朱志輝，胡明勛，馮典瑾，郭向榮，劉澍

移動車輛荷載作用下中低速磁浮大跨度連續(xù)梁橋動力響應(yīng)分析

朱志輝1, 2，胡明勛1，馮典瑾3，郭向榮1, 2，劉澍1, 2

(1. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；2. 中南大學(xué) 高速鐵路建造技術(shù)國家工程實驗室，湖南 長沙 410075；3. 湖南磁浮交通發(fā)展股份有限公司，湖南 長沙 410075)

為研究中低速磁浮大跨度連續(xù)梁橋在移動列車荷載作用下的動力響應(yīng)，采用移動荷載模擬磁懸浮車輛作用，采用振型分解精細積分法建立橋梁動力方程并求解；通過與現(xiàn)場試驗結(jié)果對比，驗證本文模型的準確性和方法的正確性，對比分析不同行車速度、不同橋梁阻尼比等工況下的橋梁動力響應(yīng)。研究結(jié)果表明：橋梁動力系數(shù)隨列車速度增加而增大，但整體增加幅度不大；在列車以設(shè)計運行速度100?km/h行駛時，橋梁阻尼比的變化對橋梁響應(yīng)影響較??；不同工況下橋梁動力系數(shù)均低于我國《中低速磁浮交通設(shè)計規(guī)范》中的限值。

中低速磁?。淮罂邕B續(xù)梁橋；動力響應(yīng)；振型分解精細積分法；現(xiàn)場試驗

中低速磁浮交通作為一種新興的交通方式，因爬坡能力大、轉(zhuǎn)彎半徑小、噪聲低、污染小、環(huán)境兼容性好等優(yōu)點已越來越受到人們的關(guān)注。隨著我國長沙中低速磁浮交通運營線的順利開通，國內(nèi)諸多城市亦開始規(guī)劃中低速磁浮交通的建設(shè)，中低速磁浮交通具有良好的發(fā)展前景[1]。為了在城市軌道交通中提高其競爭力，磁浮線路大量采用較為輕盈的高架橋梁。磁浮車輛通過橋梁區(qū)段時，橋梁對車輛的懸浮穩(wěn)定性及動力響應(yīng)有顯著的影響，國內(nèi)外學(xué)者針對磁懸浮橋梁振動響應(yīng)問題進行了大量的研究。滕延鋒等[2]將磁浮車輛簡化為均布二系懸掛模型，建立了磁浮車輛—軌道梁耦合振動分析模型，并對磁浮列車駛過三跨連續(xù)梁時軌道梁的振動響應(yīng)進行了數(shù)值仿真分析；時瑾等[3]建立磁浮列車橋梁耦合動力學(xué)模型，提出求解機電強耦合微分方程的積分方法，并通過現(xiàn)場測試結(jié)果驗證所提出的方法的準確性。耿杰等[4-5]建立了中低速磁懸浮車橋耦合動力學(xué)模型，通過現(xiàn)場試驗驗證自編程序的正確性，并結(jié)合現(xiàn)場試驗對中低速磁懸浮簡支梁橋的動力系數(shù)進行了研究；楊平等[6]建立車?軌道豎向耦合振動分析模型，并利用該模型分析車速、車重及橋梁阻尼比等對20?m簡支梁動力系數(shù)的影響，同時結(jié)合現(xiàn)場試驗測試結(jié)果與規(guī)范中動力系數(shù)公式計算結(jié)果進行對比。鄧建良等[7]將磁懸浮列車荷載簡化為移動均布荷載，使用模態(tài)疊加法求解得到了簡支軌道梁的響應(yīng)解析解，并與響應(yīng)數(shù)值解和列車-橋梁耦合振動解做了對比，指出移動均布荷載可以反映軌道梁振動的特征和振動規(guī)律；SONG等[8]將磁懸浮列車簡化為均布移動荷載，并通過對精細有限元模型的數(shù)值計算驗證了簡化方法的正確性和可行性。由于磁懸浮車輛相對于橋梁質(zhì)量較小，車橋耦合作用不顯著，因此可以采用移動荷載模擬磁懸浮列車對橋梁的動力作用。為提高移動荷載過橋時動力分析的精度和效率，張亞輝等[9]在荷載作用位置隨著時間發(fā)生變化的情形下應(yīng)用PIM方法，并與常規(guī)計算方法進行比較，指出該方法計算精度及效率較通常的數(shù)值積分方法均得到了顯著提高；桂水榮等[10]根據(jù)模態(tài)綜合疊加技術(shù)的優(yōu)勢提出了基于PIM的車橋耦合振動模型新算法，并以移動常量力作用于簡支梁為例，對比新型算法與Newmark- β法等計算結(jié)果，指出基于PIM的新型算法求解車橋耦合動力問題時不受積分步長限制，具有快速收斂的優(yōu)勢。本文在以往研究的基礎(chǔ)上，采用移動荷載模擬磁浮車輛荷載作用，建立了精細三跨連續(xù)梁橋有限元模型，并基于得到的MDPIM(振型分解精細積分法)建立動力方程，這樣既克服了直接應(yīng)用精細積分法求解大型結(jié)構(gòu)矩陣尺度太大的困難，又保持了精細積分法高精度的優(yōu)點[11]。以長沙中低速磁浮瀏陽河大橋為例(85 m+110 m+85 m)，自編MATLAB計算程序分析了磁浮列車開行速度、橋梁阻尼比對磁浮橋梁豎向振動響應(yīng)的影響規(guī)律。

1 車輛、橋梁動力學(xué)模型

1.1 車輛荷載模型

由于磁懸浮車輛相對于橋梁質(zhì)量較小，車橋耦合作用不顯著，所以磁懸浮列車采用一組移動荷載模擬。3車編組的磁浮列車每節(jié)車重量相同，將每個轉(zhuǎn)向架與橋梁系統(tǒng)之間電磁力的作用簡化為集中力，對于一節(jié)車而言，每2個集中力的間距為0，2節(jié)車的首尾集中荷載間距為1，最終得到磁浮列車的荷載簡化模型如圖1所示。

圖1 磁浮列車荷載簡化模型

1.2 橋梁動力模型

根據(jù)橋梁不同構(gòu)件的特性，可以采用不同單元建立橋梁的有限元模型。建立橋梁模型后，Ansys可以導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。橋梁系統(tǒng)動力方程可寫為：

根據(jù)正則坐標變換可以得到：

則等式(1)可以改寫為：

在求解橋梁動力方程時，集中荷載作用到橋梁有限元模型兩相鄰節(jié)點和+1節(jié)點之間的單元上時，可以通過Hermite三次插值將集中荷載分配到單元兩端節(jié)點上。

2 精細積分法求解流程

精細時程分析法(Precise Integration Method, PIM)是利用矩陣指數(shù)函數(shù)可以在計算機字長范圍內(nèi)精確計算的特點得到很精密的解答[15]。與傳統(tǒng)的逐步積分法即中心差分法、Newmark-法和Wilson-法相比，精細積分法可以降低對步長的要求，在積分步長較大時得到較為精確的結(jié)果，從而能大大提高數(shù)值積分的計算效率。其中，積分步長影響計算的時間，積分間隔影響計算的精度，所以在計算時一般采用較大的積分步長和較小的積分間隔。該方法采用了2類的算法，相當(dāng)于在每一時間步長內(nèi)進一步劃分成2個精細步長，大大提高了計算結(jié)果的精度；此外該方法降低了對于積分步長的要求，在積分步長較大時可以得到較為精確的結(jié)果，從而提高了數(shù)值積分的計算效率[15]{翟婉明, 2001 #150}。

從文獻[16]中可以得到有關(guān)PIM計算方法的求解過程，該方法計算流程如圖2所示。

圖2 精細積分法計算流程圖

對于下式所示的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程：

精細積分法較宜于處理一階方程，故采用Hamilton體系方法進行方程變換[15]，將上式化為一階方程：

1) 齊次方程的求解

齊次方程的通解可以形式地寫成

令時間步長?=，則

2) 指數(shù)矩陣的精細計算

利用加法原理，指數(shù)矩陣的精細計算方法可表示為：

為計算矩陣，式(11)可表示為：

3) 非齊次項的處理

其中：

從而有：

3 瀏陽河大橋現(xiàn)場試驗

3.1 橋梁概況

長沙中低速磁懸浮工程從長沙南站到長沙黃花國際機場線路全長約18.643 km，設(shè)計行車速度100 km/h。全線初期設(shè)車站3座，高架區(qū)間總長度16.795 km，占86.3%。其中瀏陽河段大跨連續(xù)梁橋是一座三跨變截面預(yù)應(yīng)力混凝土雙線(直線)連續(xù)梁橋，主梁長度為279.7 m。該連續(xù)梁橋采用梁上承軌方案，承軌梁高為0.9 m，頂板和腹板厚度為22 cm；下層箱梁橫截面為單箱單室直腹板，箱梁頂面寬度8.1 m，底面寬度5.7 m，頂板厚度為40 cm，腹板厚度分別為40 cm和80 cm。箱梁在中支點截面中心線處梁高為8.00 m，跨中截面中心線處梁高為5.00 m。邊支座中心線至梁端0.70 m，邊支座橫橋向中心距4.50 m，中支座橫橋向中心距5.00 m。三跨連續(xù)梁橋示意圖及斷面圖如圖3所示，其中1-1為中支點斷面，2-2為中跨跨中斷面。

3.2 試驗方案

3.2.1 地基微波雷達概況

近年來地基微波雷達開始應(yīng)用于橋梁的撓度測量等領(lǐng)域之中，相對于其他傳統(tǒng)測量方式而言具有非接觸式遠程測量、精度高、環(huán)境適應(yīng)性強以及支持多點同時測量等優(yōu)點[17]。

單位：cm

中南大學(xué)高速鐵路國家工程實驗室和國防科技大學(xué)基于高分辨雷達遙感成像與雷達干涉原理聯(lián)合開發(fā)了地基微波雷達，該設(shè)備采用電磁波遠程對橋梁、高層建筑、鐵塔等結(jié)構(gòu)的微小變形進行高速和實時的監(jiān)測，廣泛應(yīng)用于靜撓度、動撓度及斜拉橋索力等測量領(lǐng)域，是一種具有較高精確度的新型干涉雷達測試系統(tǒng)。不同于傳統(tǒng)的雷達干涉儀采用步進頻率(SF-CW)波形，該地基微波雷達采用線性調(diào)頻連續(xù)波(LFMCW)[18]。LFMCW雷達具有低截獲概率(LPI)特性，測試精度受目標物體運動速度影響較小，波束抗干擾能力強等特點；同時易于擴頻和實現(xiàn)高分辨率，還具有無距離盲區(qū)和大時間帶寬的特性，能夠進行多目標精準識別[19]。

相位干涉測量技術(shù)是一項用途十分廣泛的測量技術(shù)。應(yīng)用該技術(shù)，雷達主機可通過對相同檢測區(qū)域的重復(fù)觀測，根據(jù)回波信號相位差?反演生成目標形變圖。設(shè)為雷達發(fā)射波波長，則目標位移量為：

式中：為電磁波波速；為地基微波雷達的工作頻率。在動態(tài)變形測試時，位移測試精度優(yōu)于0.1?mm，還可通過進一步調(diào)節(jié)工作頻段，獲得更短的發(fā)射波波長，以提高測試精度。

圖4 位移投影技術(shù)豎直投影方向

3.2.2 試驗測點布置

瀏陽河大橋現(xiàn)場試驗使用地基微波雷達系統(tǒng)測量列車過橋時，橋梁主要測點的豎向位移響應(yīng)。測點布置在連續(xù)梁每一跨的跨中位置，如圖5所示。為提高測點處雷達散射質(zhì)量進而提高測量精度，在橋梁測點處布置了雷達標靶。

單位：m

4 橋梁有限元模型及驗證

4.1 橋梁有限元模型

圖6為瀏陽河大橋有限元模型。其中主梁、承軌梁及橋墩均采用BEAM188單元，主橋和承軌梁劃分單元長度為0.4?m，彈性模量均為5×1010N/m。承軌梁與主梁之間使用剛臂連接；支座采用COMBIN14彈簧單元模擬。該橋主梁、承軌梁及橋墩密度均為2 650?kg/m3，橋上二期恒載為55?kN/m，在進行動力分析時把二恒等效為橋梁均布質(zhì)量施加到主橋梁單元之中。

單位：m

4.2 模態(tài)驗證

為了驗證建立的橋梁有限元模型的正確性，以及自編MATLAB計算程序的可靠性，對比瀏陽河大橋自振特性的理論值和實測值。表1給出了有限元模型前4階振型和頻率(試驗實測值只提供了前兩階頻率)，圖7所示為有限元模型前4階振型圖。由表1可知，瀏陽河大橋有限元模型經(jīng)過模態(tài)求解得到的前2階頻率與試驗實測結(jié)果接近。

表1 橋梁頻率理論值和試驗值

4.3 靜載作用

靜力試驗按照2列車雙線布置的方式，每列磁懸浮列車采用3車編組，每節(jié)車滿載重量為33 t。列車荷載簡化為圖1所示的荷載形式，其中0為2.8?m，1為4.4?m，集中荷載為64.68?kN，靜載試驗時，列車荷載分別沿各跨的跨中截面對稱分布，如圖8所示。

(a) 1階振型；(b) 2階振型；(c) 3階振型；(d) 4階振型

(a) 縱橋向靜力加載圖；(b) 橫橋向靜力加載圖

工況1，工況2和工況3分別為列車荷載沿第1跨，第2跨和第3跨的跨中截面對稱分布，各跨的跨中截面位于圖5中測點a，b和c位置處，通過現(xiàn)場實測得到各測點位置的撓度值。對比3種工況下各個測點的撓度值，結(jié)果如表2所示。(“—”表示現(xiàn)場試驗實測結(jié)果中未提供相關(guān)結(jié)果，正值表示橋梁位移向下，負值表示橋梁位移向上)。

由表2可知，靜力作用加載時3種工況下測點的現(xiàn)場試驗實測撓度值與使用自編程序計算得到的測點撓度值較為接近，其誤差均小于5%。

表2 跨中撓度試驗值與理論值

圖9 試驗實測值與理論值對比圖

4.4 動載作用

動力加載試驗為一列磁浮列車以60?km/h的速度通過三跨連續(xù)梁橋，采用圖1所示的移動荷載模擬列車軸重，每節(jié)車載重為33 t。橋梁阻尼比取值為0.02，計算積分步長為0.024?s，計算時間為20?s。針對中跨跨中測點b，采用振型分解精細積分法，根據(jù)高速鐵路歐洲規(guī)范中橋梁加速度限值對應(yīng)的頻率[20]，取前100階振型進行求解得到理論結(jié)果，將試驗實測結(jié)果與理論結(jié)果進行對比，如圖9所示。在動力作用加載工況下通過現(xiàn)場試驗實測得到的中間跨跨中測點的位移時程曲線與使用自編程序計算得到的位移時程曲線吻合很好。

綜上所述，瀏陽河大橋有限元模型經(jīng)過模態(tài)驗證、靜載試驗、動載試驗得到的結(jié)果均與試驗實測值較為吻合，表明了瀏陽河大橋有限元模型的準確性以及自編MATLAB計算程序的正確性。

5 大跨度連續(xù)梁橋動力分析

當(dāng)列車通過橋梁時，在動力荷載的作用下橋梁結(jié)構(gòu)的豎向動力響應(yīng)大于列車荷載靜止在橋上所引起的靜力響應(yīng)，在假定車輛滿載條件下(每節(jié)車輛滿載重量為33 t)，本節(jié)分別研究車速及橋梁阻尼比對橋梁豎向動力響應(yīng)的影響規(guī)律。

5.1 車速的影響

磁浮車輛速度變化范圍為20~120?km/h，變化間隔為20?km/h。動力分析時間積分步長為0.024?s，阻尼比為0.02。圖10和圖11所示分別為不同車速下橋梁中間跨的跨中測點的位移和加速度時程 曲線。

圖10 不同速度下中跨跨中位移時程曲線

從圖10~11中可以看出，不同速度工況下，三跨連續(xù)梁橋的位移時程曲線吻合較好，且跨中撓度峰值和加速度時程變化均不顯著，表明在運營速度范圍內(nèi)不會引起橋梁響應(yīng)的劇烈變化。

圖11 不同速度下中跨跨中加速度時程曲線

在設(shè)定車速變化范圍內(nèi)，三跨連續(xù)梁中跨跨中的動力系數(shù)隨速度變化的點線圖如圖12所示。中跨跨中動力系數(shù)大致隨速度的提高而增加，當(dāng)車速為120?km/h時，最大值僅為1.010 3。

圖12 不同速度工況下中跨跨中動力系數(shù)

5.2 阻尼比的影響

為研究橋梁阻尼對沖擊效應(yīng)的影響，在設(shè)計時速100?km/h條件下，對比阻尼比介于0.02~0.05時，阻尼比對橋梁中跨跨中的動力系數(shù)的影響規(guī)律。阻尼比分別為0.02，0.03，0.04和0.05時，瀏陽河大橋中跨跨中的動力系數(shù)分別為1.002 5，1.004 2，1.005 2和1.005 9，如圖13所示。從圖中可以看出，動力系數(shù)變化非常小，阻尼比的變化對橋梁動力系數(shù)影響較小。

圖13 不同阻尼比工況下中跨跨中動力系數(shù)

6 結(jié)論

1) 當(dāng)車輛以20~120?km/h的速度通過三跨連續(xù)梁橋時，橋梁跨中位移響應(yīng)沒有發(fā)生顯著變化，橋梁動力系數(shù)隨列車運行速度的提高而有所增加，但增幅不大，表明磁浮列車在正常運行速度范圍內(nèi)，速度變化不會引起橋梁響應(yīng)的劇烈變化。

2) 車輛以設(shè)計運營速度100 km/h駛過三跨連續(xù)梁橋時，橋梁阻尼比的變化對連續(xù)梁橋動力響應(yīng)的影響較小。

3) 當(dāng)車輛以20~120?km/h的速度過橋時，以及橋梁阻尼比在0.02~0.05之間變化時，動力系數(shù)均小于我國《中低速磁浮交通設(shè)計規(guī)范》中規(guī)定的動力系數(shù)最小限值1.15。

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Dynamic response analysis of low and medium speed maglev long-span continuous beam bridge traversed by moving train load

ZHU Zhihui1, 2, HU Mingxun1, FENG Dianjin3, GUO Xiangrong1, 2, LIU Shu1, 2

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China; 2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Central South University, Changsha 410075, China; 3. Hunan Maglev Transportation Development Co., Ltd, Changsha 410075, China)

In order to study the dynamic responses of the low and medium speed maglev long-span continuous beam bridge under the action of the moving train load, the action of maglev train was simulated by the moving load. The dynamic equation of bridge was established and was solved by MDPIM (Mode Decomposition Precision Time Integration Method), through comparison with field test, the accuracy of the finite element model and correctness of method were verified. At last, the dynamic response of bridge under different driving speeds and different damping ratios of the bridge were compared and analyzed. The results show that the dynamic coefficient increases as the train speed increase on the whole, but the increase is not modest. When the train is traveling at the design speed of 100?km/h, the change of the damping ratio of the bridge has little impact on the bridge response. And under different conditions the dynamic coefficient values are lower than the limit value in Code for Design of Low and Medium Speed Maglev Transit.

low and medium speed maglev; long-span continuous beam bridge; dynamic response; mode decomposition precision time integration method; field test

U237；U44

A

1672 ? 7029(2019)07? 1695 ? 09

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.07.013

2018?10?24

國家自然科學(xué)基金資助項目(51678576)；湖南省科技重大專項項目(2015GK1001)

朱志輝(1979?)，男，河南潢川人，教授，博士，從事車?線?橋耦合動力學(xué)研究；E?mail：zzhh0703@163.com

(編輯 涂鵬)