朱亞杰，朱紅波

（廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

本文的研究動(dòng)機(jī)來(lái)自于尋找以下非線性Schr?dinger方程的駐波其中 ψ(x，t)：RN×[0，+∞)→ C，且對(duì)所有的. 方程(1)出現(xiàn)在許多物理應(yīng)用中. 例如，在非線性光學(xué)、等離子體物理和凝聚態(tài)物理中出現(xiàn)的一些問(wèn)題中，許多粒子的存在導(dǎo)致人們考慮用非線性項(xiàng)來(lái)模擬它們之間的相互作用.

對(duì)于方程(1)，筆者感興趣的是尋找它的穩(wěn)態(tài)解，即ψ(x，t)=u(x)eiωt，其中u (x)＞0,ω ＞0(頻率)，易推導(dǎo)出函數(shù)u (x)滿(mǎn)足下列方程

在本文中，將討論如下帶有一般非線性項(xiàng)的非線性方程

當(dāng)位勢(shì)函數(shù) V(x)是一個(gè)常數(shù)或當(dāng)| x|→ ∞時(shí)極限存在，非線性項(xiàng) f(x，t)關(guān)于t在無(wú)窮遠(yuǎn)處漸近線性時(shí)，關(guān)于方程(3)存在性和多解性結(jié)論有很多，具體可見(jiàn)文獻(xiàn)[1-7]. 但是在這些文獻(xiàn)中， f(x，t)關(guān)于t在原點(diǎn)超線性，即當(dāng) t→0時(shí)， f(x，t)→ 0，并且q (x)是一個(gè)常數(shù)或f(x，t)≡ f(t). 本文的結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[8]中的部分結(jié)論，在文獻(xiàn)[8]中位勢(shì) V(x)=λ ＞0, f (x，t)關(guān)于 x是徑向?qū)ΨQ(chēng)，即 f(x，t)=f(|x|，t)，并且當(dāng)t ≥0時(shí)， f(|x|，t)單調(diào)非減，這兩個(gè)條件的假設(shè)對(duì)文獻(xiàn)[8]中結(jié)論的證明都起著至關(guān)重要的作用.

本文的結(jié)構(gòu)如下. 在第1節(jié)中，類(lèi)似于文獻(xiàn)[8]，定義：

(消失)對(duì)所有的R ＞0，

本文證明了這兩種情況都不可能發(fā)生，這樣就導(dǎo)出矛盾. 最后，文證明了有界序列收斂到能量泛函I的非平凡的臨界點(diǎn). 通常有兩種方法可以得到這種收斂性. 一種是要證明方程(3)對(duì)應(yīng)的能量泛函與該方程在無(wú)窮遠(yuǎn)的方程的能量泛函之間存在嚴(yán)格的大小關(guān)系. 但是，這種方法通常要求在 f(x，t)關(guān)于t 是單調(diào)非減；另一種方法是利用伸縮變換t →u(x/t)，這種方法通常處理自治問(wèn)題有效，而對(duì)于本文中的非自治情況，這種處理技巧在這里不起作用.

為了避免證明過(guò)程中使用集中緊致原理的技術(shù)性的麻煩，受到文獻(xiàn)[9-10]的啟發(fā)，本文采用了一種較簡(jiǎn)單清晰的方法證明了有界序列{ un}的收斂性.

在本文中，假設(shè) f，V 滿(mǎn)足下列條件：

(V1)并且對(duì)所有的，

(V2)，并且對(duì)所有的

(F1)f(x，t)∈并且存在0≤ p(x)≤，使得一致成立.

(F2)對(duì)任意的

(F3)對(duì)所有的使得

主要結(jié)果如下:

設(shè)p，q滿(mǎn)足

其中

記號(hào)：在本文中，字母C 和Ci表示正常數(shù).

BR(y)是球

1 變分泛函的性質(zhì)

由( V1)和 (V2)可知的標(biāo)準(zhǔn)范數(shù)等價(jià). 在條件( F1)和( F2)下，可以證明 I滿(mǎn)足山路幾何條件.

引理1 設(shè) E 是一個(gè)實(shí)的Banach空間， E?是其對(duì)偶空間，

滿(mǎn)足

這里

引理1的證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[11]或[12]中的第4章.帶有式(8)的這種序列通常叫做臨界值處的序列，簡(jiǎn)記為. 顯然序列也是通常的序列.

為了應(yīng)用上述山路定理，下述引理中等價(jià)范數(shù)的引入是有必要的.

定義

這里由式(9)可知，

這就意味著

證明 為了證明這個(gè)引理，結(jié)合文獻(xiàn)[6, 13]中的的一些想法. 令由可知關(guān)于一致成立. 由式(10)，存在使得對(duì)所有的，，

證明 這個(gè)引理的證明與文獻(xiàn)[13]中引理4.2的證明類(lèi)似. 為了完整起見(jiàn)，本文在這里給出了完整的證明.

這樣，由式(14—15)和控制收斂定理，

所(以，當(dāng)時(shí)，，那么存在，使得.

其中

證明這兩種情況都不可能發(fā)生.

這樣

特別地，

于是

由式(21)和式(26)，有

因?yàn)?/p>

由式(21)～(23)可知，對(duì)所有的φ ∈C0∞，

且

使得

由強(qiáng)極值原理可得

而且，

顯然，

接下來(lái)，證明

因此，

3 主要結(jié)果的證明

因?yàn)?/p>

這樣，

且

因此，

因此，式(51)得證.

即

取φ =u-=min{0，u}，可以看出

證明定理2 令