石記紅

[摘 要] 核心素養(yǎng)背景下，談“經(jīng)驗(yàn)”有其必要性. 一方面，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開經(jīng)驗(yàn)；另一方面，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的之一是為了積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 研究表明，這樣的積累有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地. 基于核心素養(yǎng)培訓(xùn)需要的經(jīng)驗(yàn)積累，首先是指基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累. 數(shù)學(xué)抽象的過程是一個(gè)很好的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得以積累的過程.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；經(jīng)驗(yàn)；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

無論是學(xué)習(xí)還是工作，都離不開經(jīng)驗(yàn). 對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，經(jīng)驗(yàn)也有著非常重要的作用. 在建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論當(dāng)中，學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn)被認(rèn)為是生成學(xué)習(xí)的三個(gè)基本條件之一，即人們認(rèn)為，學(xué)習(xí)是在先前經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過自主建構(gòu)活動(dòng)進(jìn)行的. 即使在傳統(tǒng)的認(rèn)知主義學(xué)習(xí)理論當(dāng)中，經(jīng)驗(yàn)也是不可或缺的，比如說奧蘇伯爾對(duì)經(jīng)驗(yàn)就有著高度的認(rèn)同，他認(rèn)為在教學(xué)之前，最關(guān)鍵的就是要弄清楚學(xué)生已經(jīng)有了哪些經(jīng)驗(yàn). 在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常在一節(jié)課開始的時(shí)候，會(huì)去幫學(xué)生復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，從經(jīng)驗(yàn)的視角來看，這其實(shí)也是在為了幫助學(xué)生重現(xiàn)經(jīng)驗(yàn).

時(shí)至今日，包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)的學(xué)科教學(xué)已經(jīng)進(jìn)入了核心素養(yǎng)時(shí)代. 那么在核心素養(yǎng)背景下，經(jīng)驗(yàn)依然會(huì)發(fā)揮作用嗎？如果答案是“會(huì)”，那么它又該怎樣發(fā)揮作用呢？它又能發(fā)揮什么樣的作用呢？基于對(duì)這些問題的思考，本文嘗試從核心素養(yǎng)的角度，談?wù)劷?jīng)驗(yàn)在高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠發(fā)揮的作用.

經(jīng)驗(yàn)的積累有利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地

在好多人的視野里，經(jīng)驗(yàn)好像是一個(gè)陳舊的詞，而核心素養(yǎng)則是一個(gè)高大上的詞，兩者之間似乎沒有什么必然的聯(lián)系. 甚至認(rèn)為在核心素養(yǎng)的背景下談經(jīng)驗(yàn)，似乎有些不合時(shí)宜. 那事實(shí)是不是這樣的呢？答案顯然并非如此. 從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來看，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)經(jīng)驗(yàn)有著極大的兼容性：一方面，數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)離不開經(jīng)驗(yàn)，知識(shí)基礎(chǔ)與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的兩個(gè)必要條件；另一方面，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，可以啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考或進(jìn)行有價(jià)值的交流討論，讓學(xué)生在思考與交流中掌握知識(shí)技能的同時(shí)，理解知識(shí)的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)的思想方法，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展[1]. 也就是說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的之一就是為了積累經(jīng)驗(yàn).

由此可見，經(jīng)驗(yàn)在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中不可或缺，即使是面向核心素養(yǎng)培育這個(gè)目標(biāo)，這個(gè)關(guān)系依然成立. 而進(jìn)一步講，從核心素養(yǎng)的落地以及目前相關(guān)的研究情況來看，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中累積經(jīng)驗(yàn)，是有助于核心素養(yǎng)的落地的.

以高中數(shù)學(xué)中“用幾何圖形解向量問題”這一內(nèi)容的教學(xué)為例來進(jìn)行分析. 有經(jīng)驗(yàn)的高中數(shù)學(xué)教師都知道，向量問題是學(xué)生比較頭疼的問題，一是因?yàn)橄蛄恐R(shí)比較抽象，二是因?yàn)橄蛄恐R(shí)不符合學(xué)生的習(xí)慣，其關(guān)鍵就是因?yàn)橄蛄渴怯兄较虻牧?，其運(yùn)算規(guī)則與學(xué)生習(xí)慣的運(yùn)算規(guī)則也不相同. 當(dāng)然，從數(shù)學(xué)的角度來看，學(xué)生面對(duì)這些挑戰(zhàn)是正常的，因?yàn)橄蛄恐R(shí)本來就是用代數(shù)方法去解決幾個(gè)問題，在數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用當(dāng)中，向量知識(shí)應(yīng)當(dāng)說是比較高階的知識(shí).

但是從學(xué)生的角度來看，學(xué)生學(xué)習(xí)向量知識(shí)，遇到困難也是客觀事實(shí). 而化解這個(gè)困難，唯一有效的途徑可能就是幫學(xué)生去積累經(jīng)驗(yàn). 一個(gè)有效的方法是，從跨學(xué)科的角度，幫學(xué)生積累向量實(shí)例與一些最基本的運(yùn)算，是可行的. 如借助于物理學(xué)科中矢量知識(shí)如力、速度、加速度等. 尤其是力這個(gè)概念，絕大多數(shù)學(xué)生是比較熟悉的，舉出這些例子讓學(xué)生形成豐富的表象，然后將其中表示力的符號(hào)，轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)中表示向量的符號(hào)以及表示方法，然后基于變式的思路，去給學(xué)生提供一些簡(jiǎn)單的向量問題. 比如，若a=1，b=2，c=a+b且c⊥a，求a與b的夾角.

在解決這個(gè)問題的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在解決這個(gè)問題的時(shí)候，有一種潛意識(shí)，就是將題目中的a向量與b向量，理解為自己熟悉的力的大小，于是c向量就變成了兩個(gè)力的合成，再結(jié)合題目中a向量和c向量垂直的關(guān)系，就可以比較順利地完成問題的求解. 從某種程度上來講，此問題解決的成功，就得益于學(xué)生大腦中有力的向量的經(jīng)驗(yàn).

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)首先是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在上面的分析中提到，經(jīng)驗(yàn)既是學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)又是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo). 當(dāng)數(shù)學(xué)教學(xué)中傳統(tǒng)的“雙基”變成“四基”的時(shí)候，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)就彰顯出其價(jià)值. 我們認(rèn)為，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必由之路，通過數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得與積累可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2]. 教育的本質(zhì)是改造人的思想，培養(yǎng)人學(xué)習(xí)和改造客觀世界的能力，這種能力就是基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[3].

如果說上一點(diǎn)的分析當(dāng)中，闡述的是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的作用的話，那數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)反過來可以豐富學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，同樣具有研究?jī)r(jià)值. 尤其是從核心素養(yǎng)培育的角度來看，我們認(rèn)為，不論是宏觀角度的必備品格與關(guān)鍵能力，還是數(shù)學(xué)學(xué)科角度的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素，都離不開基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

在“用幾何圖形解向量問題”這一主題的教學(xué)中，有一個(gè)重要的目的，就是讓學(xué)生能夠基于數(shù)形結(jié)合的思想，成功根據(jù)題目中的條件構(gòu)建恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形. 很顯然，學(xué)生原來是不具有這方面的經(jīng)驗(yàn)的，因此本節(jié)課的教學(xué)的目的之一，就是幫學(xué)生形成這樣的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，而這個(gè)系統(tǒng)的打造途徑就在于豐富學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

例如，這樣一個(gè)問題：假如在同一平面內(nèi)，有兩個(gè)非零不共線的向量a和b，你能否用幾何圖形來描述這樣的運(yùn)算關(guān)系：c=a+b，c=a-b，a+b+c=0，（a-b）⊥b，a+b=a-b，（a+b）⊥（a-b）.

這前兩個(gè)問題實(shí)際上是前面知識(shí)的回顧與鞏固，后面四個(gè)問題則具有一定的挑戰(zhàn)性. 通常情況下這四個(gè)問題的解決，往往需要教師的講授或者說是點(diǎn)撥. 在這里，筆者之所以不回避講授這種教學(xué)方法，一個(gè)重要的原因就是此問題的解決的目的，是幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 因?yàn)檫@是一個(gè)初學(xué)內(nèi)容，學(xué)生大腦中已有的經(jīng)驗(yàn)不夠使用，如果這個(gè)時(shí)候用所謂的探究教學(xué)，那學(xué)生的探究過程肯定是低效的. 反之，將教學(xué)的目的確定在活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累上，那學(xué)生就可以在教師的引導(dǎo)之下，通過數(shù)形結(jié)合，去形成基本的構(gòu)圖能力. 這個(gè)構(gòu)圖能力形成的過程，就是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得以豐富的過程.

而從核心素養(yǎng)培育的角度來看，此問題解決過程中的核心，也就是構(gòu)圖能力的培養(yǎng)，學(xué)生必然會(huì)形成這樣的思維模式：首先是在大腦中構(gòu)建向量，重點(diǎn)是關(guān)注向量的大小以及方向，也就是向量的模以及夾角；其次是關(guān)注向量的可平移性，這是構(gòu)圖的關(guān)鍵，也是向量運(yùn)算的關(guān)鍵，學(xué)生習(xí)慣了、適應(yīng)了向量的平移，利用向量解決問題的最大障礙就掃除了；最后是構(gòu)造幾何圖形，實(shí)際上幾個(gè)圖形是向量平移的結(jié)果，熟練的向量平移自然會(huì)形成正確的幾何圖形，于是問題解決也就成為可能. 因此這個(gè)過程中，向量的平移即是經(jīng)驗(yàn)積累的重心，也是能力培養(yǎng)的重心. 能力培養(yǎng)自然是指向核心素養(yǎng)的，因此，這個(gè)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形成的過程，就是核心素養(yǎng)得以培育的過程.

當(dāng)然，如果將基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與其他的“三基”結(jié)合在一起，那數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育就可以得到更多的支撐. 實(shí)際上在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程當(dāng)中，“四基”通常也是不可能截然分開的，這里將基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)單獨(dú)進(jìn)行描述，只是為了強(qiáng)調(diào)其重要性而已.

在數(shù)學(xué)抽象的過程中幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)

當(dāng)前對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的界定，通常都是從數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)分析等六個(gè)要素方面進(jìn)行的. 其中，數(shù)學(xué)抽象是基礎(chǔ). 關(guān)于數(shù)學(xué)抽象，絕大多數(shù)教師并不陌生，對(duì)抽象的理解通常是這樣的：抽象作為一個(gè)概念，在日常生活和教育教學(xué)中被人們按自己的理解經(jīng)常使用著，從許多事物中，舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，抽出共同的本質(zhì)屬性，叫抽象，是形成概念的必要手段[4].

在高中數(shù)學(xué)中，抽象不僅僅是數(shù)學(xué)概念形成的手段，通常也是邏輯推理伴生的過程，更是數(shù)學(xué)模型得以建立的手段. 數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象往往是形象的事例，而抽象的目的則是數(shù)學(xué)知識(shí)，因此可以認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象其實(shí)就是生活實(shí)例與數(shù)學(xué)知識(shí)得以銜接的重要橋梁，在數(shù)學(xué)抽象的過程當(dāng)中，學(xué)生依然可以積累豐富的經(jīng)驗(yàn).

譬如向量問題的教學(xué)中，能否尋找到形象的事例來支撐學(xué)生對(duì)向量的理解呢？答案是可以的：利用等效替代的思路，尋找可以替代不同方向兩個(gè)力的一個(gè)力，是一個(gè)形象事例；從位移的角度分析物體的折線運(yùn)動(dòng)，判斷物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果，這也是一個(gè)形象事例……這些事例都是可能發(fā)生在現(xiàn)實(shí)生活中的，因而容易為學(xué)生理解并接受. 將這些事例抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，然后讓學(xué)生用向量知識(shí)去求解，既可以讓學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程，同時(shí)也可以幫學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而也就可以促進(jìn)核心素養(yǎng)的落地.

參考文獻(xiàn)：

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[3] 胡安林. 高中數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)量化研究[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（11）：48-51.

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