俞世祥 朱萍 洪巨波

【摘 要】“積的變化規(guī)律”是乘法運(yùn)算中重要的規(guī)律，本節(jié)課教學(xué)之前，在乘法口訣、乘法題組計(jì)算等情況下已經(jīng)有所滲透。因此，本節(jié)課作為本單元的第一課時(shí)，教師讓學(xué)生在題組計(jì)算中發(fā)現(xiàn)“積的變化規(guī)律”，在回顧相關(guān)教材內(nèi)容的過(guò)程中加深數(shù)學(xué)理解，滲透函數(shù)思想。

【關(guān)鍵詞】積的變化規(guī)律；函數(shù)思想

“積的變化規(guī)律”是乘法計(jì)算中自然存在著的規(guī)律，即當(dāng)一個(gè)因數(shù)不變，積與另外一個(gè)因數(shù)存在著正比例關(guān)系。這一種關(guān)系，在二年級(jí)學(xué)習(xí)乘法口訣時(shí)學(xué)生已經(jīng)有所體會(huì)，如“一五得五，二五一十”。其中因數(shù)5不變，另一個(gè)因數(shù)乘2，積也乘2，反之，另外一個(gè)因數(shù)除以2，積也除以2。但是，由于受當(dāng)時(shí)學(xué)生思維水平的限制，并沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生做這樣的探究。到了四年級(jí)上學(xué)期，學(xué)生對(duì)“積的變化規(guī)律”已經(jīng)有了較為豐富的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)計(jì)算題的觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律，并滲透函數(shù)思想。

一、抽象概括，總結(jié)規(guī)律

在相應(yīng)題組計(jì)算的過(guò)程中，讓學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)“積的變化規(guī)律”，是基本的教學(xué)思路。同時(shí)，不同的學(xué)生對(duì)于規(guī)律發(fā)現(xiàn)的水平是不一樣的。因此，教師可以在計(jì)算后讓學(xué)生充分表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)，有層次地展示學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，在交流互動(dòng)過(guò)程中逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律。

（一）計(jì)算觀察，獲得結(jié)論

課始，教師出示如下兩組計(jì)算題，并提出問(wèn)題：觀察這兩組計(jì)算題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（1）2×6= （2）20×4=

20×6= 10×4=

80×6= 5×4=

對(duì)于這兩組題目，筆者預(yù)設(shè)，學(xué)生在觀察時(shí)會(huì)有兩種發(fā)現(xiàn)，一種發(fā)現(xiàn)是定性的，即每一組中的兩個(gè)算式間一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)變大（或變?。e也變大（或變?。Ａ硪环N發(fā)現(xiàn)是定量的，即一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘（或除以）幾，積也乘（或除以）幾。當(dāng)然，學(xué)生在表達(dá)第二種規(guī)律時(shí)，一般會(huì)用具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行展示。在自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律階段，這兩種發(fā)現(xiàn)應(yīng)該都是正確的，都可以成為后續(xù)的學(xué)習(xí)資源。

（二）交流互動(dòng)，分析結(jié)論

不同認(rèn)知水平的學(xué)生，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律也是不同的。整體展示學(xué)生發(fā)現(xiàn)的幾種典型的規(guī)律，在交流比較的過(guò)程中，逐步分析結(jié)論。

教師首先展示圍繞第1組題發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

（1）一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)變大，積也變大。

（2）一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘幾，積也乘幾。

展示上面的兩種發(fā)現(xiàn)后，教師追問(wèn)：它們是由哪一組計(jì)算題歸納得到的？并在觀察發(fā)現(xiàn)第一種規(guī)律是正確的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提問(wèn)：第二種發(fā)現(xiàn)正確嗎？你能夠舉例說(shuō)一說(shuō)嗎？依據(jù)學(xué)生的說(shuō)法，得到如圖1的板書(shū)。

進(jìn)一步分析，這兩種規(guī)律，哪一種規(guī)律更符合實(shí)際。為什么？逐步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，第一種規(guī)律只是說(shuō)明變化的情況，第二種規(guī)律還說(shuō)明了具體的變化。所以第二種更符合實(shí)際。在此基礎(chǔ)上，依據(jù)這一種經(jīng)驗(yàn)，再對(duì)第2題組發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行修正。

（三）舉例驗(yàn)證，完善規(guī)律

上面的發(fā)現(xiàn)，還只停留于一個(gè)題組的歸納。鑒于此，可以讓學(xué)生再舉一組同類的算式，驗(yàn)證總結(jié)的規(guī)律是否也同時(shí)成立。

在學(xué)生舉例的基礎(chǔ)上，教師舉出如圖2的例子。請(qǐng)學(xué)生分析圖2中的算式“同時(shí)除以0”是否有意義，從而進(jìn)一步完善原來(lái)總結(jié)的規(guī)律。

觀察與分析、抽象與概括、猜想與驗(yàn)證是學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的基本方式。因此，教師在提供學(xué)習(xí)材料之后，應(yīng)該讓學(xué)生有充足的獨(dú)立探究與交流反饋的時(shí)空，讓數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累過(guò)程。

二、回溯舊知，溫故知新

“積的變化規(guī)律”的發(fā)現(xiàn)與總結(jié)，來(lái)自對(duì)已知的乘法題組?？偨Y(jié)出規(guī)律后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步回顧與“積的變化規(guī)律”有關(guān)的舊知，并用積的變化規(guī)律對(duì)新知進(jìn)行理解，從而滲透函數(shù)思想。

（一）乘法口訣的回顧

之后，教師把圖3進(jìn)行調(diào)整，變成了如圖4的形式，然后追問(wèn)：從左往右看，各有幾個(gè)5，積是多少？學(xué)生回答后得到圖5。最后教師添上一條直線（見(jiàn)圖6），讓學(xué)生直觀感受積的變化過(guò)程。

通過(guò)上面這些圖的演示，學(xué)生直觀地感受到5的個(gè)數(shù)與積的變化過(guò)程，整個(gè)教學(xué)滲透了正比例的函數(shù)思想。

（二）整十、整百數(shù)乘一位數(shù)口算的回顧

整十、整百、整千數(shù)乘一位數(shù)是多位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)，當(dāng)時(shí)教學(xué)時(shí)，是通過(guò)數(shù)的意義來(lái)說(shuō)明算理，并通過(guò)題組比較，總結(jié)簡(jiǎn)便算法。在學(xué)習(xí)了“積的變化規(guī)律”后，可以引導(dǎo)學(xué)生從積的變化規(guī)律的角度來(lái)闡述算理。

教師出示圖7，提問(wèn)：想一想，你能夠用“積的變化規(guī)律”來(lái)解釋簡(jiǎn)算的道理嗎？學(xué)生回答后，再讓學(xué)生編制這樣的一組題目，讓同桌完成。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，許多規(guī)律在發(fā)現(xiàn)之前已經(jīng)在具體的數(shù)學(xué)情境中應(yīng)用了，如在學(xué)習(xí)運(yùn)算定律之前，在計(jì)算與解決問(wèn)題時(shí)已經(jīng)被多次應(yīng)用了。因此，在總結(jié)出相關(guān)的運(yùn)算定律后，可以選擇合適的素材進(jìn)行回顧反思。

（三）整十、整百數(shù)乘一位數(shù)筆算的回顧

在學(xué)習(xí)多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法中，當(dāng)多位數(shù)末尾有零時(shí)，已經(jīng)學(xué)習(xí)了用豎式計(jì)算，當(dāng)時(shí)更多地是從口算乘法中進(jìn)行形式化的遷移，并沒(méi)有做算理上的解釋。在本節(jié)課中，可以出示如圖8的例題，讓學(xué)生用“積的變化規(guī)律”來(lái)解釋算理。

例6呈現(xiàn)的是計(jì)算方法上的優(yōu)化，是學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)例2的基礎(chǔ)。出示本題，除了重新解釋算理外，也為教學(xué)三位數(shù)乘兩位數(shù)末尾有零乘法做好鋪墊。

三、以舊促新，綜合應(yīng)用

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，有許多新知是在舊知的基礎(chǔ)上就某一個(gè)方面適當(dāng)?shù)赝卣?，如從“兩位?shù)乘兩位數(shù)”到“三位數(shù)乘兩位數(shù)”；有的是對(duì)舊有的問(wèn)題在新的知識(shí)背景下進(jìn)行重新思考，如從“歸一應(yīng)用問(wèn)題”到“正比例應(yīng)用問(wèn)題”。對(duì)于前者，我們可以把“新授課”當(dāng)作“練習(xí)課”來(lái)上，對(duì)于后者，我們則需要更新原有的思維方式，將思維方式進(jìn)行優(yōu)化與提煉。在本節(jié)課中，這兩個(gè)方面的例子都出現(xiàn)了。

（一）滲透類比思想，學(xué)習(xí)“幾百幾十乘幾十”的筆算

顯然，人教版四年級(jí)上冊(cè)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”例2（如圖9），與“整十、整百、整千數(shù)乘一位數(shù)”筆算是同一類型的。因此，回顧了后者，并用積的變化規(guī)律進(jìn)行算理重構(gòu)后，我們順勢(shì)而為，出示了如下的題組，讓學(xué)生嘗試筆算。

（1）36×15= （2）360×15= （3）360×150=（4）106×30=

這四個(gè)題目，前三題相互聯(lián)系，第（1）題是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，第（2）（3）題是在第（1）題的基礎(chǔ)上出現(xiàn)了積末尾有零的情況。在學(xué)生計(jì)算之前，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這四道題進(jìn)行比較，讓學(xué)生先擺出兩個(gè)因數(shù)相乘的豎式，然后說(shuō)一說(shuō)自己計(jì)算的思路，再整體計(jì)算。如其中的第（2）題，學(xué)生會(huì)有如圖9的兩種擺法。整體展示后，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)哪一種擺法計(jì)算時(shí)會(huì)簡(jiǎn)便一些，這樣計(jì)算的理由是什么？通過(guò)交流討論，統(tǒng)一豎式的擺法后，自主計(jì)算，反饋糾錯(cuò)。反饋時(shí)可以特別討論第（3）題兩個(gè)因數(shù)末尾均有一個(gè)0時(shí)積為什么要添上兩個(gè)0。

這樣的編排結(jié)構(gòu)，把因數(shù)末尾有零的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的筆算作為“積的變化規(guī)律”的應(yīng)用，更有利于促進(jìn)學(xué)生利用類比思想解決問(wèn)題。

（二）利用幾何直觀，學(xué)習(xí)求“長(zhǎng)方形擴(kuò)大后的面積”新方法

如圖10，是利用“積的變化規(guī)律”解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)很好的例子。但是，在獨(dú)立完成時(shí)，大多數(shù)學(xué)生是根據(jù)長(zhǎng)方形的面積與寬先求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，再用長(zhǎng)乘增加后的寬來(lái)求出“擴(kuò)大后的面積”。如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)增加后的寬與原來(lái)的寬的倍數(shù)關(guān)系來(lái)求擴(kuò)大后的面積呢？采用幾何直觀是一種好方法。

在實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師先請(qǐng)學(xué)生把題目中的信息用圖畫(huà)出來(lái)（如圖11），然后再依據(jù)圖示來(lái)解決問(wèn)題。這時(shí)，大部分學(xué)生能夠同時(shí)用如下兩種方法計(jì)算，其中第二種方法就是“積的變化規(guī)律”的具體應(yīng)用。

方法1：200÷8×24

方法2：200×（24÷8）

把文字信息用圖來(lái)表達(dá)，可以發(fā)揮“幾何直觀”的優(yōu)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)更加合理、簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題的思路。

（三）借助表格信息，拓展“積的變化規(guī)律”

前面學(xué)習(xí)的“積的變化規(guī)律”，實(shí)質(zhì)上是正比例函數(shù)的模型。那么，當(dāng)積不變時(shí)，兩個(gè)因數(shù)又會(huì)怎樣變化呢？這既可以看成“積的變化規(guī)律”的拓展，也可以表述成“因數(shù)的變化規(guī)律”，即反比例函數(shù)的模型。就簡(jiǎn)便運(yùn)算而言，運(yùn)用這一個(gè)模型，在后續(xù)學(xué)習(xí)如“1800×25”這類題目的簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)，就可作為簡(jiǎn)算的依據(jù)。

為了讓學(xué)生探究這一種規(guī)律，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下一份表格。

先請(qǐng)學(xué)生計(jì)算出前面4組因數(shù)的積，然后請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)有什么發(fā)現(xiàn)。根據(jù)“積的變化規(guī)律”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，逐步概括出“因數(shù)的變化規(guī)律”，并依據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，填寫(xiě)最后一組因數(shù)和積。

綜上可以體會(huì)到，數(shù)學(xué)知識(shí)間是有內(nèi)在聯(lián)系的，教師在分析一個(gè)課時(shí)內(nèi)容時(shí)，通過(guò)回溯，不僅可以了解學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，還可以對(duì)原有知識(shí)進(jìn)行進(jìn)一步分析、提煉，真正做到“溫故而知新”；同時(shí)，還可以溝通后續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)新街三小 311200

浙江省杭州市蕭山區(qū)衙前農(nóng)村小學(xué) 311200）