石悅?cè)? 盧倬成 王璟琨 2）? 張威 2）?

1）(中國人民大學物理學系,北京 100872）

2）(中國人民大學,光電功能材料與微納器件北京市重點實驗室,北京 100872）

近年來,堿土金屬原子和類堿土金屬原子體系的研究成為冷原子物理的研究熱點之一.特別是最近在173Yb原子中發(fā)現(xiàn)的軌道Feshbach共振,使得研究有強相互作用的堿土金屬和類堿土金屬原子系統(tǒng)成為可能,極大擴展了此類原子體系的研究范圍.本文介紹了173Yb費米氣體在軌道Feshbach共振附近的雜質(zhì)態(tài)問題.在此問題中,位于 態(tài)的雜質(zhì)原子與處于基態(tài)的背景費米海相互作用,并在費米海表面產(chǎn)生分子態(tài)或極化子態(tài).本文使用試探波函數(shù)的研究方法,首先對分子態(tài)和吸引極化子態(tài)進行介紹,并重點描述了分子態(tài)與吸引極化子態(tài)間的轉(zhuǎn)變.其次歸納總結(jié)了排斥極化子態(tài)的相關(guān)性質(zhì),如有效質(zhì)量、衰變率等.然后考慮雙費米面情況,介紹在閉通道中引入另外一個費米面對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響.最后簡要介紹二維173Yb費米氣體中的雜質(zhì)態(tài)問題.

1 引 言

由于存在兩個最外層價電子,堿土金屬原子和類堿土金屬原子擁有一些特殊性質(zhì),例如存在長壽命的原子激發(fā)態(tài),以及可實現(xiàn)核自旋與電子自旋分離等,這使該類原子成為近年來的一個研究熱點,并且已被廣泛應用于精密測量[1?3]、量子信息和量子模擬[4?9]等領(lǐng)域的研究中.然而,由于類堿土金屬原子的電子總自旋角動量為零,無法在此類原子體系中應用磁Feshbach共振技術(shù).盡管已有實驗利用光Feshbach共振技術(shù)來調(diào)控該類原子間相互作用,但這種手段會造成大量的原子損失[10?12].

最近,在173Yb原子中實現(xiàn)的軌道Feshbach共振(orbital Feshbach resonance,OFR),成功解決了上述難題,并極大擴展了在堿土金屬和類堿土金屬原子系統(tǒng)中進行量子模擬的研究范圍[13?15].與堿金屬中的磁Feshbach共振技術(shù)類似[16],OFR同樣由開通道和閉通道間的共振散射引起,例如在173Yb原子中,開通道對應的是分別占據(jù)在態(tài)和態(tài)的兩個原子,其中和態(tài)分別與電子軌道態(tài)和對應,和代表不同的核自旋態(tài).閉通道則對應于分別占據(jù)態(tài)和態(tài)的兩個原子.值得注意的是,由于電子總自旋角動量 J=0,核自旋和電子自旋不耦合,體系中的短程兩體相互作用可以發(fā)生在軌道單態(tài)通道:或軌道三態(tài)通道:[7?9].因此,短程相互作用以開通道和閉通道為基時是非對角化的,并且可以將這兩個通道以軌道間核自旋交換相互作用的形式耦合起來.此外,當存在磁場時,利用態(tài)和態(tài)間塞曼移動的不同,可以調(diào)節(jié)開通道和閉通道間的能量差[13,17,18].因此,當閉通道中的淺束縛態(tài)能量被調(diào)節(jié)至開通道兩體散射閾值時,便會發(fā)生散射共振.2015 年,在理論研究中首次提出OFR方法[13],緊接著在173Yb原子中實驗實現(xiàn)了該技術(shù).之后對OFR的進一步研究表明:從普適性的角度來看,OFR是窄共振,而從磁場角度來看,OFR則是一個寬共振[19],后者決定了OFR在173Yb原子中易于實現(xiàn).

OFR存在一個有趣的特點:兩體相互作用勢具有自旋交換屬性,因此在多體領(lǐng)域的研究中吸引了許多科研工作者的興趣[20?30].這其中,在 OFR附近的雜質(zhì)態(tài)問題是一個很重要的研究方向.在堿金屬原子體系中,磁Feshbach共振中的雜質(zhì)態(tài)問題,也就是極化子問題,近年來已被廣泛研究[31?42],這是由于:第一,可以利用簡單的理論模型來對此多體系統(tǒng)進行精確描述;第二,利用對堿金屬原子體系中雜質(zhì)態(tài)問題的研究,可以模擬研究有強相互作用的量子混合系統(tǒng)中的相圖,例如,利用極化子問題可以對巡游鐵磁進行研究.在之前對雜質(zhì)態(tài)問題的研究中,Landau[43]和 Pekar[44]提出,對電介質(zhì)中傳導電子的性質(zhì)可以用極化子理論來解釋.這個開創(chuàng)性的想法后來被Fr?hlich等[45,46]和Feynman[47]進一步推導,他們將離子晶體和極性半導體看作由聲子組成的背景粒子體系.其他還有一些著名的研究,例如在氦-4原子背景體系下,研究氦-3原子作為雜質(zhì)粒子的雜質(zhì)態(tài)問題[48],以及在金屬中研究局域磁性雜質(zhì)引起的Kondo效應[49].

超冷原子中雜質(zhì)系統(tǒng)的成功實現(xiàn),進一步引起了人們對該問題的研究興趣.在超冷原子體系中,可以利用混合體系來實現(xiàn)雜質(zhì)系統(tǒng),其中數(shù)量較少的粒子為雜質(zhì)粒子,而數(shù)量較多的粒子組成背景粒子,系統(tǒng)的性質(zhì)與背景粒子的量子屬性密切相關(guān).實驗中,背景粒子為玻色子[50?53]和費米子[31?33]的系統(tǒng)均已實現(xiàn).在玻色系統(tǒng)中的雜質(zhì)態(tài)問題可以看作是對 Fr?hlich極化子的模擬[54?56].系統(tǒng)中雜質(zhì)粒子動態(tài)性質(zhì)的改變由其與玻色激發(fā)相互作用決定,在玻色凝聚中的激發(fā)為Bogoliubov粒子,而在熱玻色氣體中的激發(fā)為單粒子.當背景粒子為低溫費米氣體時,產(chǎn)生的費米極化子是Landau準粒子基本概念的典型再現(xiàn).在冷原子系統(tǒng)中,可以在強相互作用區(qū)域內(nèi),用一個十分簡單的理論模型來精確描述極化子的性質(zhì),這為增進對強關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的認識和理解提供了便利.進一步研究發(fā)現(xiàn),在冷原子中,對只存在一個雜質(zhì)粒子的系統(tǒng)進行研究,就能夠得到有強相互作用的極化氣體的精確信息.在這樣的背景下,科研工作者在冷原子系統(tǒng)中針對雜質(zhì)態(tài)問題進行了一系列的研究,例如:在有兩種不同自旋軌道耦合的二維費米氣體中研究雜質(zhì)態(tài)問題[57];在玻色極化子系統(tǒng)中研究Efimov態(tài)[58];在有拓撲p波超流的一維準周期費米系統(tǒng)中研究極化子態(tài)[59];研究非零溫和雜質(zhì)粒子數(shù)密度為有限值對吸引極化子性質(zhì)的影響[60]等.這些理論和實驗研究揭示了強極化條件下多體系統(tǒng)中的物理性質(zhì).在有OFR的系統(tǒng)中,科研工作者們自然希望通過類似的研究得到此系統(tǒng)中的少體和多體性質(zhì).

本文結(jié)構(gòu)如下:第2節(jié)首先對所關(guān)注的體系進行介紹;第3節(jié)和第4節(jié)分別介紹分子態(tài)和吸引極化子態(tài)在整個共振區(qū)域的性質(zhì);第5節(jié)介紹吸引極化子態(tài)到分子態(tài)的轉(zhuǎn)變;第6節(jié)歸納總結(jié)排斥極化子態(tài)的相關(guān)性質(zhì);第7節(jié)在體系中引入另一個費米面,進而介紹雙費米面情況下體系的性質(zhì);第8節(jié)簡要介紹二維系統(tǒng)中分子態(tài)和極化子態(tài)的性質(zhì);最后對上述內(nèi)容進行總結(jié).

2 體系簡介

圖1 類堿土金屬原子中的 OFR 能級圖.雜質(zhì)原子處于態(tài),費米海處于 態(tài).通過相互作用,雜質(zhì)原子和費米海中原子會被散射到閉通道的兩個態(tài)上. 和 是兩個能級的塞曼移動Fig.1.Level diagram of an OFR.An impurity atom in thestate is immersed in a Fermi gas of alkaline-earth-like atoms in the state. and are the Zeeman shifts of the and manifolds,respectively.

3 分子態(tài)的研究

然后給出與試探波函數(shù)(4）對應的薛定諤方程:

其中的系數(shù)定義為:

通過將本征能量的解代入系數(shù)方程中,可以求得試探波函數(shù)方程(4）式中的系數(shù).圖2(c)描述了淺束縛態(tài)中波函數(shù)的分布情況.其中,閉通道部分隨的增大而變大,并且在較大時成為波函數(shù)的主要部分,而波函數(shù)中的開通道部分呈現(xiàn)出與閉通道部分相反的變化趨勢.此現(xiàn)象可解釋為,當為一個較大的正值時,開通道在閉通道之上有很大的失諧,如圖1所示,這導致開通道的部分可以被忽略.

圖 2 (a),(b)分 子 態(tài) 的 能 量 隨 和 的 變 化;(c)分 子 態(tài) 的 波 函 數(shù) 分 布 情 況;(d) 接 近 閾 值 能 量 的 分 子 態(tài),在時的有效質(zhì)量.引自參考文獻[23]Fig.2.(a),(b)The eigenenergy in the molecular state varies with and ;(c)the wave functions'distribution in the open and closed channels;(d)the effective mass for the molecular state whose energy is closed to the threshold energy when .Reproduced from Ref.[23].

4 吸引極化子態(tài)的研究

極化子態(tài)的試探波函數(shù)可寫為

其中,第一項對應于一個裸的雜質(zhì)粒子態(tài)和未受擾動的費米海;第二項表示在開通道中,費米海表面存在一對粒子-空穴激發(fā);第三項代表在費米海表面,雜質(zhì)粒子與費米海中粒子相互作用并被散射到閉通道中的情況.

利用與上一節(jié)中計算分子態(tài)相同的方法,可以得到極化子態(tài)的本征能量方程為

通過求解(11）式和對應的系數(shù)方程,可以得到極化子態(tài)的相關(guān)性質(zhì).與分子態(tài)相似,在極化子態(tài)中,也存在兩個低于閾值的能量解:一個解接近閾值能量,另一個解滿足.其中,前者為淺吸引極化子態(tài),后者為深吸引極化子態(tài).本節(jié)關(guān)注淺吸引極化子態(tài)的性質(zhì).

在圖(3）中,描繪了吸引極化子態(tài)能量、波函數(shù)分布以及質(zhì)心動量時有效質(zhì)量的變化情況.從圖中可以發(fā)現(xiàn),在 BCS 極限下,即是一個較大負值時,波函數(shù)主要是由裸粒子態(tài)部分組成,而在 BEC 極限下,閉通道部分為主要組成部分.開通道部分在共振點處,與閉通道部分相當,但隨著的增大會降低.

5 吸引極化子態(tài)到分子態(tài)的轉(zhuǎn)變

前面兩節(jié)分別介紹了分子態(tài)和吸引極化子態(tài)的性質(zhì).將計算得到的兩個態(tài)的能量放在同一張圖中,如圖 4(a)和圖 4(b)所示,可以清晰地看到,存在吸引極化子態(tài)到分子態(tài)的轉(zhuǎn)變,且轉(zhuǎn)變點的基態(tài)為質(zhì)心動量為零的吸引極化子態(tài).另一方面,當時,系統(tǒng)基態(tài)變?yōu)橘|(zhì)心動量為零的分子態(tài).圖4(c)中,描繪了轉(zhuǎn)變點隨粒子數(shù)密度的變化情況.從圖中可以發(fā)現(xiàn),隨粒子數(shù)密度的增大而變大,這清楚表明,系統(tǒng)在共振點附近表現(xiàn)出的性質(zhì)不具有普適性,體現(xiàn)出窄共振的特點.

6 排斥極化子態(tài)的研究

圖3 (a),(b)吸引極化子態(tài)的能量隨 和 的變化;(c)吸引極化子態(tài)的波函數(shù)分布情況;(d)吸引極化子態(tài)在 時的有效質(zhì)量,圖中發(fā)散點為 ,對應于 .圖中參數(shù)與圖2中一致.引自參考文獻[23]Fig.3.(a),(b)The eigenenergy in the attractive polaron state varies with and ;(c)the wave functions'distribution in the open and closed channels;(d)the effective mass for the attractive polaron state when .Parameters here are the same as those in Fig.2.Reproduced from Ref.[23].

圖4 (a),(b)分子態(tài) (黑色實線) 和吸引極化子態(tài) (藍色虛線) 的本征能量隨 和 的變化,吸引極化子態(tài)到分子態(tài)的轉(zhuǎn)變發(fā)生在 和 處;(c)轉(zhuǎn)變點 (黑色實線)和對應的轉(zhuǎn)變能量 (紅色實線)隨粒子數(shù)密度的變化.引自參考文獻[23]Fig.4.(a),(b)The eigenenergy of the molecule(black solid)and polaron(blue dashed)states vary with and .The transition point is around and ;(c)the transition point (black solid)and the corresponding energy (red solid)vary with particle density.Reproduced from Ref.[23].

7 雙費米面情況下系統(tǒng)性質(zhì)的研究

本節(jié)將介紹雙費米面情況下系統(tǒng)的性質(zhì).此時體系如圖7所示,處于激發(fā)態(tài)的雜質(zhì)粒子與處于和態(tài)的費米海相互作用.同樣利用軌道單態(tài)和三態(tài)作基,系統(tǒng)相互作用哈密頓量可以寫為

圖7 雙費米面情況下,類堿土金屬原子的 OFR 能級圖.雜質(zhì)原子處于 態(tài),費米海處于 態(tài)和 態(tài).通過相互作用,雜質(zhì)原子和費米海中原子會被散射到閉通道的兩個態(tài)上. 和 是兩個能級的塞曼移動Fig.7.Level diagram of an OFR,which has two fermi seas.An impurity atom in the state is immersed in a Fermi gas of alkaline-earth-like atoms in the andstates. and are the Zeeman shifts of the andmanifolds,respectively.

然后,利用研究單費米面體系相同的方法,可以得到雙費米面系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì).

7.1 分子態(tài)與吸引極化子態(tài)

圖8 質(zhì)心動量為零, ((a)), ((b)), ((c)) 時,分子態(tài)和吸引極化子態(tài)的本征能量隨 的變化;(d)吸引極化子態(tài)到分子態(tài)的轉(zhuǎn)變點隨 的變化,其中,黑色實線為計算得到的轉(zhuǎn)變點,紅色點劃線為費米能級 .引自參考文獻[30]Fig.8.The eigen energies of molecule and attractive polaron states vary with when and(a) ,(b) ,(c);(d)the transition point varies with ,where the black solid line represents and the red dashed-dotted line is the Fermi level .Reproduced from Ref.[30].

接下來介紹分子態(tài)和吸引極化子態(tài)波函數(shù)分布受外加費米面的影響.比較圖9中和的情況可以發(fā)現(xiàn),除了存在能量移動,波函數(shù)的整體結(jié)構(gòu)都十分類似.從圖中可以看出,在分子態(tài)和吸引極化子態(tài)中,在小于零的區(qū)域,開通道部分為波函數(shù)的主要組成,但在大于零的區(qū)域,閉通道部分占據(jù)主導.另外也可以發(fā)現(xiàn),在吸引極化子態(tài)中,當開通道失諧較大時,裸雜質(zhì)態(tài)部分消失.這些發(fā)現(xiàn)與前幾節(jié)討論的單費米面情況相似.

7.2 排斥極化子態(tài)

接下來討論雙費米面體系中排斥極化子態(tài)的各項性質(zhì).圖10描繪了在等于不同值時排斥極化子態(tài)的準粒子殘余、有效質(zhì)量和衰變率隨的變化情況.從圖10(a)中的準粒子殘余和圖10(b)中的有效質(zhì)量曲線可以發(fā)現(xiàn),隨著的不斷增大,排斥極化子態(tài)的準粒子殘余和有效質(zhì)量均趨于一個定值,這意味著隨著的不斷增大,排斥極化子態(tài)將變?yōu)橐粋€滿足和的裸雜質(zhì)粒子態(tài),且雜質(zhì)粒子與費米海相互作用極弱.此外也發(fā)現(xiàn),在單費米面,即時出現(xiàn)的非解析行為,將隨著閉通道中費米面的出現(xiàn)而變得模糊并最終消失.在單費米面時已經(jīng)介紹過,這種非解析行為的出現(xiàn)由類似共振行為引起.當失諧滿足能量-動量守恒時,一個通道中的原子會被共振散射到另外一個通道中.當閉通道為空,即時,這種共振現(xiàn)象最為顯著.當閉通道中存在另外一個費米面時,這種非解析行為會發(fā)生移動,以此來抵消閉通道中引入費米面后帶來的能量移動.同時由于存在相互作用,費米面以下的態(tài)不再被完全禁戒,最終導致非解析行為變得模糊,進而消失.圖10(c)描繪了在等于不同值時衰變率隨的變化情況.從圖中可以看出,對于等于不同值的情況,除了另一個費米面所帶來的能量移動,衰變率的整體變化行為都十分相似,且與單費米面時性質(zhì)定性相同.

圖9 (a),(c)分子態(tài)的波函數(shù)分布情況;(b),(d)吸引極化子態(tài)的波函數(shù)分布,此時質(zhì)心動量為零.(a) 和 (b) 中, ,(c) 和(d) 中, .引自參考文獻 [30]Fig.9.The fractions of wave functions for molecule((a),(c))and attractive polaron states((b),(d))with zero center-of-mass momentum.The parameter in this figure is for(a)and(b), for(c)and(d).Reproduced from Ref.[30].

圖10 (a),(b)在 等于不同值時,排斥極化子態(tài)的準粒子殘余和有效質(zhì)量隨 的變化情況.圖 (a) 中的插圖描繪了吸引極化子態(tài)的準粒子殘余隨 的變化情況.圖中,當 時出現(xiàn)的非解析行為發(fā)生在 處;(c)排斥極化子態(tài)的衰變率在 等于不同值時隨 的變化情況.引自參考文獻[30]Fig.10.(a),(b)The quasiparticle residue and the effective mass vary with for different values of .The obvious kink structure when appears near .The inset of(a)is the residues for attractive polarons;(c)the decay rates vary with for different values of .Reproduced from Ref.[30].

8 二維系統(tǒng)中雜質(zhì)態(tài)問題的研究

本節(jié)將介紹二維173Yb費米氣體中的雜質(zhì)態(tài)問題.實驗上,一般通過在-平面添加頻率較弱的簡諧束縛勢阱,同時在軸方向施加強束縛來實現(xiàn)二維體系[67].為了與實驗研究有可比性,在二維系統(tǒng)雜質(zhì)態(tài)問題的計算中,設(shè)定軸方向的束縛頻率滿足,其他參數(shù)與前面討論的三維體系相同.利用與研究三維系統(tǒng)相同的方法,可以得到二維173Yb費米氣體中分子態(tài)和極化子態(tài)的性質(zhì),以及外加費米面對體系的影響.

圖11 (a)-(c)二維系統(tǒng)中,質(zhì)心動量為零, ((a)), ((b)), ((c))時,分子態(tài)和吸引極化子態(tài)的本征能量隨的變化;(d)吸引極化子態(tài)到分子態(tài)的轉(zhuǎn)變點隨 的變化,其中黑色實線為計算得到的轉(zhuǎn)變點,紅色虛線為費米能級 Fig.11.The eigen energies of molecule and attractive polaron states vary with when in a two-dimensional system and(a),(b) ,(c) ;(d)the transition point varies with ,where the black solid line represents and the red dashed line is the Fermi level .

圖12 二維系統(tǒng)中 等于不同值時排斥極化子態(tài)的衰變 率 隨 的 變 化 情 況Fig.12.The decay rates of the repulsive polaron state in a a two-dimentional system vary with for different values of .

9 結(jié) 論

本文介紹了利用試探波函數(shù)的方法來研究由類堿土金屬原子173Yb組成的費米氣體在軌道Feshbach共振附近的雜質(zhì)態(tài)問題.

對比質(zhì)心動量為零時的分子態(tài)和吸引極化子態(tài)的本征能量可以發(fā)現(xiàn),隨著的變化,系統(tǒng)中存在由吸引極化子態(tài)到分子態(tài)的轉(zhuǎn)變.當小于轉(zhuǎn)變點時,系統(tǒng)的基態(tài)為吸引極化子態(tài),而當大于時,系統(tǒng)基態(tài)變?yōu)榉肿討B(tài).同時研究發(fā)現(xiàn),會隨著系統(tǒng)粒子數(shù)密度的增大而變大.這一普適性的缺失說明OFR是一個窄共振.

然后討論了排斥極化子態(tài)的性質(zhì).排斥極化子的本征能量高于閾值能量,且伴隨著的變化,排斥極化子態(tài)會與其他態(tài)發(fā)生耦合.在排斥極化子態(tài)的準粒子殘余和有效質(zhì)量中均存在明顯的非解析行為,這可以定性解釋為由類似于共振散射行為引起.同時,研究發(fā)現(xiàn)當開通道與閉通道近簡并時,排斥極化子態(tài)的衰變率最小.

最后討論了二維173Yb費米氣體中的雜質(zhì)態(tài)問題.通過對比發(fā)現(xiàn),二維體系中分子態(tài)和極化子態(tài)的性質(zhì)與三維系統(tǒng)類似,例如存在吸引極化子態(tài)到分子態(tài)的轉(zhuǎn)變,排斥極化子態(tài)的衰變率在兩個通道簡并時存在最小值點,以及引入另一個費米面會引起能量移動等.但與三維系統(tǒng)不同的是,二維系統(tǒng)中費米面附近的漲落較大,會產(chǎn)生更為顯著的多體效應.