段曉菲 劉志文 徐友根

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院 北京 100081)

1 引言

自適應(yīng)波束形成多點(diǎn)源干擾抑制技術(shù)在復(fù)雜電磁環(huán)境雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)中有著重要的應(yīng)用前景。傳統(tǒng)抑制多點(diǎn)源干擾的方法大都基于標(biāo)量陣列，僅研究信號(hào)的空域和時(shí)域信息，對(duì)信號(hào)極化信息的利用非常有限。同時(shí)受到陣列孔徑的限制，標(biāo)量陣列難以分辨空間接近的信號(hào)，已不能滿足自適應(yīng)波束形成的研究。由矢量傳感器構(gòu)成的極化敏感陣列可同時(shí)獲取并利用陣列空間、時(shí)域信息和入射信號(hào)的極化信息，實(shí)現(xiàn)空-時(shí)-極化域聯(lián)合濾波，提高陣列信號(hào)處理性能，具有標(biāo)量陣列難以企及的優(yōu)勢(shì)。當(dāng)目標(biāo)和干擾空-時(shí)差異較小時(shí)，利用信號(hào)極化狀態(tài)的差異進(jìn)行濾波可獲得性能的提升。

傳統(tǒng)針對(duì)矢量傳感器接收數(shù)據(jù)的處理方法是將所有傳感器的復(fù)矢量輸出串聯(lián)起來(lái)，形成一個(gè)長(zhǎng)矢量輸出來(lái)進(jìn)行處理，將陣列局部各分量間的內(nèi)在聯(lián)系(極化信息)和分布在空間不同位置的傳感器輸出間的相互聯(lián)系(空域信息)無(wú)差別地作為一個(gè)復(fù)數(shù)長(zhǎng)矢量的元素進(jìn)行組織和處理，模糊了極化信息和空域信息的差異性。近年來(lái)，基于四元數(shù)的電磁矢量傳感器陣列信號(hào)處理方法受到廣泛關(guān)注，四元數(shù)的實(shí)部和3個(gè)虛部系數(shù)對(duì)應(yīng)矢量傳感器各分量的復(fù)輸出，能保持極化敏感陣列陣元各分量間固有正交特性，此時(shí)信號(hào)的極化域信息可以隱含在多虛部間特定的運(yùn)算關(guān)系中，空域信息體現(xiàn)在空域?qū)蚴噶扛髟亻g的幅相關(guān)系中，這種建模方式更為緊湊并有助于局部矢量特性的利用。在自適應(yīng)波束形成領(lǐng)域，文獻(xiàn)[1]針對(duì)交叉偶極子陣提出基于四元數(shù)域的Capon波束形成器。文獻(xiàn)[2]研究了四元數(shù)域最小方差無(wú)失真響應(yīng)波束形成。文獻(xiàn)[3]研究了四元數(shù)域具有雙路結(jié)構(gòu)的干擾對(duì)消方法。文獻(xiàn)[4]將最壞情況性能最優(yōu)化自適應(yīng)波束形成方法推廣到四元數(shù)域。文獻(xiàn)[5]針對(duì)相干干擾提出四元數(shù)域空間平滑方法。隨后，文獻(xiàn)[6]研究了四元數(shù)域?qū)捑€性自適應(yīng)波束形成，結(jié)果表明利用四元數(shù)陣列輸出的2階統(tǒng)計(jì)特性可以提高濾波性能。文獻(xiàn)[7]通過(guò)構(gòu)造協(xié)方差矩陣和偽協(xié)方差矩陣，提出基于四元數(shù)域半寬線性自適應(yīng)波束形成。文獻(xiàn)[8]通過(guò)利用四元數(shù)域的對(duì)合信息提出了四元數(shù)域?qū)捑€性自適應(yīng)波束形成方法。

同時(shí)，隨著信號(hào)環(huán)境日趨復(fù)雜，信號(hào)頻率分布范圍不斷拓寬，寬帶信號(hào)具有攜帶目標(biāo)信息量大、混響背景相關(guān)性弱等特點(diǎn)，已成為陣列信號(hào)處理研究的重要方向和熱點(diǎn)問(wèn)題。傳統(tǒng)寬帶自適應(yīng)波束形成方法主要可分為時(shí)域、頻域和空域3種。在時(shí)域處理中，通常采用抽頭延遲線(Tapped Delay Lines，TDL)結(jié)構(gòu)或者有限脈沖響應(yīng)濾波器(Finite Impulse Response， FIR)組結(jié)構(gòu)，其中Frost[9]提出的線性約束最小方差(Linear Constraint Minimum Variance， LCMV)波束形成器奠定了時(shí)域處理的基礎(chǔ)。頻域方法是基于離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transformation， DFT)的分塊處理方式，對(duì)陣元輸出采樣信號(hào)進(jìn)行DFT，將其分解為若干個(gè)子帶，然后分別針對(duì)每個(gè)子帶進(jìn)行窄帶波束形成，最后對(duì)各子帶輸出進(jìn)行逆DFT得到波束形成輸出信號(hào)。空域方法是在扇形濾波器的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)。與窄帶波束形成器類似，寬帶波束形成器對(duì)各種誤差也非常敏感。文獻(xiàn)[10]在LCMV波束形成器的基礎(chǔ)上施加導(dǎo)數(shù)約束以展寬主瓣，避免信號(hào)相消現(xiàn)象的發(fā)生。文獻(xiàn)[11]提出了基于特征矢量約束的低秩寬帶LCMV波束形成，能有效提高寬帶波束形成魯棒性。

在實(shí)際應(yīng)用中，非圓信號(hào)廣泛存在，其同相分量與共軛分量之間存在很強(qiáng)的相關(guān)性，利用信號(hào)的非圓特性可以提高陣列信號(hào)處理系統(tǒng)的性能，實(shí)現(xiàn)孔徑擴(kuò)展[12-15]。鑒于此，本文提出一種四元數(shù)域?qū)拵敯糇赃m應(yīng)波束形成方法(Quaternion Wideband Signal plus Interference Subspace Projection，QWSISP)，在四元數(shù)框架下采用包絡(luò)對(duì)齊技術(shù)處理寬帶信號(hào)，利用四元數(shù)陣列輸出矢量的3種對(duì)合矢量信息，聯(lián)合信號(hào)非圓信息和2階統(tǒng)計(jì)特性，建立四元數(shù)域?qū)显鰪V信號(hào)模型，在此基礎(chǔ)上有效提取期望信號(hào)，抑制多個(gè)不相關(guān)干擾和噪聲，實(shí)現(xiàn)四元數(shù)域?qū)拵敯糇赃m應(yīng)波束形成。

2 四元數(shù)定義及性質(zhì)[16-19]

四元數(shù)q∈H(R，C 和H 分別表示實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集和四元數(shù)集)定義為

其中，qr=Re｛q｝∈R，qi=Im(i)｛q｝∈R，qj=Im(j)｛q｝∈R 和qk=Im(k)｛q｝∈R 分別為四元數(shù)q的實(shí)部和3個(gè)虛部系數(shù)，i,j,k為虛數(shù)單位且滿足關(guān)系如式(2)和式(3)

除式(1)外，四元數(shù)也可以表征為Cayley-Dickson形式

其中，q1∈C 且q2∈C，即一個(gè)復(fù)數(shù)可以看作一個(gè)i- 部和k-部為零的四元數(shù)。

類似地，四元數(shù)矩陣∈HM×N定義為

其中，｛λn｝Nn=1∈R 為特征值，｛n｝Nn=1∈HN×1為相互正交的特征矢量。

3 四元數(shù)域?qū)拵?duì)合增廣信號(hào)模型

假設(shè)波束形成陣列由L個(gè)沿y軸正方向排列的交叉偶極子構(gòu)成，令位于坐標(biāo)軸原點(diǎn)處的陣元為參考陣元，陣元間距為d。設(shè)有M個(gè)互不相關(guān)的寬帶信號(hào)分別以方位角θm、俯仰角φm、極化輔助角γm和極化相位差ηm從遠(yuǎn)場(chǎng)入射至該陣列，其中，s0(t+τl,θ0)為期望信號(hào)，其他為干擾信號(hào)， τl,θm為 第m個(gè)信號(hào)波到達(dá)第l個(gè)陣元相對(duì)于陣列參考陣元的時(shí)間延遲(其值為(ldsinθmsinφm)/c與 θm，φm有關(guān)，為了書寫方便省去下標(biāo)中φm)。信號(hào)波長(zhǎng)為λ，載波頻率為f0。噪聲為空時(shí)圓白噪聲。

第m個(gè)信號(hào)的空域?qū)蚴噶烤仃嚳杀硎緸?/p>

其中，? =2f0。

第m個(gè)信號(hào)的極化域?qū)蚴噶靠杀硎緸?/p>

將陣列劃分為兩個(gè)子陣，其中，子陣1包括所有指向x軸的偶極子，子陣2包括所有指向y軸的偶極子，得到這兩個(gè)子陣第m個(gè)信號(hào)的導(dǎo)向矢量分別為

兩個(gè)子陣的復(fù)數(shù)域輸出分別為

其中，1,0和2,0為兩個(gè)子陣對(duì)應(yīng)于期望信號(hào)s0(t,τθ0)的陣列流形矩陣，1,m和2,m為兩個(gè)子陣對(duì)應(yīng)于第m個(gè)干擾信號(hào)sm(t,τθm)的流形矩陣，1(t)和2(t)為兩個(gè)子陣的噪聲矢量。

分別對(duì)兩個(gè)子陣輸出進(jìn)行延時(shí)操作使得期望信號(hào)包絡(luò)對(duì)齊并且記時(shí)延τl,θ0后的信號(hào)為1(t,θ0)和2(t,θ0)

其中，L為L(zhǎng)×1維全1矢量。

令1,0=1,0L，2,0=2,0L，則式(21)和式(22)可化簡(jiǎn)為

采用Cayley-Dickson表示形式，將陣列各分量輸出與四元數(shù)4個(gè)部分一一對(duì)應(yīng)，得整個(gè)陣列的四元數(shù)域輸出

根據(jù)四元數(shù)性質(zhì)其中，a=ar+jaj∈H，ar∈R，aj∈R。

利用四元數(shù)3種對(duì)合形式，結(jié)合式(26)的性質(zhì)，可得到 (t,θ0) 的i-部對(duì)合矢量(i)(t,θ0)，j-部對(duì)合矢量和k-部對(duì)合矢量(k)(t,θ0)如下

為了更加全面地挖掘與利用四元數(shù)輸出矢量的2階統(tǒng)計(jì)特性，同時(shí)增大陣列輸出孔徑擴(kuò)展能力，對(duì)四元數(shù)信號(hào)進(jìn)行寬線性處理，構(gòu)造四元數(shù)域?qū)拵г鰪V輸出矢量

假設(shè)期望信號(hào)和干擾均為完全非圓信號(hào)，即

其中，βm∈[0,2)為sm(t)的非圓相位。

將式(31)帶入式(30)中化簡(jiǎn)，可得

令四元數(shù)域?qū)拵?duì)合增廣波束形成器權(quán)矢量為∈H4L×1，對(duì)陣列輸出進(jìn)行加權(quán)求和，得到波束形成的輸出

4 四元數(shù)域?qū)拵敯糇赃m應(yīng)波束形成

四元數(shù)域?qū)拵?duì)合增廣波束形成器輸出總功率為

利用Capon準(zhǔn)則設(shè)計(jì)波束形成器如式(36)所示

通過(guò)拉格朗日乘子法，得到最優(yōu)權(quán)矢量

對(duì)于大特征值個(gè)數(shù)Ms的確定，使用“功率準(zhǔn)則”。設(shè)Mx表示滿足式(40)條件的的特征值數(shù)量

5 仿真實(shí)驗(yàn)

通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證算法有效性。采用一個(gè)六元交叉偶極子構(gòu)成的等距線陣，陣源間距為信號(hào)最高頻對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的1/2。所有入射信號(hào)的中心頻率均為2.4 GHz，帶寬均為80 MHz，采樣頻率為200 MHz。噪聲為零均值空間白高斯隨機(jī)過(guò)程。

實(shí)驗(yàn)1 通過(guò)研究波束形成器輸出信號(hào)波形與真實(shí)期望信號(hào)波形來(lái)驗(yàn)證所提算法的有效性。假設(shè)有一個(gè)寬帶BPSK(嚴(yán)格非圓)期望信號(hào)和兩個(gè)寬帶BPSK干擾入射至該陣列，期望信號(hào)的方位角、俯仰角、極化輔助角、極化相位差和非圓相位分別為(30°，30°，15°，50°，10°)，兩個(gè)干擾的對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為(0°，60°，45°，-10°，-30°)和(-45°，-10°，5°， 0°，55°)。輸入信噪比為10 dB，輸入干噪比也為10 dB，快拍數(shù)為640。如圖1所示。從圖中可見(jiàn)，該波束形成器能從干擾和噪聲中提取出期望信號(hào)。

圖1 六元陣列輸出波形比較Fig.1 Output waveform of six-element array

實(shí)驗(yàn)2 在實(shí)驗(yàn)1的基礎(chǔ)上，把六元交叉偶極子陣減少為兩元交叉偶極子陣，并增加了1個(gè)干擾，參數(shù)為(60°，15°，0°，-60°，60°)，其他條件不變，通過(guò)仿真可以證明兩元交叉偶極子陣能有效抑制3個(gè)干擾信號(hào)，增強(qiáng)期望信號(hào)，具有孔徑擴(kuò)展能力，如圖2所示。

圖2 兩元陣列輸出波形比較Fig.2 Output waveform of two-element array

實(shí)驗(yàn)3 本實(shí)驗(yàn)考察該波束形成器輸出波形與期望信號(hào)復(fù)包絡(luò)波形歸一化后兩者的偏差程度，用均方根誤差RMSE來(lái)衡量。定義為

其中，Tr為獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)總次數(shù)，K為快拍數(shù)，yi(tk) 為第tt次實(shí)驗(yàn)中第k個(gè)快拍歸一化后的輸出波形，s(tk)為真實(shí)期望信號(hào)波形。

進(jìn)行比較的方法包括四元數(shù)域Capon(QCapon)方法[8]、導(dǎo)數(shù)約束(DCMV)方法[9]和低秩寬帶約束(WLCMV)方法[11]。仿真所采用的信號(hào)與實(shí)驗(yàn)1相同，圖中給出的結(jié)果均為500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的平均結(jié)果。圖3為波形估計(jì)偏差隨輸入信噪比的變化曲線，其中，輸入干噪比為10 dB，快拍數(shù)為640。圖4為波形估計(jì)偏差隨快拍數(shù)的變化曲線，其中，輸入信噪比為15 dB，輸入干噪比為10 dB。從圖中所示結(jié)果可以看出，QWSISP波束形成器的性能要優(yōu)于其他方法。

圖3 波形估計(jì)偏差隨輸入信噪比變化曲線Fig.3 RMSE curves versus SNR

圖4 波形估計(jì)偏差隨快拍數(shù)變化曲線Fig.4 RMSE curves versus snapshot number

實(shí)驗(yàn)4 本實(shí)驗(yàn)考察輸出波形與期望信號(hào)復(fù)包絡(luò)波形歸一化后存在指向誤差時(shí)的均方根誤差RMSE。指向誤差為2°，其他條件與實(shí)驗(yàn)3相同。圖5為存在指向誤差情況下波形估計(jì)偏差隨輸入信噪比的變化曲線(一方面，寬帶信號(hào)由于采用主特征投影波束形成方法，其性能受到主特征值個(gè)數(shù)也即有效秩影響，不同的有效秩選擇對(duì)結(jié)果有所不同。寬帶信號(hào)采用功率準(zhǔn)則選擇有效秩，其性能不一定最優(yōu)，但如果通過(guò)嘗試的方法選擇更有效的有效秩參數(shù)，就可以在信噪比高時(shí)使得輸出波形與期望信號(hào)波形接近，如圖6所示。另一方面，當(dāng)信噪比越高時(shí)，波束形成受模型誤差的影響一般越大，所以隨著信噪比的提高，波束形成的性能未必相應(yīng)提高)。圖7為存在指向誤差情況下波形估計(jì)偏差隨快拍數(shù)的變化曲線。從圖中所示結(jié)果可以看出QWSISP方法具有較好魯棒性。

圖5 有誤差情況下波形估計(jì)偏差隨輸入信噪比變化曲線Fig.5 RMSE curves versus SNR under error conditions

圖6 有誤差情況下波形估計(jì)偏差隨輸入信噪比變化曲線Fig.6 RMSE curves versus SNR under error conditions

圖7 有誤差情況下波形估計(jì)偏差隨快拍數(shù)變化曲線Fig.7 RMSE curves versus snapshot number under error conditions

6 結(jié)論

本文提出一種基于四元數(shù)域?qū)拵敯糇赃m應(yīng)波束形成方法，即QWSISP方法。本方法充分挖掘和利用四元數(shù)域陣列輸出矢量的對(duì)合信息，聯(lián)立入射信號(hào)非圓信息和四元數(shù)2階統(tǒng)計(jì)特性，有效地提取出期望信號(hào)，抑制干擾和噪聲，增大陣列虛擬孔徑，實(shí)現(xiàn)了寬帶條件下的魯棒波束形成。本文所提方法可應(yīng)用于多點(diǎn)源干擾背景下的雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)。