潘 麗，李 林 （上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)與經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，社會(huì)的進(jìn)步改變了人們的出行方式，鐵路客運(yùn)速度的提高，載客量的龐大，使它成為了大多數(shù)人出行或旅游交通方式的選擇。因此為了方便人們更好的出行，對(duì)國(guó)家資源進(jìn)行合理的配置，以及促進(jìn)鐵路部門的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)對(duì)鐵路客運(yùn)量的預(yù)測(cè)變得越來(lái)越重要。為了把握鐵路運(yùn)輸需求的特征，學(xué)者們提出了多種不同的預(yù)測(cè)模型，但是目前國(guó)內(nèi)外常用的方法還是依賴大量的歷史數(shù)據(jù)，對(duì)其進(jìn)行分析，找出規(guī)律，從而做出預(yù)測(cè)。

國(guó)外學(xué)者Suryani等建立了一個(gè)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)框架模型來(lái)預(yù)測(cè)客運(yùn)量需求，憑借系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的物理特性和信息流反饋控制連續(xù)決策和行動(dòng)，可以用來(lái)模擬、分析和仿真以提高模型的預(yù)測(cè)水平[1]。Godfrey等應(yīng)用指數(shù)平滑法模型來(lái)對(duì)客運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)[2]。相對(duì)來(lái)說(shuō)，早期的研究方法比較單一，不能結(jié)合組合模型的優(yōu)勢(shì)。

而國(guó)內(nèi)學(xué)者研究客運(yùn)量的人數(shù)更多，常用的預(yù)測(cè)方法有指數(shù)平滑法[3]、Logistic模型[4]、回歸分析[5]、支持向量機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]等。這些預(yù)測(cè)方法具有各自的特點(diǎn)，但是有個(gè)共同的特點(diǎn)就是要求預(yù)測(cè)的歷史數(shù)據(jù)具有良好的平滑度。由于客運(yùn)量受多種因素的影響，單一的預(yù)測(cè)方法已經(jīng)不適合對(duì)波動(dòng)性較大的客流量的預(yù)測(cè)，往往存在很多弊端。灰色馬爾科夫鏈模型是一種結(jié)合灰色系統(tǒng)理論和馬爾科夫鏈理論的預(yù)測(cè)模型，由于客運(yùn)量具有明顯的灰度特征，因此可以使用灰色模型預(yù)測(cè)客運(yùn)量。傳統(tǒng)的灰色模型雖然能有效地預(yù)測(cè)少量數(shù)據(jù)的序列，但隨著數(shù)據(jù)的增多和波動(dòng)性的增大，該模型逐漸的失去了它的優(yōu)勢(shì)[9]，而馬爾科夫模型預(yù)測(cè)適用于隨機(jī)波動(dòng)性較大時(shí)間序列中，彌補(bǔ)灰色模型的不足[10]。因此，本研究將上述兩種模型相結(jié)合，使兩者優(yōu)點(diǎn)互補(bǔ)。

1 建立灰色馬爾科夫模型

1.1 灰色GM （1,1）預(yù)測(cè)模型

灰色GM （1,1）模型是灰色系統(tǒng)理論最常用的一種灰色動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型。是把觀測(cè)到的數(shù)據(jù)看作隨機(jī)時(shí)間變化的灰色量或灰色過(guò)程，通過(guò)累加生成或累減生成局部使灰色量白化，從而建立相應(yīng)的微分方程模型并做出預(yù)測(cè)，其建模步驟如下：

（1）假設(shè)鐵路客運(yùn)量原始序列為：

對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加得到：

（3） 構(gòu)建累加序列（X1）的一階微分方程：

其中：參數(shù)a,b可由下列方程式得出：

（4）求解微分方程，得到如下的GM （1,1）模型：

（5）由累加序列還原序列得到：

1.2 馬爾科夫模型

馬爾科夫模型是俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾科夫于1907年提出，后有蒙特卡羅加以發(fā)展而建立的一種預(yù)測(cè)方法，它將時(shí)間序列看作一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，通過(guò)對(duì)事物不同狀態(tài)的初始概率與狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率的研究，確定事物未來(lái)狀態(tài)的變化趨勢(shì)。馬爾科夫模型可表示為：

其中：X（K+1）,XK分別為在k+1、k時(shí)刻的狀態(tài)概率向量，P為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

（1）進(jìn)行狀態(tài)區(qū)間的劃分

根據(jù)GM（ 1,1）模型預(yù)測(cè)的結(jié)果，計(jì)算原始序列與預(yù)測(cè)序列的相對(duì)誤差，并依據(jù)狀態(tài)的集中程度進(jìn)行劃分。

（2）構(gòu)建狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

由狀態(tài)Ei經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)期轉(zhuǎn)移到Ej的一步轉(zhuǎn)移概率為Pij，將所有的一步轉(zhuǎn)移概率排成一個(gè)矩陣，即：

（3） 計(jì)算預(yù)測(cè)值

在狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣確定后，根據(jù)某一年所處的狀態(tài)，來(lái)預(yù)測(cè)下一年可能出現(xiàn)的狀態(tài)，最終求出馬爾科夫修正值。

1.3 灰色馬爾科夫模型

灰色馬爾科夫模型的具體運(yùn)算步驟：（1）選取預(yù)測(cè)的時(shí)間序列，構(gòu)建GM （1,1） 模型，得到灰色預(yù)測(cè)值；（2）計(jì)算預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的相對(duì)誤差；（3）根據(jù)相對(duì)誤差的大小，從而劃分誤差范圍；（4）計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；（5）對(duì)灰色預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正：

2 實(shí)證研究

通過(guò)收集資料，得到上海市2007~2016年的鐵路客運(yùn)量數(shù)據(jù)，并利用灰色GM （1,1）模型求出預(yù)測(cè)值，再計(jì)算其真實(shí)值與預(yù)測(cè)值之間的誤差，以及相對(duì)誤差，得出的結(jié)果如表1所示：

2.1 用馬爾科夫鏈修正預(yù)測(cè)值

根據(jù)2007~2016年的上海鐵路客運(yùn)量的實(shí)際值和相對(duì)誤差，劃分狀態(tài)區(qū)間，從表1可以看出相對(duì)誤差的最大值為6.63%，最小值為-5.79%，當(dāng)灰色預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相對(duì)準(zhǔn)確時(shí)，不予修正。即誤差范圍在（-1%,1%） 之間時(shí)，將不對(duì)其進(jìn)行修正，由此劃分三個(gè)狀態(tài)區(qū)間，分別為E1(-6,-2]，E2(-2,2]，E3(2,7]，如表2所示：

表1 上海市鐵路客運(yùn)量

表2 狀態(tài)區(qū)間劃分

2.2 對(duì)各年進(jìn)行狀態(tài)區(qū)間的劃分（如表3所示）

表3 相對(duì)誤差和狀態(tài)區(qū)間

2.3 構(gòu)建狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

根據(jù)各年結(jié)果所在狀態(tài)區(qū)間，由狀態(tài)Ei經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)期轉(zhuǎn)移到Ej出現(xiàn)的次數(shù)除以Ei的次數(shù)，得到如下的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和二步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

2.4 計(jì)算預(yù)測(cè)值

由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及各年份所處的狀態(tài)，可以求出上海市鐵路客運(yùn)量的馬爾科夫預(yù)測(cè)值。以2008年為例，則可以看出2007年的相對(duì)誤差處于E2狀態(tài)，經(jīng)過(guò)一年的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換為E2和E3的概率分別為3/5和2/5，則認(rèn)為2008年的狀態(tài)最有可能處于E3狀態(tài)。運(yùn)用GM （1,1）模型求得的2008年的預(yù)測(cè)值為49.69，則利用灰色馬爾科夫進(jìn)行修正的預(yù)測(cè)值為50.60，運(yùn)用同樣的方法得到的其他年份的預(yù)測(cè)值如表4所示：

表4 灰色擬合值與馬爾科夫擬合值

從上述的預(yù)測(cè)結(jié)果可以得出：利用單獨(dú)的灰色模型求出的誤差是2.56%，利用灰色馬爾科夫模型求出的誤差是2.03%，對(duì)比兩種方法，降低了誤差范圍，說(shuō)明灰色馬爾科夫模型的預(yù)測(cè)結(jié)果更好，更加適用于對(duì)客運(yùn)量的預(yù)測(cè)。而且可以看出，灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的擬合度較高，波動(dòng)性一致，其參考價(jià)值高，利用灰色模型能看出哪些年份的預(yù)測(cè)值具有較大的變化趨勢(shì)，而從圖1中可以看出灰色模型是一條相對(duì)平滑的曲線。不能反映實(shí)際值的波動(dòng)。

圖1 灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)值與實(shí)際值和灰色值的對(duì)比曲線

2.5 由灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)2017～2020上海客運(yùn)量的預(yù)測(cè)值如表5所示：

表5 灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)值

從預(yù)測(cè)的結(jié)果來(lái)看，上海鐵路客運(yùn)量的增長(zhǎng)是必然趨勢(shì)，趨于一種不穩(wěn)定的螺旋式增長(zhǎng)。鐵路部門自發(fā)展以來(lái)，以其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)吸引越來(lái)越多的乘客。本文利用灰色馬爾科夫模型，充分考慮了鐵路客運(yùn)量的增長(zhǎng)趨勢(shì)和隨機(jī)變動(dòng)趨勢(shì)，并將兩個(gè)方面加以考慮，使預(yù)測(cè)效果更加具有可信性，通過(guò)合理利用可以對(duì)鐵路客運(yùn)決策產(chǎn)生積極影響。

3 結(jié)論

為提高客運(yùn)量準(zhǔn)確性，把握客運(yùn)量發(fā)展趨勢(shì)，從而更好地幫助鐵路行業(yè)和相關(guān)企業(yè)的決策提供科學(xué)依據(jù)。無(wú)論是在鐵路還是公路等方面，客運(yùn)量的預(yù)測(cè)都是非常重要的手段，在信息發(fā)展迅速的今天，客運(yùn)量的預(yù)測(cè)能夠?yàn)橄嚓P(guān)的部門提供合理地決策依據(jù)和建議。

（1）灰色馬爾科夫在上述各列表的相對(duì)誤差的絕對(duì)平均值都小于5%，預(yù)測(cè)結(jié)果精確度較高，且效果比灰色預(yù)測(cè)法更加穩(wěn)定。

（2）對(duì)于實(shí)際值序列模型改變明顯時(shí)，組合預(yù)測(cè)法的結(jié)果優(yōu)于單一預(yù)測(cè)法結(jié)果，從表4可以明顯看出，灰色馬爾科夫模型一方面吸收了灰色預(yù)測(cè)法的有效信息，另一方面也利用了馬爾科夫模型的優(yōu)勢(shì)，降低了數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。

（3）但是灰色模型作為一種理論的預(yù)測(cè)方法，其結(jié)果未考慮到客運(yùn)量變化的主要影響因素。實(shí)際情況遠(yuǎn)遠(yuǎn)比模型更加復(fù)雜，其結(jié)果往往起參考作用。通過(guò)進(jìn)一步結(jié)合馬爾科夫模型，提高精確度。