，， ，

(1.遼寧工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院，遼寧 錦州 121001；2.北京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院，北京 100876； 3.北京印刷學(xué)院 信息工程學(xué)院，北京 102600)

0 引言

球形滾動機(jī)器人是近些年發(fā)展起來的一種新型移動機(jī)器人，此類移動機(jī)器人采用內(nèi)部驅(qū)動單元實現(xiàn)外部球殼滾動。球形滾動機(jī)器人具有完全封閉、滾動靈活、抗傾翻和耗能低等特性，這些特性使此類移動機(jī)器人對外界環(huán)境表現(xiàn)出很強(qiáng)的適應(yīng)力，因而逐漸受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[1-11]。球形滾動機(jī)器人是一種內(nèi)驅(qū)動式非完整滾動球體，點(diǎn)接觸式滾動形式雖然減小了球形滾動機(jī)器人的運(yùn)動阻力，但也增大了球形滾動機(jī)器人的控制難度。因此，球形滾動機(jī)器人的控制問題逐漸成為球形機(jī)器人領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。

球形滾動機(jī)器人的跟蹤控制問題一般包括球形滾動機(jī)器人的軌跡跟蹤控制問題和球形滾動機(jī)器人的路徑跟蹤控制問題。與軌跡跟蹤控制[11]相比，路徑跟蹤控制[1-8]僅要求球形滾動機(jī)器人的運(yùn)動路徑與參考幾何路徑一致，而不要求球形滾動機(jī)器人于指定時刻到達(dá)指定位置。文獻(xiàn)[1-3]提出了基于曲率控制的球形滾動機(jī)器人路徑跟蹤控制方法，通過調(diào)節(jié)球形滾動機(jī)器人的橫向姿態(tài)和縱向速度來實現(xiàn)球形滾動機(jī)器人對于期望路徑的漸近跟蹤。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于相對曲率半徑控制的球形滾動機(jī)器人路徑跟蹤控制方法，通過改變球形滾動機(jī)器人的滾動軸水平傾角來實現(xiàn)球形滾動機(jī)器人對于參考路徑的跟蹤控制。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于運(yùn)動學(xué)模型和動力學(xué)模型分析的球形滾動機(jī)器人路徑跟蹤控制策略，并基于所提出的控制策略分別設(shè)計了PD控制器和自適應(yīng)滑?？刂破鳌Ｎ墨I(xiàn)[6]提出了一種基于模糊分級滑?？刂频那蛐螡L動機(jī)器人路徑跟蹤控制方法，所提出的控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)球形滾動機(jī)器人穩(wěn)定的路徑跟蹤。文獻(xiàn)[7]基于滑?？刂圃O(shè)計了一種球形滾動機(jī)器人的路徑跟蹤控制器，實現(xiàn)了球形滾動機(jī)器人對于傾斜平面上參考路徑的漸近跟蹤。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)哪：刂品椒?，實現(xiàn)了球形機(jī)器人系統(tǒng)對于滾動平面上期望路徑的跟蹤控制。綜上可見，目前對于球形滾動機(jī)器人路徑跟蹤控制問題的研究相對較少，已取得的研究成果還處于理論探索和初步實驗階段，相關(guān)的理論與方法仍然有待于進(jìn)一步完善和探索。

在建立一種球形滾動機(jī)器人運(yùn)動模型的基礎(chǔ)上，本文設(shè)計了一種基于自適應(yīng)滑?？刂撇呗缘穆窂礁櫩刂破鳌Ｊ紫韧茖?dǎo)球殼純滾動和無自轉(zhuǎn)非完整約束條件下球形滾動機(jī)器人的運(yùn)動方程，然后在此基礎(chǔ)上設(shè)計一種滑模增益自適應(yīng)控制器，該自適應(yīng)滑?？刂破髂軌虮ＷC球形滾動機(jī)器人的運(yùn)動路徑收斂于期望的參考路徑，最后通過數(shù)值仿真與樣機(jī)實驗驗證本文設(shè)計的路徑跟蹤控制器的有效性和理論分析結(jié)果的正確性。

1 球形滾動機(jī)器人的運(yùn)動方程

BYQ-III型球形滾動機(jī)器人[9-10]是一種配重驅(qū)動式球形滾動機(jī)器人，該球形滾動機(jī)器人的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。BYQ-III型球形滾動機(jī)器人主要由球殼1、框架2和配重5三個部分構(gòu)成，該球形滾動機(jī)器人內(nèi)部配置了兩臺獨(dú)立的驅(qū)動電機(jī)，分別為框架電機(jī)3和配重電機(jī)4。框架電機(jī)3和配重電機(jī)4的旋轉(zhuǎn)軸通過球殼中心并且相互垂直，在兩臺驅(qū)動電機(jī)的作用下配重5在球殼1內(nèi)可以進(jìn)行橫向和縱向的擺動。配重5的擺動使該球形滾動機(jī)器人的重心偏移，從而實現(xiàn)該球形滾動機(jī)器人在地面上的橫向運(yùn)動和縱向運(yùn)動。

圖1 BYQ-III型球形滾動機(jī)器人的基本結(jié)構(gòu)

球形滾動機(jī)器人的運(yùn)動模型是分析球形機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)特性和動力學(xué)特性的重要基礎(chǔ)，也是有效實現(xiàn)球形滾動機(jī)器人穩(wěn)定運(yùn)動控制的前提條件。因此，為建立有效的控制方法以實現(xiàn)BYQ-III型球形滾動機(jī)器人準(zhǔn)確的路徑跟蹤，需要首先建立該球形滾動機(jī)器人的運(yùn)動模型。

在推導(dǎo)BYQ-III型球形滾動機(jī)器人的運(yùn)動方程之前，首先對該球形機(jī)器人系統(tǒng)作出如下合理性假設(shè)。

假設(shè)1：BYQ-III型球形滾動機(jī)器人的外殼為均質(zhì)對稱的薄壁球殼，并且該球形滾動機(jī)器人在地面上運(yùn)動時球殼純滾動且無自轉(zhuǎn)[5-8, 11]。

圖2 具有2個輸入的均質(zhì)薄壁球殼模型

當(dāng)BYQ-III型球形滾動機(jī)器人在地面上滾動時，若忽略球殼與內(nèi)部驅(qū)動單元的耦合動力學(xué)特性，則該球形機(jī)器人系統(tǒng)可以等效為如圖2所示的具有2個輸入的均質(zhì)薄壁球殼。ΣO{X,Y,Z}為固連于地面的慣性坐標(biāo)系，ΣC{X1,Y1,Z1}為固連于球殼的運(yùn)動坐標(biāo)系，ΣC的坐標(biāo)原點(diǎn)位于球殼中心C。由慣性坐標(biāo)系ΣO到運(yùn)動坐標(biāo)系ΣC的Z-Y-X歐拉角分別為航向角φ、橫滾角θ和俯仰角φ。τφ和τθ分別為框架電機(jī)的輸出力矩和配重電機(jī)的輸出力矩。由于球形外殼具有全向?qū)ΨQ性，球殼與XOY平面的接觸點(diǎn)P和球殼中心C的運(yùn)動路徑完全一致。設(shè)球殼與地面的接觸點(diǎn)P在XOY平面內(nèi)的慣性坐標(biāo)為(x,y)，球殼的半徑為r，球殼的質(zhì)量為m，球殼的轉(zhuǎn)動慣量為I。

該球形滾動機(jī)器人純滾動和無自轉(zhuǎn)的非完整約束可以表示為[5-8, 11]：

(1)

式中，廣義坐標(biāo)向量q和約束矩陣A(q)分別為：

(2)

(3)

分別計算該球形滾動機(jī)器人的動能K和勢能P，可得該球形機(jī)器人系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L為：

L=Κ-P=

(4)

利用含約束乘子的拉格朗日方程，可得該球形滾動機(jī)器人的動力學(xué)模型為：

(5)

定義矩陣C(q)為:

(6)

式中，

由約束條件式(1)，可得該球形機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)模型為：

(7)

(8)

引入新的控制輸入u為:

(9)

將式(9)代入式(8)，可得該球形機(jī)器人系統(tǒng)的簡化動力學(xué)模型為:

(10)

至此，該球形機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動方程可以表示為：

(11)

2 路徑跟蹤控制器設(shè)計

2.1 滑模自適應(yīng)增益控制律設(shè)計

對于球形滾動機(jī)器人，其路徑跟蹤的控制目的是實現(xiàn)球殼與地面的接觸點(diǎn)P對于地面上參考幾何路徑的準(zhǔn)確跟蹤。

設(shè)地面上給定的參考幾何路徑為：

f(x,y)=0

(12)

這里，假設(shè)參考路徑的描述函數(shù)f(x,y)足夠光滑，光滑函數(shù)f(x,y)存在關(guān)于x和y的二階偏導(dǎo)數(shù)。

定義球形機(jī)器人系統(tǒng)的路徑跟蹤誤差為：

ep=f(x,y)

(13)

至此，式(11)所示的球形機(jī)器人系統(tǒng)的路徑跟蹤的控制目標(biāo)轉(zhuǎn)化為選取適當(dāng)?shù)目刂坡蓇，使式(13)所示的球形滾動機(jī)器人的路徑跟蹤誤差ep收斂至零。

基于球形機(jī)器人系統(tǒng)路徑跟蹤控制的上述目標(biāo)，分別設(shè)計機(jī)器人系統(tǒng)的滑動變量s1和s2為：

s2=υ2-c2

(14)

式中，c1和c2為正常數(shù)。

由式(13)和式(11)，可以得到:

(15)

式中，

對式(15)求導(dǎo)，進(jìn)一步可得:

(16)

式中，d1=J1(q)C(q)ud。

由式(7)和式(11)，可以得到:

(17)

對式(14)求導(dǎo)，由式(15)至式(17)可得：

(18)

式中，

由式(6)、式(15)和式(17)，可以得到：

B=

(19)

u=B-1ν-B-1G

(20)

將式(20)代入式(18)，可以得到：

(21)

(22)

在式(21)基礎(chǔ)上，設(shè)計滑模自適應(yīng)增益控制器為：

ν=-α(t)sign(S)-βS

(23)

式中，

式中，β1和β2為正常數(shù)；切換增益αi(t)如下所示：

(24)

式中，γi>0，αi(0)>0；εi、σi和μi為很小的正常數(shù)。在式(24)中，引入?yún)?shù)σi和μi的目的只是為了保證控制器的切換增益αi(t)>0。為求清晰起見，在本文后面的分析和討論中不失一般性地假設(shè)：對于任意時刻t，均有αi(t)>σi。

對于本文設(shè)計的路徑跟蹤控制器式(23)，這里進(jìn)一步作出如下幾點(diǎn)說明：

(1) 路徑跟蹤控制只要求式(13)所示的路徑跟蹤誤差ep收斂至零，即僅需保證式(14)中滑動變量s1的收斂性。由此可以看出，式(14)中滑動變量s2的設(shè)計并不唯一。一般而言，可以選取式(7)所示的準(zhǔn)速度υ1或υ2作為被控量來設(shè)計機(jī)器人系統(tǒng)的滑動變量s2，從而使式(18)所示的矩陣G和B具有相對簡單的形式。對于式(14)中滑動變量s2，其中的正常數(shù)c2的取值與穩(wěn)態(tài)時球形滾動機(jī)器人的運(yùn)動速度有關(guān)。由式(7)不難看出，正常數(shù)c2的取值越大，機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)入滑動模態(tài)后球殼的滾動速度就越快。

(2) 由式(23)和式(24)可以看出，本文設(shè)計的滑模控制律實際上由變速趨近項-αi(t)sign(si)和指數(shù)趨近項-βisi兩部分構(gòu)成。在本文控制律式(23)中，變速趨近項能夠根據(jù)滑動變量si的變化自適應(yīng)地調(diào)節(jié)控制器的切換增益αi(t)。當(dāng)|si|>εi時，切換增益αi(t)逐漸增大使其足以壓制擾動和不確定項di。當(dāng)si減小至|si|<εi時，切換增益αi(t)逐漸減小，以減輕滑模控制器的抖振現(xiàn)象。與文獻(xiàn)[12]方法相比，本文方法在控制律式(23)中進(jìn)一步加入了指數(shù)趨近項-βisi，指數(shù)趨近項-βisi能夠動態(tài)地適應(yīng)滑動變量si的變化，可使滑動變量si更快地收斂至零。系統(tǒng)狀態(tài)越遠(yuǎn)離滑動面si=0，指數(shù)趨近項的控制作用就越強(qiáng)。

(3) 受建模誤差和外部干擾等不確定性的不良影響，實際機(jī)器人系統(tǒng)無法產(chǎn)生理想的滑動模態(tài)si=0，只能在較小的零鄰域內(nèi)建立真實的滑動模態(tài)。對于本文設(shè)計的自適應(yīng)滑?？刂破魇?23)，滑動變量si能夠在有限時間內(nèi)收斂至零鄰域|si|<εi，并在此后始終保持在一個更大的收斂域|si|<δi內(nèi)，即機(jī)器人系統(tǒng)的真實滑動模態(tài)在零鄰域|si|<δi內(nèi)存在。該零鄰域收斂半徑δi的具體表達(dá)式如式(25)所示，收斂半徑δi的大小可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)γi來進(jìn)行控制，正常數(shù)γi取值越大，收斂半徑δi越小。

(25)

2.2 穩(wěn)定性分析

定理1：對于式(11)所示的球形機(jī)器人系統(tǒng)，按式(14)設(shè)計機(jī)器人系統(tǒng)的滑動變量s1和s2，若采用式(20)和式(23)所示的輸入變換和控制輸入ν，則機(jī)器人系統(tǒng)的滑動變量s1和s2能在有限時間內(nèi)收斂至|si|<δi。

證明：首先，證明控制器的切換增益αi(t)是有界的。

關(guān)于控制器的切換增益的有界性，本文此處只進(jìn)行定性的說明，更為詳細(xì)的分析請參閱文獻(xiàn)[12]。

不妨設(shè)初始時刻為t0，并且當(dāng)t=t0時|si(t0)|>εi。由切換增益的自適應(yīng)律式(24)可知，從初始時刻t0開始切換增益αi(t)逐漸增大。又由擾動和不確定項di的有界性可知，必然存在某時刻t1，當(dāng)t=t1時切換增益足以克服擾動和不確定項di，并使滑動變量si(t)從t1時刻開始逐漸減小。設(shè)當(dāng)t=t2時，滑動變量si(t)已減小至|si(t2)|<εi。由切換增益的自適應(yīng)律式(24)可知，從t2時刻開始切換增益αi(t)逐漸減小，并且當(dāng)t=t2時切換增益達(dá)到最大值αi(t2)。由于切換增益αi(t)不斷減小，因此必然存在某時刻t3，當(dāng)t=t3時切換增益已不足以壓制擾動和不確定項di，于是滑動變量si(t)從t3時刻開始逐漸增大。設(shè)當(dāng)t=t4時滑動變量si(t)已增大至|si(t4)|>εi，于是上述過程又從頭開始不斷重復(fù)、循環(huán)。

?t>0

(26)

然后，分別對|si|>εi和|si|<εi兩種情況進(jìn)行分析。

(1) 對于|si|>εi的情況，這里采用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明滑動變量si能夠在有限時間內(nèi)收斂至|si|<εi。定義Lyapunov函數(shù)Li(t)為：

(27)

式中，ξi為小于γi的正常數(shù)。

對式(27)求導(dǎo)，由式(21)至式(24)可得：

(28)

當(dāng)|si|>εi時，由式(28)進(jìn)一步可得：

(29)

由式(29)可見，滑動變量si必能在有限時間內(nèi)由初始值|si(0)|>εi收斂至|si|<εi。

由上述分析過程容易看出，當(dāng)|si|<εi時滑動變量si并不能始終維持在該零鄰域內(nèi)，但是能夠始終保持在一個具有更大收斂半徑的零鄰域中。對于式(23)所示的自適應(yīng)滑?？刂坡?，當(dāng)|si|<εi時顯然有βi|si|?αi(t)，此時可忽略控制律式(23)中的指數(shù)趨近項-βisi。然后再按照文獻(xiàn)[12]的證明過程可證，當(dāng)|si|<εi時滑動變量si能夠始終保持在零鄰域|si|<δi內(nèi)。限于篇幅，關(guān)于滑動變量si的收斂域的詳細(xì)分析請參閱文獻(xiàn)[12]，本文此處不再贅述。

由以上證明過程可知，機(jī)器人系統(tǒng)的滑動變量si能在有限時間內(nèi)收斂至零鄰域|si|<δi，即機(jī)器人系統(tǒng)的真實滑動模態(tài)在零鄰域|si|<δi內(nèi)存在。

3 仿真研究

為驗證本文所提出的路徑跟蹤控制策略的有效性，在Matlab環(huán)境中進(jìn)行路徑跟蹤控制的數(shù)值仿真實驗。BYQ-III型球形滾動機(jī)器人的物理參數(shù)分別為:

為測試本文設(shè)計的路徑跟蹤控制器的魯棒性，假設(shè)實際機(jī)器人系統(tǒng)各物理參數(shù)與其名義值相差10%。數(shù)值仿真實驗中，分別取:

設(shè)球形機(jī)器人系統(tǒng)的初始條件為：

圖3 球心位置的變化曲線(仿真結(jié)果)

本文設(shè)計的路徑跟蹤控制器的各參數(shù)分別取為：c1=4.8，c2=0.9，ε1=ε2=0.05，β1=4.5，β2=1.3，γ1=3.4，γ2=7.5，σ1=σ2=0.1，μ1=μ2=0.1。需要說明的是，所設(shè)計的路徑跟蹤控制器中并未計入機(jī)器人系統(tǒng)模型參數(shù)的變化。數(shù)值仿真實驗中，選取式(30)所示的直線路徑作為球形滾動機(jī)器人的參考路徑：

f(x,y)=x-y=0

(30)

由式(30)可以看出，本文選取的參考路徑與文獻(xiàn)[11]選取的期望軌跡雖為同一直線，但在不同的跟蹤控制問題中參考路徑(或期望軌跡)的描述方式是完全不同的。

圖4 直線路徑跟蹤的仿真結(jié)果

仿真時間設(shè)為10 s，基于自適應(yīng)滑模控制算法的路徑跟蹤控制器的控制效果如圖3和圖4所示，圖4中星號指示機(jī)器人的出發(fā)位置。由圖3和圖4可以看出，球形滾動機(jī)器人先由參考路徑外的初始位置出發(fā)，經(jīng)過1.7 s左右球形滾動機(jī)器人準(zhǔn)確地到達(dá)了給定的參考路徑，并在此后始終在指定的參考路徑上滾動。由仿真結(jié)果可見，本文設(shè)計的路徑跟蹤控制器控制性能良好，被控對象中存在的參數(shù)變化不確定性得到了有效抑制，從而表明本文設(shè)計的路徑跟蹤控制器具有很強(qiáng)的魯棒性。

4 實驗結(jié)果

為進(jìn)一步驗證本文設(shè)計的路徑跟蹤控制器的有效性，利用BYQ-III型球形滾動機(jī)器人實物樣機(jī)在室外的塑膠跑道上進(jìn)行路徑跟蹤控制實驗，實驗環(huán)境如圖5所示。路徑跟蹤控制實驗中，借助安裝在內(nèi)部框架上的姿態(tài)測量系統(tǒng)和框架電機(jī)的光電碼盤，可以得到球殼的姿態(tài)角和角速度。在此基礎(chǔ)上，利用式(6)可得出球殼中心的速度，然后采用對速度積分的方法可以計算出球殼中心位置[11]。

圖5 塑膠跑道控制實驗環(huán)境

(30)

式中,ti表示第i次采樣時刻，m表示采樣點(diǎn)數(shù)量。

圖6 直線路徑跟蹤的實驗結(jié)果

5 結(jié)論

針對一種球形滾動機(jī)器人的路徑跟蹤控制問題，本文提出了一種自適應(yīng)滑?？刂撇呗浴Ｋ岢龅目刂撇呗詿o需知道有界擾動和不確定性的上界，能夠通過動態(tài)調(diào)整控制器的切換增益使機(jī)器人系統(tǒng)在有限時間內(nèi)進(jìn)入真實的滑動模態(tài)。理論分析和仿真結(jié)果表明，本文提出的控制策略能夠保證球形滾動機(jī)器人的實際運(yùn)動路徑收斂于期望的參考路徑。樣機(jī)實驗結(jié)果進(jìn)一步驗證了理論分析的正確性和本文設(shè)計的滑模自適應(yīng)增益控制器的跟蹤性能?；诙囿w動力學(xué)模型和視覺定位的球形滾動機(jī)器人路徑跟蹤問題是本文下一步研究工作的重點(diǎn)。