劉會(huì)玲 王小克 牛海波 趙麗華 胡齡之 雷玉明

(西安交通大學(xué)城市學(xué)院，陜西 西安 710018)

1 提出問(wèn)題

在振動(dòng)學(xué)中，相互垂直的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成時(shí)，如果兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率相同，則可形成穩(wěn)定的橢圓曲線，極端條件為圓和直線；而當(dāng)兩相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率不同時(shí)，合成運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，其運(yùn)動(dòng)軌跡一般不閉合，但當(dāng)兩分振動(dòng)頻率成簡(jiǎn)單的整數(shù)比時(shí)，其合成運(yùn)動(dòng)的軌跡則為封閉曲線，因由法國(guó)物理學(xué)家李薩如發(fā)現(xiàn)而得名，故稱為李薩如圖形(Lissajous figure)。而相互垂直的兩任意振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形，則稱為廣義李薩如圖形。

在學(xué)習(xí)物理學(xué)的波動(dòng)理論和大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的振動(dòng)合成時(shí)，都接觸過(guò)李薩如圖形，關(guān)于李薩如圖形的幾何特征(大小、結(jié)構(gòu)、對(duì)稱性、歪曲方向和歪曲程度等)，以及李薩如圖形的合成軌跡受多個(gè)因素(兩個(gè)分振動(dòng)的頻率比、初相位、相位差等)的影響規(guī)律，書中也有很好的歸納和總結(jié)，然而，這些結(jié)論比較抽象，不易理解和掌握；雖然課堂上和實(shí)驗(yàn)室中也有很多演示李薩如圖形的方法，比如物理課堂上用激光來(lái)演示李薩如圖形，實(shí)驗(yàn)室中用示波器來(lái)顯示，但是一般都需要比較多的儀器來(lái)配合完成，而且演示的效果及種類受儀器的限制，很難滿足實(shí)際的需求。

如果能夠用軟件繪制出多種情況下的李薩如圖形，就可以直觀體現(xiàn)出李薩如圖形的幾何特征，以及上述因素對(duì)軌跡合成的影響，從而便于學(xué)生比較分析，進(jìn)行深入理解和認(rèn)識(shí)，為教學(xué)和測(cè)量提供有效的手段。

本文主要介紹利用MatLab編程繪制廣義李薩如圖形，主要繪制不同參數(shù)下的兩相互垂直的斜鋸齒振動(dòng)與余弦振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形，鋸齒振動(dòng)也是一種簡(jiǎn)單的周期性振動(dòng)，兩相互垂直的鋸齒振動(dòng)與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形，也可以用兩相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形的方法討論。此類合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形比較復(fù)雜，而MatLab編程繪制這類圖形快速、靈活且準(zhǔn)確度高，從而體現(xiàn)出其在繪圖方面的強(qiáng)大功能。

2 用Matlab編程繪制 兩相互垂直斜鋸齒振動(dòng)與簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成運(yùn)動(dòng)軌跡

2.1 鋸齒函數(shù)的定義

相位φ的鋸齒函數(shù)S(φ) 定義如下：

圖1 S(φ) 函數(shù)曲線(a) α=π; (b) 0<α<π; (c) π<α<2π; (d) α=0

(1)

在式(1)給定的鋸齒函數(shù)中，α為常數(shù)。圖1是S(φ) 的函數(shù)曲線，其中橫坐標(biāo)代表相位φ，縱坐標(biāo)代表函數(shù)S(φ)(RS(φ)、OS(φ) 和IS(φ))，這3類函數(shù)定義見下面幾段文字。

習(xí)慣上，把α等于π的鋸齒函數(shù)，稱為正鋸齒函數(shù)，記作RS(φ)，對(duì)應(yīng)的曲線叫做三角波，見圖1(a)；

把α等于零的鋸齒函數(shù)，稱為理想鋸齒函數(shù)，記作IS(φ)，對(duì)應(yīng)的曲線見圖1(d)；

把α不等于零和π的鋸齒函數(shù)，統(tǒng)稱為斜鋸齒函數(shù)，記作OS(φ)，對(duì)應(yīng)的曲線如圖1(b)和1(c)。

它們所描述的振動(dòng)，分別稱為正鋸齒振動(dòng)、理想鋸齒振動(dòng)和斜鋸齒振動(dòng)。

2.2 兩相互垂直斜鋸齒振動(dòng)與余弦振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)

設(shè)x分振動(dòng)為斜鋸齒振動(dòng)，y分振動(dòng)為余弦振動(dòng)，合成運(yùn)動(dòng)的方程為

(2)

2.3 繪制上述合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形的程序設(shè)計(jì)

Matlab中的M文件的語(yǔ)法與C語(yǔ)言類似，是一種程序化的編程語(yǔ)言，同時(shí)也是一種解釋性的編程語(yǔ)言，即逐行解釋運(yùn)行程序，程序更容易調(diào)試。它只是一個(gè)簡(jiǎn)單的ASCII碼文本文件，語(yǔ)法比一般的高級(jí)語(yǔ)言都要簡(jiǎn)單，與數(shù)學(xué)語(yǔ)言比較接近，更容易掌握和理解。

以下是用MatLab編程繪制的不同頻率比(為有理數(shù))、不同相位差的兩相互垂直斜鋸齒振動(dòng)與余弦振動(dòng)合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形程序的完整代碼：

clc;clear;

fx=1;

f0=0;

ffx=0:0.01:(2*pi);

y1=zeros(size(ffx));

N=length(ffx);

for k=1:N

x=floor((ffx(k)-f0)/(fx*pi))/2;

if(x==floor(x))

y1(k)=2*(2*x+f0/(fx*pi))+1-2*ffx(k)/(fx*pi);

else

y1(k)=-1+2*(ffx(k)-(2*x)*pi*fx)/(fx*pi)-2*f0/(fx*pi);

end

end

fy=1;

fy0=0;

ffy=0:0.01:(2*pi);

y2=zeros(size(ffy));

N=length(ffy);

for k=1:N

x=floor((ffy(k)-fy0)/(fy*pi))/2;

if (x==floor(x))

y2(k)=2*(2*x+fy0/(fy*pi))+1-2*ffy(k)/(fy*pi);

else

y2(k)=-1+2*(ffy(k)-(2*x)*pi*fy)/(fy*pi)-2*fy0/(fy*pi);

end

end

y3=cos(ffy+fy0);

plot(y3,y1,'k');

2.4 上述合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形結(jié)果

下面是不同頻率比、不同相位差的兩相互垂直斜鋸齒振動(dòng)與余弦振動(dòng)合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形的舉例圖像，見圖2，以便學(xué)生對(duì)比研究。

3 應(yīng)用上述Matlab程序繪制并分析兩相互垂直振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形的分振動(dòng)頻率比規(guī)律

3.1 兩相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形的分振動(dòng)頻率比規(guī)律

在李薩如圖形中，當(dāng)兩相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率比為整數(shù)比時(shí)，若設(shè)Y方向振動(dòng)的頻率為fY，X方向振動(dòng)的頻率為fX，設(shè)縱直線與合成運(yùn)動(dòng)軌跡的切點(diǎn)數(shù)為nY，橫直線與合成運(yùn)動(dòng)軌跡的切點(diǎn)數(shù)為nx，則Y方向振動(dòng)與X方向振動(dòng)的頻率比規(guī)律為：fY：fX=nx：nY，或者說(shuō)兩相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期比為整數(shù)比時(shí)，則XY方向振動(dòng)的周期比等于圖形中橫縱切點(diǎn)數(shù)目比。

當(dāng)兩相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率比一定時(shí)，李薩如圖形隨相位Φ變化周期性地變化，若Φ取一個(gè)周期2π內(nèi)的一系列適當(dāng)值，作出一組李薩如圖，稱為系列圖。

系列圖可以形象地表示出分振動(dòng)頻率比與橫縱切點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，及不同頻率比時(shí)的李薩如圖形隨Φ變化的規(guī)律，同時(shí)還可根據(jù)系列圖推想出該頻率比的所有李薩如圖形的性狀。圖3是幾種不同頻率比的兩相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成運(yùn)動(dòng)軌跡系列圖。

圖2 兩相互垂直的斜鋸齒振動(dòng)與余弦振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形舉例圖

圖3 幾種不同頻率比的兩相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成運(yùn)動(dòng)軌跡系列圖

圖4 幾種不同頻率比的兩相互垂直的正鋸齒振動(dòng)與余弦振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡系列圖

從系列圖還可以看出，李薩如圖形性狀與Φ值和頻率比有關(guān)，與頻率比對(duì)應(yīng)的兩個(gè)分振動(dòng)fY、fX的大小沒有直接關(guān)系。

3.2 兩相互垂直的正鋸齒振動(dòng)與余弦振動(dòng)合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形、兩相互垂直正鋸齒振動(dòng)合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形的分振動(dòng)頻率比規(guī)律

圖4是幾種不同頻率比的 兩相互垂直的正鋸齒振動(dòng)與余弦振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡系列圖。圖5是幾種不同頻率比的 兩相互垂直正鋸齒振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡系列圖。

從圖3、圖4和圖5可以看出，合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形具有相似性，所以當(dāng)兩相互垂直的鋸齒振動(dòng)的頻率比為整數(shù)比時(shí)，或者當(dāng)兩相互垂直的鋸齒振動(dòng)與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率比為整數(shù)比時(shí)，其分振動(dòng)的頻率比仍遵循兩相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形的頻率比規(guī)律。

3.3 兩相互垂直鋸齒、兩相互垂直鋸齒與簡(jiǎn)諧振動(dòng)及兩相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形的相似性

正鋸齒函數(shù)曲線與余弦函數(shù)曲線除去連接兩個(gè)時(shí)間相鄰的極值點(diǎn)的函數(shù)曲線為直線段之外，正鋸齒函數(shù)曲線與余弦函數(shù)曲線有許多共同之處。因此，兩相互垂直的正鋸齒振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形，或相互垂直的正鋸齒振動(dòng)與余弦振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形，與兩相互垂直的余弦振動(dòng)合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形具有一定的相似性。

圖5 幾種不同頻率比的兩相互垂直的正鋸齒振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡系列圖

理想鋸齒函數(shù)和斜鋸齒函數(shù)的性質(zhì)與余弦函數(shù)有較大的差別，但也有一些共同之處，它們都是相位和時(shí)間的周期函數(shù)，相位周期為2π，時(shí)間周期為1/f，在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)只有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，在時(shí)間相鄰的正、負(fù)極值點(diǎn)之間，函數(shù)隨自變量單調(diào)連續(xù)地變化，因此，兩相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形的很多規(guī)律，也適用于兩相互垂直的理想鋸齒(或斜鋸齒)振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形，及相互垂直的理想鋸齒(或斜鋸齒)振動(dòng)與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形。

4 總結(jié)

上面的程序具有通用性，只需要更改函數(shù)及參數(shù)，就可以繪制出各種情況的這類合成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形。利用Matlab編程還可以繪制高斯分布、麥克斯韋分布、電場(chǎng)分布、等勢(shì)線分布、等厚干涉及干涉衍射圖樣等等。物理學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)性很強(qiáng)

的科學(xué)，其理論是建立在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的，由于實(shí)驗(yàn)條件的限制，物理學(xué)中的許多內(nèi)容無(wú)法在課堂上直接用實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，使學(xué)生對(duì)理論的理解有一定的困難，而通過(guò)Matlab數(shù)值計(jì)算和圖形模擬，能夠把抽象復(fù)雜的物理概念和公式以更加直觀的圖形形式呈現(xiàn)出來(lái)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高了教學(xué)質(zhì)量。同時(shí)通過(guò)繪制出的圖形，還可以進(jìn)行很多方面的分析和研究，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)有著非常重要的作用。