證了有無數(shù)個平行四邊形，采用哪種證明更簡單呢？

（學生困惑、有爭議）

師指導：若用OA=BC，OA∥BC. 1. 設點：讓學生將幾何條件OA=BC用坐標表示出來，有六個參數(shù)，OA平行BC用坐標表示出來，用向量或斜率（存在時）也有六個參數(shù).

2. 設線：若斜率存在，OA：y=kx，BC：y=kx+m，需與橢圓方程聯(lián)立兩次，計算量太大，怎么辦？（學生深入思考）

設線：AC方程：y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立一次即可.

師：能具體說明一下你的想法嗎？

師：生2分析得很到位，對k∈R能否有m存在，同時滿足上面的等式和不等式，掌聲送給他，但有點小小的漏洞，缺少斜率不存在情況（有學生搶著說到）.

師：對，這是你們解題中經常忽略的問題，同時m≠0，要特別注意直線方程中參數(shù)k，m的限制條件，在做解析幾何題時，不要盲目算，一定要恰當合理選擇幾何條件，預估代數(shù)運算的復雜程度，優(yōu)中選優(yōu).

師：證明B不在橢圓頂點，菱形存在時，選擇哪個幾何條件更好？

生：對角線垂直，

師：如何代數(shù)化？（有的說用斜率，有的說用向量，爭議較大）

解出矩形恰有四個時，學生都非常興奮，頗有成就感.

（三）引申拓展，提升能力

師：以上證明了平行四邊形有無數(shù)個，那么這無數(shù)個平行四邊形的面積有最值嗎？

問題再一次激起學生的探究欲望，引發(fā)學生深入思考.

真神奇呀，面積是定值，學生由衷發(fā)著感嘆，沉浸在研究數(shù)學問題的情景中……

教后反思帶給學生美妙的“數(shù)學思維的歷程”

連著兩節(jié)復習課后，學生沒有一點疲憊感，還在興致勃勃討論拓展問題. 筆者雖然連續(xù)“戰(zhàn)斗”高三很多年，但依然為學生這么多好的想法、解法興奮不已. 這堂課令筆者真正體驗到教學相長;學生是待開發(fā)的沃土，蘊藏著無窮的智慧，老師的挖掘與引導則能起到松土激活的效果;體驗到學生的思維和智慧是可教的，老師是學生思維發(fā)展與智慧提升的引導者和推動者.

（一）創(chuàng)設“數(shù)學思維歷程”的課堂，問題是課堂的核心

本課，改變了以往復習課的呈現(xiàn)方式，將經典的高考題改編為“半開放”性問題，在“半開放”性問題的引領下展開教學，問題是課堂的核心.

本課的一系列問題都是由原問題四邊形OABC是否為菱形生成生長的，符合學生的認知，符合解析幾何的認識規(guī)律，同時抓住學生想學好解析幾何但又懼怕計算的心理，從最簡單問題梯形入手，引發(fā)學生研究問題的欲望，而后問題步步深入，先畫梯形、再平移、后旋轉的連續(xù)變化中尋找平行四邊形、菱形、矩形、正方形，發(fā)現(xiàn)幾何猜想、辨別真?zhèn)危l(fā)深層次思考，給學生更多的思考空間，使學生“想知”，也“能知”，使更多的學生積極參與到問題的思考之中，從而發(fā)揮出最大的主觀能動性，收獲最好的數(shù)學思維歷程學習體驗.

本課的一系列問題，意在傳遞解析幾何的基本思想在具體問題中如何應用，即尋找?guī)缀螚l件，寫出代數(shù)形式，算出代數(shù)結果，得到幾何結論. 而第一步幾何條件的尋找和選擇最為關鍵，在問題的引領下，讓學生通過分析對比預見不同幾何條件下代數(shù)運算的復雜程度，選擇最佳解題策略，優(yōu)化代數(shù)化過程，優(yōu)中選優(yōu). 學生通過“自悟”“他悟”，最終“頓悟”.

（二）創(chuàng)設“數(shù)學思維歷程”的課堂，思維活動是課堂主線

本課思維活動主線從以下三個方面邏輯生成，層層遞進，步步深入，引導學生展開深度學習. 根據(jù)學生的理解情況和進展狀況恰當點評，不斷鼓勵，適時糾偏導正，查漏補缺，適時地提出能促進學生進一步深入思考的話題，例如，是否還有別的解法，哪種方法更簡單？是否可以推廣引申，強化（或者弱化）條件會有什么結果？這些問題使學生的認識在層層遞進的思考中得到深化，解決解析幾何的邏輯思維能力在交流討論中得以提升.

（三）創(chuàng)設“數(shù)學思維歷程”的課程，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)是最終目的

創(chuàng)設“數(shù)學思維歷程”的課堂，不僅教給學生知識和方法，發(fā)展學生思維與能力，更重要的是培養(yǎng)學生的品格與精神，學會數(shù)學的思考，形成數(shù)學核心素養(yǎng). 其一，條理性，一步一步，大化小，多化少，難化簡，動化定，逐個擊破，層層分析，找到真相. 其二，先分析思考，后落筆運算，最簡捷地書寫. 凡事謀定而后動，思在前，行相隨，無往而不利;讓學生在學習中既收獲數(shù)學知識、思想、方法，又感受到從特殊到一般、從一般又到特殊、運動變化、等與不等、定與動等哲學思想，提升學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象核心素養(yǎng).

本課需要改進的問題

1. “半開放性”問題是在老師引領下展開的，對優(yōu)秀的學生思維有一定的束縛，筆者曾在一個普通實驗班嘗試過“全開放”的問題，問題的呈現(xiàn)為：

2. “半開放性”問題，學生思考討論時間較多，課堂節(jié)奏把控非常重要，若在第一環(huán)節(jié)再緊湊一些，將拓展的問題完成，發(fā)現(xiàn)四邊形OABC不是菱形的本質，對學生思維能力的提升促進作用更大.

作為數(shù)學教師，筆者常常在思考：當學生有一天不再學數(shù)學了，筆者的數(shù)學課堂能夠給學生留下什么？應該是當學生遇到具體問題時，那種思考問題的方式和解決問題的方法與策略. 這將使學生終身受益，是一種不可量化的“長效”，一種難以言說的豐厚的回報.

今天的課堂教學表面上看是在教學生如何思考并解決數(shù)學問題，其實是為學生明天運用邏輯思維的方法處理工作中的各種問題. 張鶴老師曾說“今天的很多的成年人在回憶自己的中學時代數(shù)學學習往往成了痛苦的經歷，希望未來的成年人會感激他（她）的數(shù)學老師曾經帶給他們過美妙的數(shù)學思維的歷程”. 每個老師都應努力使課堂教學給學生留下美妙的思維歷程，這節(jié)課應該給學生留下了美妙的思維歷程.