常文武

假日里在花園里漫步，發(fā)現(xiàn)長廊的一個(gè)正六邊形鏤空窗非常美觀.它的窗格是規(guī)整的正三角形的網(wǎng)格，也許是維修T人臨時(shí)固定松動(dòng)木框，優(yōu)美的窗花上面平添了兩條多余的鐵絲，如圖1.

咦，這倒正好提出一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：這兩條鐵絲所在直線的夾角a是多少度呢？

聰明的你不必馬上讀下去.先拿起紙筆，試試你的解題功力吧！

如果你在讀高中，自然想起兩直線夾角的公式：

其中，κ₁κ₂分別為兩直線l₁l₂的斜率.經(jīng)過計(jì)算，這樣，最后可以得到a=60°。.

原來這兩條隨意連接的線段夾角恰為60。！這義引起我們的好奇心：這么巧的結(jié)論不應(yīng)該用這么“笨拙”的方法來解它！

那么如何來巧解此題呢？

容易想到借助均勻的等邊三角形網(wǎng)來找全等的圖形.例如圖2中我們可以找到△ABC≌△DEF，且∠BAC=∠EFD=120°，所求的角∠CGE其實(shí)就是∠ACB和∠DEF的和，而∠DEF與∠CBA是對(duì)應(yīng)角，所以所求角a=∠CGE=∠ACB十∠DEF=∠ACB +∠CBA=180°∠BAC=60°。注：這里用到平面幾何里形如“∑”的圖形ACGEF的角度計(jì)算技巧.讓我們溫習(xí)一下這個(gè)解題套路.在圖3中，利用平行線內(nèi)錯(cuò)角相等就可以得到∠1=∠2+∠3.）

至此，我們找到一個(gè)不那么死板的解法.但是還是不太令人滿意，因?yàn)槲覀冃枰碜C結(jié)論.有沒有其他辦法，義不需要用到高中的知識(shí)就能求解此題呢？

回到圖1，我們發(fā)現(xiàn)通過第二種解法可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)這兩條線段其實(shí)是等長度的.要想說明兩條等長的線段夾角是60°。，不如找到一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為60°。的旋轉(zhuǎn)變換，讓一條線段經(jīng)過旋轉(zhuǎn)到達(dá)另一條上，有這樣的旋轉(zhuǎn)變換嗎？

這樣的旋轉(zhuǎn)是存在的：如圖4所示，假設(shè)旋轉(zhuǎn)變換使得C運(yùn)動(dòng)到E，同時(shí)B運(yùn)動(dòng)到D，那么旋轉(zhuǎn)中心就是CE的垂直平分線和BD的垂直平分線的交點(diǎn).這個(gè)點(diǎn)正是窗子的中心點(diǎn)o.不難驗(yàn)證，由于OCE構(gòu)成等邊三角形，OBD也構(gòu)成等邊三角形，所以這個(gè)旋轉(zhuǎn)是以60°。為旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn).

有了以上探尋的成果作基礎(chǔ)，我們可以充分利用平移一邊不改變角的大小來發(fā)現(xiàn)更淺顯的證法：

如圖5所示，將線段BC平移至線段C'D，發(fā)現(xiàn)△C'DE恰為等邊三角形.而所求角∠CGE=∠D=60°.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就要有這種探尋精神，不但善于在生活的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，還要能融會(huì)貫通地利用初高中的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題！