黃海燕

摘 要：數(shù)學(xué)建模，是指將現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題予以提煉后抽象為數(shù)學(xué)模型，繼而由求得的模型的解來(lái)驗(yàn)證其合理性，并將該數(shù)學(xué)模型所提供的解答應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解釋。而將“模型思想”滲透于初中幾何教學(xué)之中，既可增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念和意識(shí)，又能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，這在初中幾何教學(xué)中是不容忽視的，但也必是一個(gè)循序漸進(jìn)的、系統(tǒng)而長(zhǎng)期的過(guò)程。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)幾何模型;模型思想

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.63文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2019）01-082-2

眾所周知，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，因而滲透模型思想必須貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)、幫助其初步形成模型思想，教師可采取如下步驟進(jìn)行教學(xué)：先從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，最終求出結(jié)果并討論其意義。下面，筆者結(jié)合個(gè)人的教學(xué)實(shí)踐，以數(shù)學(xué)幾何中典型的添加輔助圓的課堂教學(xué)片斷設(shè)計(jì)為例，探尋如何在數(shù)學(xué)課堂中發(fā)展學(xué)生的模型思想的方法。

一、化“無(wú)圓”為“有圓”——感悟模型思想

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡以“動(dòng)手操作——數(shù)學(xué)模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的模式開(kāi)展課堂活動(dòng)。這樣的建?；顒?dòng)不僅有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，更能促進(jìn)學(xué)生理論與實(shí)踐相結(jié)合，進(jìn)而系統(tǒng)地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。在教學(xué)實(shí)踐中，此課例的建?；顒?dòng)是如下開(kāi)展的：

1.動(dòng)手操作，提出問(wèn)題

課堂活動(dòng)1

問(wèn)題1 已知△ABC中，AB=4，AC=3，當(dāng)∠B取得最大值時(shí)，求BC的長(zhǎng)度是多少？

活動(dòng)（1）你能根據(jù)題目動(dòng)手操作，畫(huà)出幾何圖形嗎？

活動(dòng)（2）你畫(huà)的幾何圖形唯一嗎？如何使得∠B取得最大值？

獨(dú)立完成上述兩個(gè)活動(dòng)，小組內(nèi)交流成果。（4分鐘）

設(shè)計(jì)意圖

由活動(dòng)（1）可直觀引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)文字問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問(wèn)題，從而培養(yǎng)其數(shù)形結(jié)合的能力和意識(shí)，初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過(guò)程。

通過(guò)活動(dòng)（2）的設(shè)計(jì)，學(xué)生感受圖形的不唯一性。在學(xué)生的動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，教師可以借助幾何畫(huà)板演示，讓學(xué)生感受更加直觀，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，從而感悟建模思想。

課堂活動(dòng)2

問(wèn)題2 如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），連結(jié)AP，過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為H，連結(jié)DH，若正方形的邊長(zhǎng)為4，求線段DH長(zhǎng)度的最小值是多少？

活動(dòng)（3）通過(guò)點(diǎn)P的不斷運(yùn)動(dòng)變化，你能觀察發(fā)現(xiàn)點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡嗎？獨(dú)立思考后，小組內(nèi)交流。（5分鐘）

設(shè)計(jì)意圖

設(shè)計(jì)活動(dòng)（3）的目的在于引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到圖形的不唯一性。在學(xué)生動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，教師借助幾何畫(huà)板的演示，讓學(xué)生更加直觀感受到點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡。

在第一階段所設(shè)計(jì)的活動(dòng)中，學(xué)生能在小組合作的情況下形成數(shù)學(xué)建模的初感知，既凸顯了團(tuán)隊(duì)合作的精神與意義，又讓他們經(jīng)歷了從具體到抽象的思維發(fā)展過(guò)程，為進(jìn)一步促進(jìn)建模思想的形成奠定基礎(chǔ)。

2.體驗(yàn)感知，初建模型

課堂活動(dòng)3

師：請(qǐng)大家思考：在滿(mǎn)足什么條件下，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)是圓呢？請(qǐng)思考后與同伴交流、合作完成。

生1：我們知道根據(jù)三角形全等中SAS可唯一確定一個(gè)三角形，而當(dāng)我們知道兩條邊長(zhǎng)時(shí)，

如圖，那么所構(gòu)成的三角形不是唯一確定的。此時(shí)，較短線段的一端點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡就是以A為圓心，AC為半徑的圓。

設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)活動(dòng)3的設(shè)計(jì)，學(xué)生根據(jù)題目的已知條件，發(fā)現(xiàn)不同題目的共同特點(diǎn)，從而找到每一道幾何題目背后隱藏著一定的法則和規(guī)律，歸納出這類(lèi)題目的幾何模型，明確解決問(wèn)題的思想方法，那么求解這類(lèi)幾何題目就游刃有余！

3.鞏固練習(xí)，感悟模型

課堂活動(dòng)4

練習(xí)1、（2015年太倉(cāng)中考模卷）如圖，點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持AB=4不變，點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3），連結(jié)PQ，則PQ長(zhǎng)的最小值是。

練習(xí)2、（2016年南京中考卷24題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CE到點(diǎn)F，使∠FBC=∠DCE。

（1）求證：∠D=∠E;

（2）用直尺和圓規(guī)在AD上作出一點(diǎn)P，使△BPC∽△CDP（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）。

設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)這一活動(dòng)的設(shè)計(jì)，學(xué)生進(jìn)一步理解活動(dòng)3歸納總結(jié)的幾何模型，能夠有意識(shí)的聯(lián)想之前學(xué)過(guò)、講過(guò)的題型并加以運(yùn)用、套用，從而在千變?nèi)f化的幾何題目中發(fā)現(xiàn)相似的解題思想，將幾何題目化難為易，化繁為簡(jiǎn)。

4.拓展延伸，應(yīng)用模型

（2017年園區(qū)模卷17題）如圖，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊作正方形BCDE，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A移動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是 。

設(shè)計(jì)意圖

這一活動(dòng)讓學(xué)生從更深層次來(lái)感悟數(shù)學(xué)模型，并將所得結(jié)果直接用于解決幾何問(wèn)題。通過(guò)該問(wèn)題的練習(xí)訓(xùn)練，學(xué)生思維能力得以發(fā)展，并能?chē)L試對(duì)模型的創(chuàng)造性使用，也可更深層地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。

二、道“有圓”勝“無(wú)圓”——提煉教學(xué)策略

1.經(jīng)歷建模，歸納方法

在數(shù)學(xué)幾何教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生透過(guò)千變?nèi)f化的題目，發(fā)現(xiàn)題目背后隱藏著的法則和規(guī)律，找到相似的解題思想。這樣學(xué)生經(jīng)歷了建模的過(guò)程，發(fā)掘題目?jī)?nèi)在的規(guī)律，其數(shù)學(xué)思維能力、獨(dú)立思考和解決難題的能力均能獲得提高。與此同時(shí)，教師應(yīng)與學(xué)生一起總結(jié)歸納出建模的基本思路和方法：①動(dòng)手操作，提出問(wèn)題——建立模型準(zhǔn)備;②通過(guò)幾何畫(huà)板等現(xiàn)代化手段體驗(yàn)感知，探究解決問(wèn)題——建立數(shù)學(xué)幾何模型;③解釋?xiě)?yīng)用拓展，體現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值——應(yīng)用數(shù)學(xué)幾何模型。通過(guò)對(duì)方法的歸納總結(jié)，幫助學(xué)生掌握科學(xué)的解題方法，規(guī)范解題思路，讓學(xué)生感知、體驗(yàn)幾何模型思想的全過(guò)程，從而達(dá)到傳授知識(shí)、培養(yǎng)能力的目的。

2.注重滲透，感悟體驗(yàn)

幾何圖形變幻無(wú)窮，解題方法也千變?nèi)f化，因而幾何常被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)界的變形金剛”。盡管題目變化萬(wàn)千，但終歸萬(wàn)變不離其宗。透過(guò)表面復(fù)雜的幾何題目，洞悉其內(nèi)在的基本模型是需要經(jīng)過(guò)不斷感悟與錘煉的。這就要求數(shù)學(xué)教師在日常的課堂教學(xué)中勤下功夫，通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)情境不斷的精心設(shè)計(jì)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生有效積累經(jīng)驗(yàn)，逐漸掌握建模的基本方法，促其生形成模型思想的意識(shí)，逐步養(yǎng)成用幾何模型思想進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。教師可在課堂教學(xué)中，訓(xùn)練基礎(chǔ)較差的學(xué)生看到圖形相仿或相似的題目后能有意識(shí)地聯(lián)想起曾經(jīng)學(xué)過(guò)的題型、并加以運(yùn)用和套用。同時(shí)，培養(yǎng)中等生能由關(guān)鍵點(diǎn)、關(guān)鍵線段或相似條件聯(lián)想到所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)推理、演繹的過(guò)程逐步獲得正確的解法。而對(duì)于優(yōu)等生而言，所求的最高境界莫過(guò)于心中只有少數(shù)基本模型，但它們就像種子，遇題便會(huì)萌芽，乃至開(kāi)花結(jié)果。隨著對(duì)題目的深入理解，學(xué)生能不斷地探尋到適宜的花朵形成具體模型，而每種模型之間又借由其他條件貫穿連接，猶如枝杈相連，彼此并非孤立，若能得此理解才算是包羅萬(wàn)象，駕輕就熟。

3.引導(dǎo)探究，合作互助

課堂中，學(xué)生是不容置疑的學(xué)習(xí)主體，教師則是引導(dǎo)者和助力者，一切課堂教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)和展開(kāi)必須要圍繞學(xué)生進(jìn)行。在設(shè)計(jì)教案活動(dòng)時(shí)，教師要有意識(shí)地關(guān)注問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生形成發(fā)展模型思想的影響，要能設(shè)計(jì)出可以促進(jìn)學(xué)生動(dòng)手操作能力的提高、促使其初步感悟模型思想的活動(dòng)。而在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)重視給學(xué)生充分的時(shí)間和空間思考教師提出的問(wèn)題，要幫助學(xué)生由被動(dòng)學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)，通過(guò)搭建學(xué)生合作互助交流平臺(tái)，讓每一名學(xué)生都能參與到數(shù)學(xué)幾何建模的全過(guò)程中，從而逐步形成模型思想。

由上可知，數(shù)學(xué)建模思想的形成過(guò)程是一個(gè)綜合性過(guò)程，是促進(jìn)數(shù)學(xué)能力與諸多能力協(xié)同發(fā)展、共同提高的過(guò)程。因此，在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師要滲透數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生學(xué)習(xí)、實(shí)踐中不斷領(lǐng)會(huì)、感悟相關(guān)思想和方法，感覺(jué)利用建模思想解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的妙處，體會(huì)數(shù)學(xué)之美，進(jìn)而對(duì)獨(dú)具魅力的數(shù)學(xué)產(chǎn)生更大的學(xué)習(xí)、探究興趣。