李 宏，張斯淇*

(1.吉林工程技術(shù)師范學(xué)院量子信息技術(shù)交叉學(xué)科研究院，吉林長春130052；2.吉林省量子信息技術(shù)工程實驗室，吉林長春130052)

光子晶體[1-2]是一種人工周期性結(jié)構(gòu)電磁材料，有光子禁帶、光子局域和負折射率等特性。光子晶體這些特性在材料科學(xué)、光子集成、凝聚態(tài)物理及信息技術(shù)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。在光子集成領(lǐng)域里，利用其帶隙特性的各種光發(fā)射器件[3-5]、分束器、耦合器、波導(dǎo)、濾波器、光開關(guān)等逐漸從研究轉(zhuǎn)向應(yīng)用，其性能也在不斷超越。通常光子帶隙寬度影響光子晶體器件的性能，故在理論上研究如何設(shè)計出具有更寬帶隙的光子晶體對光學(xué)器件的設(shè)計具有重要意義。光子晶體一直是國內(nèi)外研究者們重點的關(guān)注對象，對光子晶體相關(guān)的研究[6-13]趨勢呈迅猛增長，于1999年被《科學(xué)》雜志評為十大重要進展領(lǐng)域之一。

文獻[14]提出了二維函數(shù)三角晶格光子晶體，其介質(zhì)柱的折射率是空間坐標函數(shù)，不像二維常規(guī)光子晶體那樣是定值。二維函數(shù)光子晶體可利用光強的分布來改變帶隙結(jié)構(gòu)，它是基于Kerr效應(yīng)或電光效應(yīng)來制備的，它的帶隙結(jié)構(gòu)可調(diào)性靈活。本文在此基礎(chǔ)上，研究函數(shù)系數(shù)k對二維正方晶格函數(shù)光子晶體TE波和TM波帶結(jié)構(gòu)的影響。

1 二維函數(shù)光子晶體介電常數(shù)Fourier變換

文獻[14]給出的二維函數(shù)光子晶體介電常數(shù)Fourier變換表達式為

其中ε(r)為與位置有關(guān)的介電常數(shù)，f為填充比，ra為介質(zhì)柱半徑。當(dāng)εa(r)=εa時，εa為常數(shù)，則

可見，二維函數(shù)光子晶體介電常數(shù)的Fourier變換(1)式在特定的條件下，可變換成二維常規(guī)光子晶體的Fourier變換(2)式。

二維光子晶體TM波和TE波的特征方程為

2 數(shù)值模擬分析

下面研究二維正方晶格常規(guī)光子晶體和函數(shù)光子晶體的帶結(jié)構(gòu)。介質(zhì)柱位于空氣背景(介電常數(shù)εb=1)中，如圖1(a)所示。二維正方晶格常規(guī)光子晶體的結(jié)構(gòu)參數(shù)：介質(zhì)柱材料的介電常數(shù)εa=8.9，介質(zhì)柱半徑ra=0.2a，晶格常數(shù)a=10-6m。利用平面波展開法，由(2)～(4)式計算二維正方晶格常規(guī)光子晶體TE波和TM波帶結(jié)構(gòu)圖，如圖2(a)和2(b)所示，圖中縱坐標為歸一化頻率ωa/2πc，橫坐標為波矢。在頻率范圍0～0.8（單位a/2π c）內(nèi)，TE波帶隙圖中出現(xiàn)了1條光子禁帶，位于歸一化頻率0.336～0.456，帶隙寬度Δω=0.12。當(dāng)光波頻率處于此頻段時，光波將無法通過光子晶體，而在其他波段可以通過，從而實現(xiàn)了選頻作用。與TE波不同，在TM波下沒有禁帶，即所有頻段的光波都可通過光子晶體。

對于二維函數(shù)光子晶體，介質(zhì)柱介電常數(shù)是空間坐標函數(shù)。選取函數(shù)形式為εa(r)=k?r+8.9 (0≤r≤ra)，其中k為函數(shù)系數(shù)。利用平面波展開法，由(1)式、(3)式和(4)式計算二維正方晶格函數(shù)光子晶體TE波和TM波帶隙結(jié)構(gòu)圖。圖3(a)和3(b)分別為函數(shù)系數(shù)k=3×106，即εa(r)=3×106×r+8.9 (0≤r≤ra)，介質(zhì)柱半徑ra=0.2a時二維正方晶格函數(shù)光子晶體TE波和TM波帶隙結(jié)構(gòu)圖。在頻率0～0.8范圍內(nèi)，TE波有1條光子禁帶，其位置在歸一化頻率0.329～0.454間，帶隙寬度Δω=0.125。TM波沒有禁帶。比較圖2和圖3可知，在TE波情況下頻率0～0.8范圍內(nèi)，二維函數(shù)光子晶體禁帶寬度比常規(guī)光子晶體寬，且光子禁帶位置發(fā)生改變。

圖1 二維光子晶體正方晶格。(a)結(jié)構(gòu)圖；(b)第一布里淵區(qū)

圖2 二維正方晶格常規(guī)光子晶體帶結(jié)構(gòu)圖。（a）TE波;（b）TM波

圖3 二維正方晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)圖。（a）TE波；（b）TM波

在圖4和圖5中，函數(shù)系數(shù)分別取k=1.5×107和k=2.7×107，其他參數(shù)同圖3。在頻率0～0.8范圍內(nèi)，圖4(a)中TE波有2條光子禁帶：第1條禁帶位于歸一化頻率0.311～0.441，帶隙寬度Δω=0.13；第2條禁帶的位置在0.752～0.779，帶隙寬度Δω=0.027。圖4(b)中TM波沒有禁帶。圖5(a)中TE波有2條光子禁帶：第1條禁帶的位置在歸一化頻率0.296～0.432處，帶隙寬度Δω=0.136；第2條禁帶的位置在0.725～0.769，帶隙寬度Δω=0.044。圖5(b)中TM波沒有禁帶。比較圖3,、圖4和圖5可以發(fā)現(xiàn)，在TE波情況下，隨著函數(shù)系數(shù)k增加，帶隙數(shù)目增多，帶寬變寬，位置發(fā)生移動。

3 結(jié)論

綜上所述，本文用平面波展開法研究了介質(zhì)柱型二維正方晶格函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)。在其他參數(shù)不變的情況下，分析了函數(shù)系數(shù)k的變化對二維正方晶格函數(shù)光子晶體TE波和TM波帶隙結(jié)構(gòu)的影響。在二維正方晶格函數(shù)光子晶體TE波情況下，不同的函數(shù)系數(shù)k對應(yīng)的函數(shù)光子晶體TE波的帶隙數(shù)目、位置及寬度均不同。隨著函數(shù)系數(shù)k的增加，帶隙數(shù)目增多，帶寬變寬。通過不同函數(shù)系數(shù)k的取值，來實現(xiàn)對二維函數(shù)光子晶體帶隙的調(diào)節(jié)。與二維常規(guī)光子晶體相比較，函數(shù)光子晶體有較寬的帶隙結(jié)構(gòu)，且只要光強分布不同，二維函數(shù)光子晶體就可得到不同的帶隙結(jié)構(gòu)?？梢?，二維函數(shù)光子晶體可更加便捷地實現(xiàn)對帶隙的調(diào)節(jié)，這將為光學(xué)器件的設(shè)計提供新的理論依據(jù)和重要的設(shè)計方法。

圖4 二維正方晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)圖。（a）TE波;（b）TM波

圖5 二維正方晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)圖。（a）TE波;（b）TM波