冒文文

【摘 要】基于教材和傳統(tǒng)的教學(xué)習(xí)慣，拓展教學(xué)可以幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)能力，能夠使學(xué)生更有效地理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律和解決數(shù)理問題背后的更多基本內(nèi)容。它需要從多個維度進(jìn)行拓展研究，這是有效延伸拓展的重要方面。

【關(guān)鍵詞】延伸拓展；教學(xué)思路；研究維度

高中數(shù)學(xué)教學(xué)必須結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)對象的具體情況，讓學(xué)生通過拓展延伸對某一數(shù)學(xué)問題進(jìn)行更深入細(xì)致的研究。因此，要想進(jìn)一步豐富學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗，只有通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識建構(gòu)和解決問題的能力才能達(dá)到這一目的。

一些研究人員指出，所謂的拓展延伸，就是通過學(xué)生本身的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知水平的問題解決或主題研究方法來擴(kuò)展原始的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在此過程中，不但要加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，更要深化教師對數(shù)學(xué)教學(xué)的理解過程。在實際的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，拓展延伸并沒有真正擺脫傳統(tǒng)的思維模式，尤其是漸進(jìn)式的思維觀念。也就是說，對拓展延伸材料的進(jìn)一步研究仍有空間。本文從多個維度對之展開了系統(tǒng)研究。

一、概念構(gòu)建，立足于內(nèi)涵外延，實現(xiàn)延伸拓展

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的基石。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)具有理論上的重要性與實踐上的次要性的矛盾。在新的基于知識的練習(xí)的想法下，數(shù)學(xué)概念教學(xué)往往成為了一個速成的過程。筆者認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念教學(xué)不僅不能被壓縮，反而要在原有的教學(xué)基礎(chǔ)上進(jìn)行必要的拓展延伸。而其方向不外乎是兩個角度的內(nèi)涵和外延。

現(xiàn)以“函數(shù)的奇偶性”教學(xué)為例：奇偶性是學(xué)生在義務(wù)教育階段學(xué)到的一個概念。教師應(yīng)該注意的第一件事是學(xué)生對函數(shù)奇偶性這一概念的理解。蘇教版高中數(shù)學(xué)教科書（必修1）中的對函數(shù)奇偶性的定義如下：通常，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為A，如果對于任何的x∈A，都有f（-x）=f（x），則稱y=f（x）是偶函數(shù)；如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），則稱y=f（x）為奇函數(shù)。從定義本身可以看出函數(shù)奇偶性的內(nèi)涵，關(guān)鍵是如果在某個域內(nèi)滿足自變量和應(yīng)變量之間的正負(fù)關(guān)系，則存在奇偶性。

學(xué)生在理解函數(shù)奇偶性的概念時會有什么樣的心理過程？這是作者的擔(dān)憂。這里的奇偶與有理數(shù)中的奇偶是一樣的嗎？有趣的是，將這個問題擺在一些高中數(shù)學(xué)教師面前時，所獲得的理解是不同的。在本內(nèi)容引入的時候，教材給出了這樣的描述：在我們的日常生活中，可以觀察到許多對稱現(xiàn)象：美麗的蝴蝶，盛開的花朵……

在給出函數(shù)奇偶性的定義之后，教科書強(qiáng)調(diào)：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，而奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。教師經(jīng)常忽略這種語境關(guān)系，因此無法有效地拓展函數(shù)奇偶性的概念。

相反，看到這種對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生對函數(shù)奇偶性等概念的理解既有內(nèi)涵也有拓展，可以提高學(xué)生對這種概念的理解。學(xué)生將會意識到，這里的奇偶并非是指能否被2整除，而是與對稱性相關(guān)的描述。

二、問題解決，立足于發(fā)散思維，實現(xiàn)延伸拓展

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解決問題是一項重要任務(wù)，在一定程度上與接受高考評價的核心任務(wù)有關(guān)。要知道，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題解決往往是趨同的，也就是說，學(xué)生的思維往往是指向最終的唯一答案。從學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的角度來看，基于日常教學(xué)中的發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的應(yīng)用能力，才應(yīng)是高中數(shù)學(xué)教師的根本任務(wù)，而且僅需要教師將傳統(tǒng)的以應(yīng)試教學(xué)為導(dǎo)向的教學(xué)理念進(jìn)行拓展和延伸。

但是，從拓展延伸的角度來看，這個問題實際上是一種不同的思維訓(xùn)練。它還允許學(xué)生更有效地整合現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識。本問題解決的思路是什么？通過學(xué)生的思考，可以根據(jù)圓心和半徑之和進(jìn)行梳理；有沒有其他的解題思路？這是思維發(fā)散的基本提問方式；兩個圓的方程可以轉(zhuǎn)換成方程組嗎？如果求解，其得到的解又有什么數(shù)學(xué)意義？如果超越這個話題，還可以向?qū)W生提問：如果將兩個圓的方程相減，你會得到什么（這是高中生可以解決的問題，但這不是教科書中的問題；至于通過添加兩個圓獲得的圓系方程，感興趣的同學(xué)不妨研究一番）？獲得的直線方程與兩個圓之間的關(guān)系又是什么？

這種延伸拓展可以將學(xué)生的視線擴(kuò)展到原始問題之外，并且使學(xué)生能夠識別最簡單的數(shù)學(xué)問題。當(dāng)然，有價值的延伸并不一定需要延伸，你可以用更理性的態(tài)度面對它，并逐漸將問題分解為相對簡單的問題，讓心態(tài)更加平靜。

三、學(xué)會反思，立足于思維規(guī)律，實現(xiàn)延伸拓展

學(xué)生的反思能力是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的一個重要方面。最初，它是學(xué)習(xí)過程的延伸。相對數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建而言，研究后的反思也是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中相對薄弱的環(huán)節(jié)。只有在習(xí)題教學(xué)有效延伸的過程中再加以拓展，那學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)才有可能得到真正的提升。在實踐中，作者試圖在學(xué)生學(xué)習(xí)后引導(dǎo)反思，從環(huán)節(jié)分類的角度出發(fā)，也從數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的維度、數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)化、數(shù)學(xué)問題的解決等方面進(jìn)行反思。從現(xiàn)實角度來看，指導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中反思學(xué)習(xí)是一個重要的選擇。

例如：在函數(shù)概念和基本初等函數(shù)中學(xué)到的分段函數(shù)，教科書中給出的數(shù)學(xué)問題源于現(xiàn)實生活中的出租車費用標(biāo)準(zhǔn)問題：某市出租汽車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：3公里（包括3公里）路程，按起步價7元，超過3公里以外的路程，收費為2.4元/公里。試寫出收費額關(guān)于路程的函數(shù)解析式。這一問題的解決有兩個過程：第一個是將生活事實抽象為數(shù)學(xué)表達(dá)式；第二個是分段函數(shù)的結(jié)果。有學(xué)生在解題過程中會寫出“y=7，（03）”之后，有些學(xué)生認(rèn)為兩者之間沒有本質(zhì)區(qū)別。因此，從教師的角度而言，教師必須引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)形式之間的關(guān)系。只有認(rèn)識到這一點，基于分段函數(shù)的延伸拓展教學(xué)，才有了純粹的數(shù)學(xué)意義。

這種延伸概念教學(xué)最大價值在于可以使學(xué)生完全理解數(shù)學(xué)概念，即不僅知道了函數(shù)的奇偶性是什么，還知道了為什么會用這樣的詞來描述這個特征。這正是數(shù)學(xué)概念中最重要的部分。正如有學(xué)生所說的那樣：當(dāng)函數(shù)圖像在某個域中僅呈現(xiàn)一種形式的變化時，它確實是單調(diào)的。應(yīng)該指出的是，在數(shù)學(xué)規(guī)律的研究中也存在必要的延伸拓展?？紤]到其與概念建構(gòu)的原理類似，這里不多贅述。

基于對教材和傳統(tǒng)教學(xué)的拓展延伸反思，有利于學(xué)生更有效地理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律和解決數(shù)理問題背后的更多基本內(nèi)容，這是有效延伸拓展的重要方面。因此，對拓展延伸后的反思，特別是從某一知識點的延伸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)該成為高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)意識。

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