趙砥，胡成，劉夢(mèng)迪

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

0 引言

通常上承式拱橋結(jié)構(gòu)主要包括主拱、主梁、立柱等主要構(gòu)件，而拱橋結(jié)構(gòu)整體的合理成橋狀態(tài)就是其主要的受力構(gòu)件均達(dá)到其各自的合理內(nèi)力狀態(tài)。

拱肋在不同的荷載工況組合下，要保證其成橋內(nèi)力狀態(tài)合理，就要控制恒載彎矩在較小的范圍，盡量使得拱肋截面處于均勻受壓狀態(tài)。拱肋作為一種將豎向力轉(zhuǎn)化為水平推力的結(jié)構(gòu)，只有當(dāng)拱截面內(nèi)力主要以受壓為主才能充分發(fā)揮這一特點(diǎn)。而拱肋截面偏心距的大小直接反映了拱肋的內(nèi)力狀態(tài)，因此主拱在成橋狀態(tài)下應(yīng)該保證較小的截面偏心距[1-2]。

本文的索力優(yōu)化研究主要是以扣掛法懸拼拱橋整體成橋時(shí)拱肋的內(nèi)力狀態(tài)作為其合理成橋狀態(tài)的控制目標(biāo)，并以此來建立拱肋懸拼合龍前的索力優(yōu)化分析模型，并借助白水江特大橋?qū)嶋H工程進(jìn)行數(shù)值有限元分析，以證明該優(yōu)化方法的準(zhǔn)確及有效。

1 工程背景

白水江特大橋主橋橋面系跨徑布置為22×16=352 m，主拱跨徑330 m，是一座上承式鋼箱桁肋拱橋[3]。橋型布置見圖1所示。

圖1 主橋橋型布置圖(單位：cm)

主橋拱肋為鋼桁架結(jié)構(gòu)，上、下弦桿為小鋼箱截面，拱肋在橫橋向分為三片，為等高桁架，桁高(上、下弦中心線間距)8.5 m，拱肋鋼箱斷面內(nèi)輪廓尺寸為1.4 m×1.0 m，內(nèi)部設(shè)有縱向加勁肋，鋼桁拱肋上、下弦桿鋼箱壁厚從拱頂至拱腳分節(jié)段變厚。

拱上立柱為三柱式鋼箱桁架柱，立柱縱橋向間距為16 m，立柱截面為等截面鋼箱，鋼箱截面橫橋向尺寸為1.0 m，順橋向尺寸為1.6～1.26 m，內(nèi)部設(shè)有加勁肋與橫隔板。當(dāng)立柱高大于12 m時(shí)柱間設(shè)置交叉斜撐，立柱頂與剛格構(gòu)主縱梁焊接。

主跨橋面系鋼梁采用鋼混疊合梁，鋼格構(gòu)主梁主要由縱梁、次縱梁、橫梁構(gòu)成，橫梁與縱梁之間采用栓焊結(jié)合的連接方式。

主橋拱肋依照排架立柱所處位置共劃分為10對(duì)拱段和一個(gè)合龍段，均采用纜索吊裝斜拉扣掛法施工。其懸拼總體布置圖如圖2所示。

2 非線性規(guī)劃模型

2.1 概述

圖2 懸拼總體布置圖

非線性規(guī)劃在做優(yōu)化分析時(shí)，要明確工程實(shí)際中涉及的目標(biāo)值、變量和約束條件三個(gè)因素，從而根據(jù)三者的關(guān)系建立起數(shù)學(xué)模型。非線性規(guī)劃模型常見形式如式(1)表示[4]。

(1)設(shè)計(jì)變量

在建立優(yōu)化模型時(shí)，需要根據(jù)實(shí)際工程選擇特定的參數(shù)，其中用來改變自身數(shù)值來影響目標(biāo)值改變的這組參數(shù)即為設(shè)計(jì)變量，設(shè)計(jì)變量常用X表示，在優(yōu)化模型中一般用x1,x2,…,xn表示，構(gòu)成向量X={x1,x2,…,xn}T。

(2)目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)要選擇最能貼切反映研究對(duì)象目標(biāo)狀態(tài)的某一參數(shù)，而且目標(biāo)函數(shù)與上述設(shè)計(jì)變量之間一定要有直接或間接的聯(lián)系，目標(biāo)函數(shù)常用minf(x1,x2,…,xi)表示。

(3)約束條件

約束條件可以使設(shè)計(jì)變量在一個(gè)相對(duì)合理且具有工程意義的范圍內(nèi)變化，起到限制的作用，約束條件常用gi(x1,x2,…,xn)=0和gj(x1,x2,…,xn)≥0來表示。

非線性規(guī)劃的求解方法主要有罰函數(shù)法、障礙函數(shù)法等，本文主要借助Matlab軟件編程進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化求解[5]。

2.2 懸拼拱橋合龍前索力調(diào)整優(yōu)化模型

對(duì)于大跨徑拱橋由于其拱肋節(jié)段數(shù)量較多，扣索索力調(diào)整的次數(shù)也隨之增加，如果索力優(yōu)化時(shí)仍然選擇全部扣索進(jìn)行索力調(diào)整將會(huì)繼續(xù)增加施工工作量，也會(huì)降低施工安全性。因此本優(yōu)化過程，只選擇部分扣索進(jìn)行索力調(diào)整，拱肋合龍前結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖3所示：

圖3 拱肋合龍前結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖

本優(yōu)化模型選擇的設(shè)計(jì)變量數(shù)目為n，即所選擇的索力調(diào)整的扣索數(shù)目為n，設(shè)n根扣索的索力改變量分別為 Δx1,Δx2,…,Δxn，用向量 X 表示，形式如式(2)所示：

本模型以成橋后拱肋的內(nèi)力狀態(tài)作為控制目標(biāo)，保證成橋后拱肋偏離彎矩較小以盡量使截面均勻受壓。截面受壓偏心距最能反映偏離彎矩的大小，因此以成橋后拱肋截面受壓偏心距作為依據(jù)[6][7]。本文選取拱肋上m個(gè)截面作為偏心距控制截面，并求解其偏心距平方和的算數(shù)平方根。則目標(biāo)函數(shù)如式(3)所示：

上式中，Mj表示為索力調(diào)整后的成橋拱肋的偏心距控制截面j的彎矩值，Nj表示為索力調(diào)整后的成橋拱肋的偏心距控制截面j的軸力值。

通過計(jì)算分析設(shè)計(jì)變量改變對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響，可以得到目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系。

選取未進(jìn)行索力優(yōu)化狀態(tài)下成橋拱肋的最大應(yīng)力截面作為應(yīng)力控制截面，假設(shè)該截面為p個(gè)，選取其截面應(yīng)力為約束條件。

2.3 優(yōu)化模型求解過程

(1)合龍前大懸臂狀態(tài)下不進(jìn)行索力調(diào)整，得到成橋時(shí)拱肋偏心距控制截面的彎矩值M0j、軸力值N；再計(jì)算提取應(yīng)力控制截面的上緣應(yīng)力0j及下緣應(yīng)力

(2)將設(shè)計(jì)變量中的相關(guān)扣索改變單位力，得到成橋后拱肋偏心距控制截面的彎矩影響矩陣A和軸力影響矩陣B，應(yīng)力控制截面上緣應(yīng)力影響矩陣C和下緣應(yīng)力影響矩陣D；

(3)由上述過程得到成橋狀態(tài)下拱肋偏心距控制截面的彎矩及軸力表達(dá)式；再計(jì)算目標(biāo)函數(shù)偏心距平方和的算數(shù)平方根以及約束條件中截面上、下緣應(yīng)力表達(dá)式；

(4)通過Matlab軟件，結(jié)合求得的目標(biāo)函數(shù)以及約束條件表達(dá)式，建立針對(duì)非線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型。

2.4 Matlab求解流程編制

Matlab中有很多適用于解決不同目標(biāo)函數(shù)的已編譯程序可以進(jìn)行直接調(diào)用，如求解非線性規(guī)劃問題中的最小值求解程序fmincon函數(shù)[8]。

可直接調(diào)用上述優(yōu)化函數(shù)fmincon，建立白水江特大橋合龍前索力調(diào)整求解主程序，具體可見文獻(xiàn)[3]。

2.5 計(jì)算要點(diǎn)

(1)由于白水江特大橋拱肋是由上、下箱形截面弦桿和豎向腹桿拼接的桁架結(jié)構(gòu)，因此控制截面的彎矩值M和軸力值N以及其改變量，可由該處上、下弦桿(箱形截面)彎矩值和軸力值及其改變量的平均值來代替，而上緣應(yīng)力即取值上弦桿頂板應(yīng)力，下緣應(yīng)力即取值下弦桿底板應(yīng)力。

(2)為了避免實(shí)際張拉時(shí)扣索張拉次數(shù)過多，只選擇空間上分布較遠(yuǎn)的幾根扣索作為設(shè)計(jì)變量，以減小扣索之間的互相影響。白水江特大橋合龍前的索力優(yōu)化調(diào)整選取兩岸3號(hào)、6號(hào)、10號(hào)共6根扣索進(jìn)行局部索力調(diào)整分析。

(3)白水江特大橋拱肋偏心距控制截面為9個(gè)，即彝良岸拱腳截面、L/8截面、L/4截面、3L/8截面、L/2截面、5L/8截面、3L/4截面、7L/8截面、昭通岸拱腳截面。

(4)選取成橋后拱頂截面上緣和拱肋L/4截面下緣作為應(yīng)力控制截面，并將這兩處截面應(yīng)力作為優(yōu)化模型的約束條件。

(5)fmincon函數(shù)的初始設(shè)計(jì)變量值可取x0=()10,10,10,10,10,10，即6根索力值可從10 kN開始迭代，為保證索力調(diào)整時(shí)拱肋線形不至于發(fā)生過大變化，索力改變量下限值取-300 kN，上限值取+300 kN(計(jì)算影響矩陣時(shí)單位力取1 kN)。

2.6 優(yōu)化模型計(jì)算

將上述規(guī)劃模型參數(shù)代入到Matlab優(yōu)化程序中，經(jīng)過了69步迭代之后輸出了目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值和對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量值。迭代過程及計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4 目標(biāo)函數(shù)迭代過程圖

白水江特大橋目標(biāo)函數(shù)在數(shù)學(xué)模型優(yōu)化前后目標(biāo)函數(shù)值如表1所示。

表1 數(shù)學(xué)模型目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化前后對(duì)比

如表1所示，未優(yōu)化狀態(tài)下的目標(biāo)函數(shù)為0.3616，優(yōu)化之后目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?.2474，優(yōu)化比例達(dá)到31.58%，說明拱肋偏心距控制截面的偏心距整體減小，拱肋均勻受壓性能有所改善。

3 有限元法驗(yàn)證

為證明上述優(yōu)化方法的準(zhǔn)確性，進(jìn)一步使用Midas Civil軟件進(jìn)行全橋建模計(jì)算，如圖5所示。

在本算例全橋有限元模型中選擇梁?jiǎn)卧⒛Ｐ?，全橋?717個(gè)單元，1433個(gè)節(jié)點(diǎn)。

圖5 Midas Civil全橋模型示意圖

3.1 目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果

通過上述Matlab程序計(jì)算后輸出得到的設(shè)計(jì)變量值：x1=196.46 kN，x2=272.91 kN，x3=-164.88 kN，x4=-170.86 kN，x5=282.41 kN，x6=192.44 kN，將所得的這6根扣索的索力調(diào)整值代入有限元模型中計(jì)算，得到成橋后拱肋偏心距控制截面的內(nèi)力和彎矩，并計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值。目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)化前后如表2所示。

表2 正裝模擬目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)化前后對(duì)比

分析表明，初始迭代值為0.3616，優(yōu)化后目標(biāo)函數(shù)減小為0.2512，優(yōu)化比例達(dá)到30.53%。與表1相比兩表中得到的目標(biāo)函數(shù)值不同，是因?yàn)樵谟?jì)算軸力、彎矩影響矩陣的時(shí)候是逐根張拉扣索進(jìn)行求解得到的，即不考慮設(shè)計(jì)變量之間的互相影響，這與實(shí)際張拉情況并不完全一致，因此將得到的索力調(diào)整值代入有限元模型計(jì)算得到的目標(biāo)函數(shù)與優(yōu)化模型得到的結(jié)果有所差異。但對(duì)比可知，該差異值較小，因此利用該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算是準(zhǔn)確的。

3.2 成橋后拱肋內(nèi)力優(yōu)化

優(yōu)化前后的成橋拱肋內(nèi)力結(jié)果如表3及圖6所示(圖中橫坐標(biāo)1～64表示從彝良岸至昭通岸各控制截面)。

表3 恒載作用下控制截面內(nèi)力優(yōu)化前后對(duì)比

由表3可看出，雖然索力優(yōu)化后對(duì)拱肋軸力的影響值較小，但是各截面彎矩絕對(duì)值均得到有效減小，優(yōu)化幅度達(dá)28%以上。

優(yōu)化前后的成橋拱肋彎矩對(duì)比如圖6所示。優(yōu)化前拱腳處的彎矩較大，優(yōu)化后兩岸拱腳截面的彎矩得到有效控制，偏心距較大的L/4處拱肋截面彎矩也得到了大為減低，表明拱肋合龍前選擇較少數(shù)目的扣索進(jìn)行調(diào)整即可達(dá)到優(yōu)化拱肋成橋內(nèi)力的作用。

圖6 Midas Civil全橋彎矩分布圖

優(yōu)化前后的成橋拱肋截面上、下緣應(yīng)力變化分別如圖7、圖8所示，圖中橫坐標(biāo)1～64表示從彝良岸至昭通岸各控制截面。

圖7 拱肋截面上緣應(yīng)力優(yōu)化前后對(duì)比圖

圖8 拱肋截面下緣應(yīng)力優(yōu)化前后對(duì)比圖

分析可知，合龍前進(jìn)行局部扣索索力優(yōu)化調(diào)整后，成橋時(shí)拱肋截面上緣最大壓應(yīng)力為-24.8 MPa(小于優(yōu)化前-33.59 MPa)，拱肋截面下緣最大壓應(yīng)力為-27.0 MPa(小于優(yōu)化前-34.0 MPa)，拱肋截面上、下緣應(yīng)力均有所降低。

4 結(jié)論

本文以實(shí)現(xiàn)白水江特大橋合理成橋狀態(tài)所進(jìn)行的合龍前的扣索索力優(yōu)化為研究對(duì)象，闡述了利用非線性規(guī)劃和Matlab來解決優(yōu)化問題的具體分析過程，并結(jié)合此工程項(xiàng)目進(jìn)行計(jì)算分析，得出以下結(jié)論：

(1)扣掛法拱橋懸拼施工的索力優(yōu)化調(diào)整在編制優(yōu)化模型的求解程序時(shí)可直接調(diào)用Matlab軟件中提供的已編譯函數(shù)fmincon，計(jì)算結(jié)果可行。

(2)以成橋后拱肋偏心距控制截面的偏心距平方和的算數(shù)平方根作為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建的合龍前索力優(yōu)化的非線性規(guī)劃模型符合實(shí)現(xiàn)拱肋合理成橋狀態(tài)的要求。

(3)有限元計(jì)算及分析對(duì)比表明，本文的索力優(yōu)化模型是合理可行的。通過局部的索力優(yōu)化即可使拱肋成橋內(nèi)力狀態(tài)得到了較好的改善，拱肋截面更接近均勻受壓，同時(shí)截面彎矩值降低幅度可達(dá)28%以上。