鄭海濤 郝軍章

（北京航空航天大學經濟管理學院 北京 100191）

一、引言

近年來，隨著我國經濟實力的發(fā)展和人民群眾生活水平的逐步提高，我國老年人口占全國總人口數(shù)量的比例在逐年提升。根據(jù)我國國家統(tǒng)計局2018年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，2018年我國人口從年齡結構上來看，60周歲及以上人口為24949萬人，占總人口的比重為17.9% 。雖然中國的經濟一直處于穩(wěn)步增長的過程中，但是依然還未步入發(fā)達國家的行列，但是過早的步入老年化社會將會給國家和老百姓帶來巨大的壓力，形成中國未富先老、未備先老的人口結構新常態(tài)狀況。因此，國家政府及老百姓必須依靠商業(yè)養(yǎng)老保險來保障未來老年人的生活水平，減輕政府的財政負擔，也促進了我國保險行業(yè)的發(fā)展。而保險公司在設計和發(fā)型各類養(yǎng)老保險產品的過程中，也將面臨越來越巨大的長壽風險。因此，在長壽風險常態(tài)化背景下，保險公司可以考慮通過發(fā)行長壽債券的方式來利用資本市場進行長壽風險轉移，其設計和發(fā)行長壽債券不僅能夠有效的增加保險行業(yè)的產品供給能力，同時長壽債券還可以成為保險公司連接資本市場的一個橋梁，對促進多元化的保險產品發(fā)展，豐富資本市場的繁榮有著重要的現(xiàn)實意義。此外，由于長壽債券與其他類型的債券及權益類金融資產的風險相關性很低，其有利于長壽債券投資者分散組合投資風險，保證穩(wěn)健的投資收益。因此，保險公司設計和發(fā)行長壽債券可以將長壽風險通過資本市場有效的進行轉移，為保險公司管理和經營長壽風險提供了更多選擇和商業(yè)機會。

長壽債券與一般的金融衍生品和一般的債券有所不同，其是一種與死亡率掛鉤的死亡衍生債券，其定價的方法也相對更為復雜。針對長壽債券的定價問題，國內外許多學者也進行了多個方面比較深入的研究，當今長壽債券定價最主流應用是王轉換定價法，該方法是由Wang(2000)[1]首次提出了王轉換定價法，其將金融市場的風險考慮到保險市場中，建立了在不完全市場下的長壽債券定價方法。Blake和 Burrows(2001)[2]設計了一種票息的給付依賴于死亡率指數(shù)的長壽債券基本結構，而通過購買市場上的長壽債券保險公司就可以對長壽風險進行套期保值。Wang (2001)[3]進一步的將扭曲概率分布引入了長壽債券定價中，通過王轉換定價法設計了不完全市場中的長壽債券定價框架。Samuel Wills 和 Michael Sherris（2010）[4]設計出一種分層長壽債券，并將其運用到發(fā)達金融市場中來對長壽風險進行證券化以有效轉移長壽風險，最后設計了長壽債券的結構和定價模型。Chen和Cummins（2010）[5]考慮將用于巨災債券定價方法中的極值理論應用到長壽事件建模中，通過巨災債券定價中使用風險立方方法對長壽債券進行定價，設計了一種長壽債券定價模型，計算了長壽債券的風險溢價。Yang等人(2011)[6]分析了運用連續(xù)Lee-Carter死亡率模型對多個國家的長壽風險進行證券化。余偉強（2006）[7]首先通過考慮死亡率期權設計了一種生存?zhèn)岢隽送ㄟ^發(fā)行長壽債券等證券化方法管理長壽風險，并提議加快建立相應的二級交易市場以促進長壽風險證券化的發(fā)展。尚勤、秦學志等（2008）[8]針對中國現(xiàn)有的生命表中的基礎數(shù)據(jù)，運用常用的王轉換方法設計了一種長壽債券定價模型，并進行了仿真模擬。崔佳佳（2008）[9]通過使用等價效用準則方法對長壽債券進行定價研究，其認為長壽風險的證券化設計可以有效的對沖掉長壽風險，是一種管理長壽風險的有效手段。陳秉正和祝偉（2008）[10]設計了一些死亡率債券、死亡率期權及死亡率互換等與死亡率指數(shù)掛鉤的衍生產品，并系統(tǒng)梳理了長壽風險管理方面的研究，在此基礎上探討了我國如何對長壽風險進行管理，及對風險管理金融工具的設計和定價提供一些策略。艾蔚（2010）[11]研究了國外的長壽債券的設計和死亡率證券的設計模式，探索了如何通過資本市場有效的對沖和轉移長壽風險。謝世清（2011）[12]借鑒了國外長壽風險的管理模式，設計了四種長壽風險管理產品，包括長壽風險債券化產品、反向抵押貸款、附保證變額年金和長期護理保險，比較分析了這四種產品的特點和適用性，并為中國市場未來開發(fā)相關的長壽風險產品提供了一定的指導意義。艾蔚（2011）[13]分析了死亡率期貨、長壽債券、死亡率互換等多種與死亡率掛鉤的金融衍生產品的特點及適用范圍，通過在資本市場上交易這些金融衍生產品可以有效的對沖長壽風險，靈活地調整保險公司的風險和收益。侯立平（2011）[14]研究了在長壽風險加劇的影響下如何積極的管理長壽風險，并建議政府推動死亡率指標的構建來幫助長壽債券的設計和發(fā)行，以通過資本市場有效轉移長壽風險。謝世清（2014）[15]對國內外長壽風險的管理方法及衍生產品的研究進行了總結，并對比了長壽期權、債券與互換這類長壽衍生產品的結構及定價模型，為未來中國保險公司管理長壽風險提供了幫助。李梧銘，陳婉茜和尚勤（2015）[16]從國家、資本市場、人才和產品設計四個角度分析了中國建設長壽風險市場的必要性，表明中國實施長壽風險證券化是符合中國目前的國情，也是未來的發(fā)展趨勢。

在長壽債券設計方面，國內外大多數(shù)的研究基本上都集中在通過Lee-Carter動態(tài)死亡率模型及王轉換模型等方法進行理論上的定價，且未有文獻從微觀角度來分析發(fā)行長壽債券的保險公司和購買長壽債券的對沖基金之間的效用水平。而通過期望效用理論中的效用無差別定價方法可以從微觀角度分析長壽債券的購買方和發(fā)行方的期望效用，從而提供了另外一種長壽債券的定價思路，可以對其進行進一步深入的研究。因此，本文提出采用發(fā)行長壽債券的方法來化解養(yǎng)老保險行業(yè)面臨的長壽風險，并運用期望效用理論中的效用無差別定價方法，在綜合比較壽險公司發(fā)行長壽債券與不發(fā)行長壽債券的期望效用結果，來確定長壽債券的合理均衡價格，作為長壽債券的定價依據(jù)。

二、長壽債券的模型設計

這一節(jié)，我們將討論長壽債券模型設計的問題。首先，我們在一個離散時間的概率框架下討論，模型包含兩個重要的時間點0和T，即保險合同的開始期與保險合同的結束期。Ω = {ω1，…，ωx} 代表不同年齡段的人群購買一份保單可能發(fā)生長壽風險事件的集合，這里的長壽風險時間定義為被保險人在保單結束后存活了下來，即認為發(fā)生了長壽風險事件。長壽風險事件發(fā)生的概率為Tpx，這里的發(fā)生概率即為x歲人口存活到保單結束期的生存概率。E(·) 代表期望價值。S代表一旦長壽風險事件發(fā)生，即長壽債券發(fā)生違約后，對沖基金可以收回的一個本金回收比率。為了方便描述模型，首先介紹模型相關變量，詳見表1。

表1 模型變量含義描述

（一）保險公司不發(fā)行長壽債券時的效用

保險公司是否發(fā)行長壽債券其取決于保險公司合同期結束后的最終期望收益。設0時刻為交易開始時刻，T時刻為交易結束時刻。在0時刻，π(X) 是x歲的人購買保險公司的保險用于承擔長壽風險而支付的保單價值，此時保險公司將收取的保費連同保險公司的初始財富用于債券市場債券，即使用總財富W=π(X)+w去購買價值為W的零息債券，債券期為T，零息債券的年化收益率為r。在時期T時，保險公司將會受到面值為W(1+r)T的債券收益，并用于賠償被保險人的長壽風險損失L。此時，保險公司在T時刻的最終財富為WT=W(1+r)T-L，對應的保險公司在此時獲得的效用為：

（二）保險公司發(fā)行長壽債券時的效用

在這個部分，我們考慮保險公司在發(fā)行長壽債券情況下如何達到最終財富的期望效用最大化。這一部分與上一部分主要的不同在于此時保險公司可以通過發(fā)現(xiàn)長壽債券將一部分長壽風險轉移到對沖基金公司那里，類似于之前的分析，在0時刻，保險公司從被保險人那里收到保費π(X)，然后保險公司通過將不同年齡組的長壽債券打包銷售給對沖基金公司，獲得補充的收入C。然后保險公司將保費收入與銷售長壽債券獲得的補充收入加總起來的總財富去債券市場購買總金額為B的零息債券，債券期為T，零息債券的年化收益率為r。在T時刻，保險公司將從債券市場收獲金額為B(1+r)T的總財富，其中的一部分用于賠償被保險人的長壽風險損失L。此外，保險公司還需要支付對沖基金長壽債券到期時候的本息和Y，長壽債券的面值為C，票面利息為r'=SHIBOR+E，E為超額收益率。若一旦發(fā)生長壽風險事件，即長壽債券發(fā)生違約后，對沖基金只可以按照一個總收益回收比率S收回本息SC(1+r')T。此時，保險公司在T時刻的期末最終財富其滿足以下的概率分布函數(shù)：

對應的保險公司在此時獲得的效用為：

此時，保險公司可以通過最大化期望效用函數(shù)來確定最優(yōu)的長壽債券價格C，即

通過求解上述方程即可得到長壽債券的最優(yōu)定價結果C。此時，對沖基金獲得的總的期望效用為：

三、均衡價基格于效用函數(shù)的長壽債券

在這一章，我們將引入具體的效用函數(shù)，分析在效用函數(shù)確定的情況下保險公司是如何通過效用方程來確定最優(yōu)的長壽債券均衡價格。

一般情況下，我們假設認為保險公司是風險厭惡，本文采用Gerber和Pafum(1998)[17]、Pantelous和Passalldou (2017)[18]在論文中所使用的模型假設，選擇最為簡單的二次效用函數(shù)作為保險公司進行決策的效用函數(shù)，而且二次效用函數(shù)通常被用來逼近更為復雜的效用函數(shù)。在一般的均值方差分析框架下，二次效用函數(shù)也具有一定的優(yōu)越性，但是在社會實踐中，由于二次效用函數(shù)是絕對風險厭惡增加的，二次效用函數(shù)的運用并不是那么廣泛。在本文下面的例子中，在不失一般性的情況下，我們假設二次效用方程為如下表達形式：

保險公司在T時刻的期末最終財富的概率分布可以變形為：

對上述期望效用函數(shù)進行求導，以得到長壽債券的最優(yōu)定價結果C，即：

因此，在無套利的市場假設前提下，當保險公司使用二次效用函數(shù)作為決策方程時，可以通過計算發(fā)行長壽債券時，當期望效用函數(shù)達到最大化時的長壽債券價格C作為保險公司對長壽債券的最后定價。

四、長壽債券定價的數(shù)值實驗

在這一節(jié)中，我們將運用中國人身保險業(yè)經驗生命表（2010-2013）死亡率數(shù)據(jù)對上述所設計的長壽債券期望效用無差異定價方法進行一個數(shù)值實驗，分析和評價該方法對長壽債券定價結果的合理性和可行性。

首先，本文先對保險公司銷售的壽險產品進行設計?；诤喕治龅慕嵌瓤紤]，本文選擇最為普通和常見的期末付定期生命年金作為保險公司為養(yǎng)老者對抗長壽風險而銷售的保險產品。保險合同為一期期限為10年，保險人購買保險合同的購買年齡范圍為36歲至80歲，這里設此年金保險產品每期期末給付金額為1，則n期期末付定期生命年金的精算現(xiàn)值隨機變量為X，而凈躉繳保費π(X)是精算現(xiàn)值在死亡分布上的期望。假設保險合同的開始期為2022年年初，則一期合同的結束時間為2031年年末。此外，在此考慮保險公司的保險產品價格為公平定價定出的凈保費，因此保費定價過程中的折現(xiàn)率等于保險公司在債券市場購買十年期的零息債券所獲得的預期收益率r。這里假設十年期的零息債券的年化收益率為8%，即保險公司在債券市場的保費投資預期收益率r=8%。而保險公司發(fā)行長壽債券時，假設承諾給對沖基金的長壽債券利息率r’=SHIBOR+E=10%。當長壽債券發(fā)生違約風險時，假設對沖基金可以獲得總收益的回收比率S=80%，二次效用函數(shù)的參數(shù)設為a=0.5。

此時，可以求出不同年齡結構下保險公司發(fā)售的期末付定期生命年金的凈躉繳保費價格π(X)、保險公司在不發(fā)行長壽債券且未發(fā)生長壽風險賠付時和發(fā)生長壽風險賠付時在債券市場投資零息債券一期后的總投資財富（含本金）分別為W(1+r)和WT=W(1+r)-L、保險公司在不發(fā)行長壽債券時且未發(fā)生長壽風險賠付時和發(fā)生長壽風險賠付時得到的最終收益效用分別為u[W(1+r)]和u(WT)、保險公司在不發(fā)行長壽債券時和發(fā)行長壽債券時一期后投資收益的總期望效用分別為、保險公司在發(fā)行長壽債券且發(fā)生長壽風險賠付時和未發(fā)生長壽風險賠付時在投資一期后給付完對沖基金收益后的最終財富分別為、保險公司在發(fā)行長壽債券時且發(fā)生長壽風險賠付時和未發(fā)生長壽風險賠付時得到的最終收益效用分別為、二次效用函數(shù)下令保險公司期望效用最大化的長壽債券價格為C。具體結果見圖1～3：

圖1給出了保險公司根據(jù)精算定價公式計算出了36～80歲1期期末付定期生命年金的凈躉繳保費價格。從圖中可以看出，隨著年齡的增大，定期生命年金的躉繳保費價格在下降，這是因為隨著被保險人年齡的增大，其死亡的概率在不斷增加，生存的概率不斷下降，則保險公司面臨的長壽風險在不斷降低，即保險公司賠付長壽風險的概率也隨之降低，因此應當給予年齡越大的被保險人提高越低的保費價格，即保證了精算定價的公平與合理性。

圖2給出了保險公司根據(jù)期望效用最大化理論確定出的36～80歲年齡段不同的長壽債券價格。從圖2的趨勢可以看出，隨著被保險人年齡的增長，其對應發(fā)行的長壽債券的價格是在下跌的。這是因為當被保險人年齡很低時，其死亡概率很低，存活概率就越高，此時發(fā)生長壽風險的概率越高，即債券違約的概率很高，進而其收益率就很低，因此長壽債券的價格會很高。隨著被保險人年齡的增大，其死亡概率也會越來越高，存活概率變低，即發(fā)生長壽風險的可能性變小，此時長壽債券違約的風險也就變小，對應的長壽債券的收益率就很高，因此長壽債券的價格相應越便宜。通過效用最大化條件下確定出來的長壽債券價格是合理的。

圖1 保險公司期末付定期生命年金凈躉繳保費定價

圖2 效用最大化條件下的長壽債券的定價結果

通過圖3的結果可以看出，不發(fā)行長壽債券條件下保險公司1期后的投資收益及效用要明顯小于保險公司發(fā)行長壽債券時獲得的收益與效用。這是因為保險公司通過發(fā)行長壽債券從資本市場獲得更多的資金并在債券市場進行投資而獲得超額收益，從而獲得更高的效用。通過二次效用函數(shù)計算出來的保險公司發(fā)行長壽債券與不發(fā)行長壽債券的總效用結果可以看出，隨著被保險人年齡越大，保險公司的總的期望效用呈現(xiàn)一個上升的趨勢，這是因為被保險人年齡越小，其死亡概率越小，存活概率越大，即長壽風險越大，此時保險公司可以獲得的期望效用就越小，反之，當被保險人年齡越大，死亡率就越大，其發(fā)生長壽風險的概率就越低，對于支付的定期生命年金的金額就會降低，相應的獲得的期望效用會增加。而在發(fā)行長壽債券時，在36～40歲年齡段出現(xiàn)保險公司的總期望效用下降的情況，這可能是由于此時這個年齡段人口死亡率出現(xiàn)了一個改善情況，導致了中年人的死亡概率出現(xiàn)了下降，進而導致了長壽風險出現(xiàn)了一個局部年齡段的增加，從而降低了保險公司在這個年齡段人群中獲得的期望效用。而且相比較不發(fā)行長壽債券的情況下，保險公司發(fā)行了長壽債券，獲得了更多的資金杠桿去進行債券投資，也就更加劇了這種局部長壽風險帶來的效用損失，其36～40歲之間的效用跌幅更為明顯。在此長壽債券發(fā)行價格的情況下，保險公司發(fā)行長壽債券得到的總的期望效用始終大于保險公司不發(fā)行長壽債券得到的總的期望效用。因此，從期望效用最大化理論分析出發(fā)，在不同年齡段下保險公司應當按照期望效用最大化的定價結果為長壽債券進行定價，在此定價結果下，保險公司發(fā)行長壽債券可以獲得更高的期望效用，是合理的。

圖3 保險公司是否發(fā)現(xiàn)長壽債券的總期望效用圖

五、結 論

長壽風險是人壽保險和養(yǎng)老金產品中的關鍵風險因素，尤其是對于存續(xù)期較長的保險年金產品，比如養(yǎng)老金產品發(fā)行人面臨的長壽風險暴露，具體表現(xiàn)為養(yǎng)老金領取人群的死亡率改善比發(fā)行人進行養(yǎng)老金定價時預期的速度更快，進而造成更多的風險賠付。應對不能通過增加規(guī)模對長壽風險進行風險分散的問題，考慮引入其他外部工具來解決，如將長壽風險轉移到保險以外的金融市場。

本文提出采用發(fā)行長壽債券的方法來化解保險養(yǎng)老行業(yè)面臨的長壽風險，研究了保險公司與對沖基金交易長壽風險的期望效用問題，并從保險公司發(fā)行長壽債券的角度出發(fā)，基于傳統(tǒng)的無差異效用定價方法對保險公司發(fā)行的長壽債券進行定價。在模型中，我們假設不設計動態(tài)交易與預算約束，保險公司的效用函數(shù)選擇二次效用函數(shù)，最終通過求解保險公司的效用最大化條件得出保險公司發(fā)行長壽債券的最優(yōu)價格。最后，利用數(shù)值實驗闡明了模型和結果的有效性。研究結果表明，保險公司發(fā)行長壽債券，不僅可以有效的讓保險機構的長壽風險得到轉移釋放，還可以提高保險公司在資本市場的收益和期望效用。對于對沖基金公司而言，長壽債券可以作為他們多資產投資組合中的風險資產中的重要組成部分，當長壽債券價格處于一個合理水平時，購買長壽債券可以為對沖基金公司帶來更高的投資收益與更好的期望效用。