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摘 要 本文運(yùn)用了幾何空間坐標(biāo)系和建立多目標(biāo)優(yōu)化模型等方法，在滿足穩(wěn)固性、加工工藝簡(jiǎn)便性和木料最省的條件下，使用matlab等軟件進(jìn)行分析，得到折疊桌設(shè)計(jì)參數(shù)的最優(yōu)解，更大程度上滿足了制造商和顧客的要求。

關(guān)鍵詞 折疊桌 多目標(biāo)優(yōu)化 邊緣線 動(dòng)態(tài)模型

一、引言

欲生產(chǎn)一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上。

二、建立折疊桌空間坐標(biāo)系

為滿足桌子的日常使用需求，需使桌高h(yuǎn)=70cm，桌面直徑2R=80cm，我們將以桌面下表面的幾何中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，沿木條方向?yàn)閄軸，垂直桌面長(zhǎng)邊的方向?yàn)閅軸，垂直圓桌表面向下方向?yàn)閆軸，且以第三象限進(jìn)行研究。

三、折疊桌最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的計(jì)算

本問(wèn)題歸結(jié)為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題：在滿足折疊桌結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、受力平衡條件下，盡可能使折疊桌木槽總長(zhǎng)度最小，木板總長(zhǎng)度最短。由已知條件可知，桌高h(yuǎn)=70cm，桌面直徑2R=80cm，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值，設(shè)桌子邊緣剩余長(zhǎng)度為λ=6cm。當(dāng)桌面高度一定時(shí)，木板總長(zhǎng)度和桌腿的傾斜程度α有關(guān)。

（一）目標(biāo)分析

1.折疊桌的用料最省。由于桌面的直徑為木板寬度，要使折疊桌用料最少，需要在滿足桌子高度的條件下最邊緣的桌腿最短，即：

2.加工工藝簡(jiǎn)便。折疊桌的加工復(fù)雜程度主要受木槽長(zhǎng)度的影響：

（2）

其中，k為鋼筋在第一根木條上的位置到桌面邊緣的距離與第一根木條總長(zhǎng)度之比，di為折疊后鋼筋到桌面邊緣的距離。

（二）約束條件的選取

1.穩(wěn)定性約束。木桌折疊后在一個(gè)狀態(tài)下保持穩(wěn)定，不能再繼續(xù)彎折，在這個(gè)狀態(tài)下，桌子一側(cè)的最外側(cè)木條與另一側(cè)的最外側(cè)木條之間的距離應(yīng)大于或等于桌面寬度a倍，則：

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可取λ=6，且此處a取值為1。

2.開(kāi)槽長(zhǎng)度和開(kāi)槽位置的分析。圓形木桌桌腿在移動(dòng)過(guò)程中，鋼筋由初始位置慢慢向下移動(dòng)，木槽的位置既不能超過(guò)木板的最外側(cè)邊緣線，也不能超過(guò)桌面的半徑，最終開(kāi)槽位置應(yīng)該滿足如下不等式：

3.左右兩邊木條互不影響。在木板折疊后，最中間木條由最外側(cè)向中心位置移動(dòng)，左側(cè)右側(cè)的木條不能接觸，左邊桌腳邊緣線從平鋪到折疊后始終在左半面內(nèi)，即：

4.除最外側(cè)木條外桌腿的離地約束。除最邊上的4根木條落在地面起支撐作用外，其他木條均不能落地，即桌子折疊后其他桌腿的高度不能大于最外側(cè)木條高度：

（三）建立優(yōu)化模型

基于以上對(duì)問(wèn)題的分析，將以公式（2）、（3）為目標(biāo)函數(shù)，（4）、（5）、（5）為約束條件，利用matlab求解，通過(guò)改變桌腿條數(shù)n，可得到桌腿條數(shù)的改變對(duì)k和α影響情況，通過(guò)綜合考慮，本文選擇n=10作為最優(yōu)解，由此計(jì)算出木板總長(zhǎng)度為170.91cm。

并由此得到折疊桌的加工參數(shù)。第一根到第十根分別為82.45、68.02、61.45、56.89、53.45、50.81、48.79、47.30、46.26、45.66（cm），初始開(kāi)槽位置橫坐標(biāo)為-45.03，且向X軸負(fù)方向開(kāi)槽長(zhǎng)度依次為0.00、8.92、14.67、19.38、23.29、26.52、29.10、31.09、32.49、33.32（cm）。

四、結(jié)語(yǔ)

本文在折疊桌高度、桌面直徑已知情況下，綜合考慮桌子多方面因素，總結(jié)出其目標(biāo)函數(shù)以及約束條件，利用matlab求出了平板尺寸、鋼筋位置、各木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度等參數(shù)。

（張?zhí)熘軉挝粸槿A北理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院；王新蕊單位為華北理工大學(xué)冶金與能源學(xué)院；于可欣單位為華北理工大學(xué)理學(xué)院）

參考文獻(xiàn)

[1] 潘斌，于晶賢，衣娜.數(shù)學(xué)建模教程[M].化學(xué)工業(yè)出版社，2016.

[2] 劉卉，黃可坤.空間曲面方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].教育現(xiàn)代化，2018，5（13）：263-265.

[3] 許麗佳，穆炯. MATLAB程序設(shè)計(jì)及應(yīng)用[M].清華大學(xué)出版社，2011.