王玉成 劉雄軍 陳澍

1）(南方科技大學物理系,深圳量子科學與工程研究院,深圳 518055）

2）(北京大學物理學院,國際量子材料中心,北京 100871）

3）(中國科學技術(shù)大學,量子信息與量子物理協(xié)同創(chuàng)新中心,合肥 230026）

4）(中國科學院物理研究所,北京凝聚態(tài)物理國家研究中心,北京 100190)

5）(中國科學院大學物理科學學院,北京 100049）

6）(量子物質(zhì)科學協(xié)同創(chuàng)新中心,北京 100084）

準周期晶格在冷原子領(lǐng)域被廣泛研究,它使得人們可以在一維或者二維系統(tǒng)里研究擴展到安德森局域的轉(zhuǎn)變.2008年,Inguscio研究組在冷原子系統(tǒng)里制備了一維準周期晶格,并觀測到了安德森局域化現(xiàn)象,這極大地推動了準周期系統(tǒng)的理論和實驗研究.后來,Bloch研究組在制備的一維和二維準周期晶格中都觀測到了多體局域的現(xiàn)象.最近,他們還在準周期晶格中成功觀測到遷移率邊以及存在遷移率邊的系統(tǒng)的多體局域現(xiàn)象.這些冷原子實驗推動了多體局域以及遷移率邊等方向的研究.準周期晶格已經(jīng)成為一個平臺,它對很多物理現(xiàn)象的影響正在被廣泛研究,并可以嘗試在冷原子實驗中觀測到這種影響.本文結(jié)合作者的一些相關(guān)工作,對一維準周期晶格一些近期的研究進行了簡要綜述,介紹了一些相關(guān)的重要的冷原子實驗,討論了準周期晶格的一些重要性質(zhì),以及它對一些物理現(xiàn)象(比如拓撲態(tài))的影響.

1 引 言

近三十年來,隨著一系列原子的激光冷卻與陷俘技術(shù)的實現(xiàn)和進步[1],人們能夠研究超冷原子氣體中新奇的量子現(xiàn)象.一些關(guān)鍵性的技術(shù),比如菲斯巴赫(Feshbach)共振技術(shù)[2],應用到冷原子系統(tǒng)上,人們可以調(diào)節(jié)原子間的有效相互作用.由于超冷原子氣具有高度純凈和容易操控的優(yōu)點,成為了理想的量子模擬的平臺,比如人們已經(jīng)成功模擬了費米和玻色哈伯德(Hubbard)模型[3],自旋軌道耦合[4,5],拓撲模型及相變[6,7],科斯特利茨-索利斯(Kosterlize-Thouless)相變[8],甚至霍金輻射[9]等.所以現(xiàn)在的理論物理學家提出一個新的現(xiàn)象時,往往會考慮怎么在冷原子中模擬這種現(xiàn)象.另外,這些量子模擬不僅僅是驗證凝聚態(tài)里的一些已知的結(jié)果,而且通過引入一些參數(shù)和新的環(huán)境,可以得到一些新的物理現(xiàn)象,這些新的物理現(xiàn)象又推動了理論物理的發(fā)展.

在 1980 年,Aubry 和 André研究了一維準周期系統(tǒng)[10](以下簡稱AA模型).盡管該系統(tǒng)不是隨機無序的,但是它仍然沒有平移對稱性,它具有擴展到局域的轉(zhuǎn)變的性質(zhì).此后,對于該模型以及該模型的一些推廣[11?14]被廣泛研究.2008 年,Roati等[15]在冷原子系統(tǒng)里成功模擬了AA模型,并且觀測到了安德森局域化的現(xiàn)象.這開啟了人們在冷原子系統(tǒng)里研究局域化問題的新篇章,一系列理論與實驗的成果被發(fā)現(xiàn).同時AA模型成為了研究其他物理現(xiàn)象的重要平臺,比如在AA模型上加上p波配對項[16?19],可以用來研究拓撲超導到安德森局域相的轉(zhuǎn)變,在AA模型上加上相互作用[20?22],可以研究熱化相到多體局域相的轉(zhuǎn)變.2015年,Schreiber等[23]在冷原子里制備出了帶有相互作用的AA模型,從而第一次觀測到多體局域相,這在一定程度上引發(fā)了多體局域研究的熱潮.

本文詳細介紹一些一維準周期系統(tǒng)及其應用,先介紹AA模型以及它的實驗實現(xiàn)和在其基礎(chǔ)上的一些推廣模型,接著在AA模型上加上相互作用,討論熱化到多體局域的轉(zhuǎn)變,并介紹如何在冷原子實驗中觀測多體局域現(xiàn)象,然后介紹AA模型相關(guān)的動力學研究,最后討論準周期勢對拓撲超導和拓撲半金屬的影響.

2 AA模型簡介及其冷原子實驗實現(xiàn)

2.1 AA模型簡介

1958年,美國物理學家Anderson[24]研究了無序晶體中電子的運動,提出了強無序體系中電子局域化的概念.由于無序的存在,晶格的周期性被破壞,電子的波函數(shù)不再能擴展到整個晶體中,而是在空間中按照指數(shù)形式衰減,這就是局域態(tài).由于無序的存在,動量不再是描述電子態(tài)的好量子數(shù),因此通常采用緊束縛近似,在瓦尼爾基下進行討論.考慮安德森模型其中表示第 i個格點的態(tài)矢量,表示格點之間的躍遷,是 i 格點的化學勢,它在范圍內(nèi)隨機分布.本征態(tài)可寫為中是粒子在 i 格點的概率幅.容易得到動力學方程為

對于一維或二維系統(tǒng),很弱的隨機無序就會使系統(tǒng)變得局域.AA模型是一個一維準周期系統(tǒng)[10](也可以稱為非公約系統(tǒng)),其哈密頓量為

可以看到(3）式和(4）式有著完全類似的形式,這時稱這兩個方程是對偶的.對于固定的和,如果波函數(shù)∑ 是擴展的(局域的),其變 到對偶空間的波函 數(shù)∑ 應該是局域的 (擴展的).所以這個系統(tǒng)的擴展-局域的轉(zhuǎn)變點是.

為了直觀展示AA模型的擴展局域的性質(zhì),下面研究這個系統(tǒng)的倒參與率(the inverse participation ratio,IPR)和波函數(shù)的分布.倒參與率是一個最常用的描述系統(tǒng)局域擴展性質(zhì)的量[25–27]:系統(tǒng)的第個本征態(tài),它滿足歸一化條件1.如果一個態(tài)是擴展的,容易驗證,當時,趨于 0.而對于局域態(tài),在熱力學極限下,IPR是一個有限的非零值.固定躍遷強度和系統(tǒng)尺寸,在圖1中展示了AA模型的基態(tài)的倒參與率隨準周期勢強度的變化,這里取的是開邊界條件(open boundary condition,OBC).可以看出,IPR 在時接近于零,在處突變?yōu)橐粋€有限值,說明系統(tǒng)在這一點從擴展態(tài)變?yōu)榱司钟驊B(tài).在圖1的左右插圖中,分別展示了和時系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)的分布,可以看出時系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)分布在整個空間,這是擴展態(tài)的特征,而時系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)分布在一個很小的區(qū)域內(nèi),這是局域態(tài)的分布特征.不止是基態(tài),容易驗證其他態(tài)仍然有類似的特征.

圖1 基 態(tài) 的 倒 參 與 率 隨 的 變 化 ， 這 里 固 定 和.左 右 的 插 圖 分 別 展 示 了 和 時系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)的分布Fig.1.IPR of ground states as a function of for this system with and .The left and right insets show the distribution of the ground state withand respectively.

2.2 AA模型的冷原子實驗實現(xiàn)

由于晶體中存在電子-電子以及電子-聲子的相互作用,所以很難在晶體中直接觀測到安德森局域化.冷原子系統(tǒng)干凈和可控的特性為直接觀測到安德森局域現(xiàn)象提供了可能.2008 年,Roati等[15]在冷原子系統(tǒng)中成功模擬了AA模型,并在此基礎(chǔ)上觀測到了安德森局域態(tài).他們首先在光勢阱中冷卻得到一團玻色-愛因斯坦凝聚體(Bose-Einstein condensate),然后通過菲斯巴赫共振技術(shù)將原子間的相互作用調(diào)到零,最后將其放入一維雙色光晶格中,如圖2所示[15].一維雙色光晶格勢可以通過兩束激光以駐波的形式產(chǎn)生,一束激光的波長為,產(chǎn)生主晶格,另一束波長為產(chǎn)生弱的次晶它們的形式為[28,29]:

式中矩陣元為

圖2 實驗實現(xiàn)準周期晶格的原理示意圖.J描述的是主晶格最近鄰格點之間的躍遷, 是由次晶格導致的在位能最大的差別Fig.2.Sketch of the quasiperiodic lattice realized in the experiment.J describes the hopping between the nearestneighbor sites of the primary lattice and is the maximum shift of the on-site energy induced by the secondary lattice.

考慮到晶格勢很深時瓦尼爾函數(shù)的高度局域化,這里交疊積分只取到了躍遷項的次近鄰部分和次晶格勢的在位部分.利用和

(9）式最后一項的積分可以寫成AA模型中的準周期勢項對應的形式.定義

舍去常數(shù)項,易得

因此,得到了AA模型類似的哈密頓量

實驗上可以測量系統(tǒng)的輸運性質(zhì)來研究擴展-局域轉(zhuǎn)變:突然撤掉簡諧勢讓原子在這個晶格中運動,然后利用原位吸收成像技術(shù)測量原子隨時間的演化.會發(fā)現(xiàn)在準周期勢強度很弱的情況下,系統(tǒng)迅速膨脹;而在準周期勢強度很大的情況下,系統(tǒng)基本上沒有擴散發(fā)生.這和前面通過動力學方程對安德森模型中擴展態(tài)和局域態(tài)的描述是一致的.

3 AA 模型的推廣

3.1 存在遷移率邊的一維準周期模型

對于三維系統(tǒng),如果加的無序強度在某個范圍內(nèi),系統(tǒng)的能帶中可能會出現(xiàn)遷移率邊和.滿足的本征值對應的態(tài)是擴展的,如果費米面在這個范圍內(nèi),系統(tǒng)就表現(xiàn)出金屬屬性,或者范圍的本征值對應的態(tài)是局域的,如果費米面在這個范圍,系統(tǒng)就表現(xiàn)出絕緣體屬性.通?？梢酝ㄟ^摻雜、加壓或者加電磁場等方式調(diào)節(jié)費米面或遷移率邊的位置,從而使系統(tǒng)可以發(fā)生金屬-絕緣體的轉(zhuǎn)變.

在AA模型之后,科學家們在此基礎(chǔ)上提出幾個準周期模型[11?14],這使得可以在一維系統(tǒng)里研究遷移率邊.如哈密頓量(2）式中化學勢項寫為.可以看出,當時,該系統(tǒng)簡化為AA模型.固定躍遷強度,理論和數(shù)值研究發(fā)現(xiàn),當以及時,這個系統(tǒng)存在遷移率邊,在能帶的中間(),所有的態(tài)是擴展的,在能帶的兩邊(),所有的態(tài)是局域的,是兩個遷移率邊的位置.當時,所有的態(tài)都是局域的.另一種擴展是在躍遷項上做文章[13,14].考慮下面一個緊束縛模型:

3.2 存在遷移率邊的一維準周期光晶格的實驗實現(xiàn)

最近,Li等[30]和 Lüschen 等[31]在冷原子系統(tǒng)中成功實現(xiàn)了存在遷移率邊的一維準周期光晶格

圖3 實驗原理圖.制備的初始 CDW 態(tài)，以及在局域、中間和擴展相中，經(jīng)過一段時間演化后，分別對應的系統(tǒng)的末態(tài) (a)初態(tài)分布，制備為CDW態(tài)(根據(jù)定義，有 ,);(b)局域態(tài) ( , );(c)中間態(tài)，對應于不同的能量存在局域態(tài)和擴展態(tài) ( , );(d)擴展態(tài)( , )Fig.3.Schematics of the experiment.Schematic illustration of the initial CDW state and the states reached after time evolution in the localized, intermediate, and extended phase,respectively:(a)Initial state:CDW state ( ,); (b) localized phase( , ); (c) the intermediate phase,extended and localized states coexist at different energies ( , );(d) extended phase( , ).

這個系統(tǒng)存在三個相:局域相,擴展相和中間相(包含局域態(tài)和擴展態(tài)的相).實驗中為了測得這三個相,他們制備了一個電荷密度波(charge density wave,CDW)的初態(tài),如圖 3(a)所示,然后考慮這個初態(tài)的演化.如果系統(tǒng)中存在局域態(tài),那么初始的CDW的模式將會存在很長的時間,考慮一個能反映奇偶格點的密度分布差異的量,在很長時間的演化后,它仍不等于零,如圖 3(b)和圖 3(c)所示.這里,()表示偶(奇)格點的原子數(shù).如果系統(tǒng)中存在擴展態(tài),那么初態(tài)會往整個空間擴散,因此原子云的總尺寸將變大.引入可以反映這個變化的量,那么如果系統(tǒng)存在擴展態(tài),將大于零,如圖3(c)和圖3(d)所示.如果所有的態(tài)都是局域的,則等于零,如圖 3(b) 所示.如果所有的態(tài)都是擴展的,將等于零,如圖 3(d) 所示.如果系統(tǒng)中既存在擴展態(tài)又存在局域態(tài),那么在一段時間演化之后,和都將不為零,如圖 3(c) 所示.在實驗中通過測量這兩個量,證明了這個系統(tǒng)中中間相的存在,從而間接地說明了遷移率邊的存在.

4 存在相互作用的一維準周期系統(tǒng)

安德森局域化考慮的是單粒子的問題,下面加上粒子間的相互作用.相互作用可以影響系統(tǒng)的自能,自能的虛部在一定程度上反映了單粒子激發(fā)的壽命,如果單粒子激發(fā)在有限時間內(nèi)可衰減,系統(tǒng)是可熱化的,如果單粒子激發(fā)有無限長的衰減時間,系統(tǒng)可穩(wěn)定存在,它是多體局域的,所以相互作用可以影響熱化相和多體局域相之間的轉(zhuǎn)變[32].另外,從動力學角度來分析一個封閉的多體系統(tǒng)的初態(tài)在任意長的時間內(nèi)會演化成什么樣的態(tài).根據(jù)初始態(tài)的細節(jié)信息會不會在演化過程中消失也可以區(qū)分熱化相和多體局域相[33].多體局域的系統(tǒng)在任意長的時間演化后都不會熱化,從動力學上看它保留了初始態(tài)的信息,并且它對于局域的微擾是不敏感的.多體局域在過去幾年里被廣泛研究[34?37],它正逐漸成為其他理論的基礎(chǔ),比如時間晶體(time crystal),就是通過弗洛凱 (Floquet)周期驅(qū)動和多體局域結(jié)合定義的[38].人們第一次在實驗中觀測到多體局域現(xiàn)象就是在一維的準周期晶格中[23].下面先討論加相互作用的AA模型的相變[20?22].

4.1 存在相互作用的AA模型

考慮在AA模型中加上近鄰排斥相互作用的費米子模型,其哈密頓量為[21]:

4.2 一維準周期系統(tǒng)中多體局域的實驗實現(xiàn)

實驗上第一次觀測到多體局域現(xiàn)象的是Schreiber等[23].他們制備的系統(tǒng)是在AA模型上加上在位的相互作用,即

圖4 (a) 隨 的 變 化 .當 系 統(tǒng) 尺 寸 為 和 時 用 的 樣 品 數(shù) 是 ,當 時 用 的 樣 品 數(shù) 是 ,當 時用 的 樣 品數(shù)是 ;(b) 平均 的 糾 纏熵 和 隨 的變化.當 和 時 用 個樣 品,當 時 用個樣品,當 時用 個樣品.相互作用強度始終被固定為 .這里一個樣品指的是任選一個初相位 [21]Fig.4.(a) as a function of .Here we use50samples for and ,30samples for ,and20samples for;(b)averaged entanglement entropy and versus .Here we use500samples for and ,100 samples for and 30 samples for .The interaction strength is fixed at .Here a sample is specified by choosing an initial phase [21].

另外,熱化相和多體局域相的糾纏熵隨時間的變化也明顯不同[44,45].多體局域相對應的糾纏熵隨時間變化是對數(shù)增加的,這是既不同于熱化相,也不同于安德森局域態(tài)的性質(zhì).所以也可以在實驗中測量糾纏熵隨時間的變化觀測系統(tǒng)從熱化到多體局域的轉(zhuǎn)變[23].

進一步,Bordia等[46]也成功在二維系統(tǒng)中觀測到多體局域現(xiàn)象.最近,Kohlert等[47]還在已經(jīng)實現(xiàn)的有遷移率邊的系統(tǒng)里引入相互作用,并觀測到多體局域.這些實驗都是在準周期的系統(tǒng)中完成的,并極大地促進了多體局域方面的理論研究.

5 一維準周期系統(tǒng)中的動力學

正如前面提到的,擴展態(tài)和局域態(tài)在動力學上會表現(xiàn)出明顯不同的性質(zhì).下面基于AA模型討論常見的三種動力學方面的研究:系統(tǒng)參數(shù)不變的動力學演化,周期驅(qū)動和參數(shù)突變的動力學演化.

5.1 AA模型的動力學演化

圖5 AA 模型中取不同的 時隨時間 t的變化的對數(shù)-對數(shù)圖,這里固定 ,躍遷強度 ,以及系統(tǒng)尺寸√Fig.5.Log-log plot of the width vs time t for several values of in the AA model with ,and .

另一個常用來描述AA模型不同相的動力學演化差異的是初態(tài)的殘存率 (return probability)[53,54],即若假設(shè)初態(tài)是粒子在某一個格點上,在一段時間演化之后,研究這個粒子還待在這個格點的概率.因為在后面的AA模型的動力學相變中會詳細介紹這個量,所以這里不再贅述.

5.2 周期驅(qū)動的準周期晶格

考慮下面的準周期勢是周期驅(qū)動的模型[55]:

圖6 固定 和 ,平均信息熵隨周期 的變化.左上角的插圖展示了平均糾纏熵的導數(shù)隨周期 的變化 ,這 里 固 定 (藍 色 ), (紅 色 ),和(綠色).右下角的插圖展示了平均糾纏熵隨 的變化,這里分別固定 (藍色), (紅色), (綠色)[55]Fig.6.The mean information entropy as a function offor this system with and .The left up inset shows the derivative of the mean information entropy as a function of with fixed (blue), (red),and (green). The right down inset shows the derivative of the mean information entropy as a function ofwith (blue), (red),and (green)[55].

由于AA模型中不存在遷移率邊,所以可以定義一個平均的信息熵.圖6展示了這個平均的信息熵隨驅(qū)動周期的變化,這里固定了準周期勢的強度.可以看出,隨著周期的增大,這個平均的信息熵從近似于零的小值變?yōu)橐粋€非零的有限值,這意味著這個系統(tǒng)的波函數(shù)從局域態(tài)變?yōu)閿U展態(tài).在圖6的插圖中,展示了不同強度的準周期勢時,平均信息熵的導數(shù)隨周期的變化.當,和時,這個導數(shù) 的 尖 峰 分 別 出 現(xiàn) 在,和處.圖6下方的插圖展示了不同周期時,平均信息熵的導數(shù)隨的變化,可以看出當,和時,平均信息熵導數(shù)的尖峰分別出現(xiàn)在,和的地方.可以看出,平均信息熵導數(shù)的尖峰位置滿足,這對應于這個系統(tǒng)從動力學局域到擴展的轉(zhuǎn)變點.

下面從這個系統(tǒng)的有效哈密頓量中來分析這個轉(zhuǎn)變點,

5.3 準周期晶格中擴展-局域轉(zhuǎn)變的動力學相變

圖7 固定系統(tǒng)尺寸 ,平均信息熵隨 和 的變化[55]Fig.7.The mean information entropy versus both andfor the system with [55].

動力學相變最近被廣泛研究[62?65],它擴展了我們對相變的理解.第一次在局域擴展的轉(zhuǎn)變中引入動力學相變的概念是在AA模型中[66],即哈密頓量如 (2） 式所示,下面設(shè)作為能量單位.制備一個初態(tài),使之是哈密頓量的一個本征態(tài),然后突然改變系統(tǒng)的參數(shù),用哈密頓量描述,研究在一段時間演化后,初態(tài)的殘存率[67?71]

圖8 取不同值時 Loschmidt echo 的演化.初態(tài)選準周期勢強度為 ((a),(b))和 ((c),(d)) 的哈密頓量的基態(tài)[66]Fig.8.Evolution of Loschmidt echo in a long time with different s.The initial state is chosen to be the ground state of the Hamiltonian with ((a),(b))and ((c),(d))[66].

下面對Loschmidt echo怎么趨于零進行定量描述,引入一個接近于零的小量對做截斷.給定一個大的時間間隔,在中,測量滿足的時間間隔長度,定義為.相當于引入了一個勒貝格測度(Lebesgue measure)[66].為了方便,研究.固定,在圖 9(a)中,展示了取不值同時(,,和),隨的變化.這里的初 態(tài) 仍 然 是 選 系 統(tǒng) 的 基 態(tài) .可 以 看 出,在和時 的 表 現(xiàn) 確 實 不 同 .當時,總是零,但是過了轉(zhuǎn)變點后,它隨著的變大突然增大到一個有限的非零值.盡管這個非零值會依賴于截斷的的大小,但是這種在轉(zhuǎn)變點突變的性質(zhì)不會隨著截斷的不同而改變.

6 準周期勢對系統(tǒng)拓撲性質(zhì)的影響

最近幾十年,拓撲態(tài)(拓撲絕緣體、拓撲超導體和拓撲半金屬)的發(fā)展是凝聚態(tài)發(fā)展的一個重要的方向[72?75].對拓撲相變的描述超出了朗道對稱性破缺的理論,加深了我們對凝聚態(tài)的認識.如果系統(tǒng)是周期的,可以通過調(diào)節(jié)躍遷強度的相對大小來誘導拓撲和非拓撲之間的轉(zhuǎn)變[76,77].在開邊界條件下,這個轉(zhuǎn)變會對應于邊緣態(tài)的出現(xiàn)或消失;在周期邊界條件下,這個轉(zhuǎn)變可以計算拓撲不變量來描述,這個不變量在實驗上可以通過索利斯泵浦(Thouless Pumping)來測量[78?81].如果系統(tǒng)中存在無序或者準周期勢,那么一個自然且有趣的問題是它們會對系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)產(chǎn)生什么影響.下面研究在一維p波超導鏈[82]和外爾半金屬[83?85]中增加準周期勢對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響.

圖9 固定系統(tǒng)參數(shù) , 和 時 隨 的變 化:(a) 不 同的顏色對應不同的 值,這里的初態(tài)是初始哈密頓量的基態(tài);(b)選取不同的初態(tài), 表示初始哈密頓量的第 n個本征態(tài).在 處,可以清晰地看到一個相邊界.這里固定 [66]Fig.9.The behavior of versus for the system with , and :(a)Different colors correspond to different s and the initial state is chosen to be the ground state of the initial Hamiltonian;(b)different choice of initial state with standing for the eigenstates of the initial Hamiltonian .A clear boundary can be seen at .Here we choose [66].

6.1 準周期勢對一維p波超導鏈的影響

在一維p波超導鏈上加上準周期勢[16,18,19],討論其影響.系統(tǒng)的哈密頓量為

這個哈密頓量可以用波戈留波夫-德熱納變換 (Bogoliubove-de Gennes(BDG)transformation)[16,89]來對角化:

圖10 (a)固定兩個 p 波配對強度 和時，MIPR隨準周期勢強度 的變化，這里用的系統(tǒng)尺寸是 ;(b)系統(tǒng)隨 p 波配對強度 和準周期勢強度 變化的相圖，I:擴展相，II:臨界相，III:局域相.這里固定Fig.10.(a) MIPR as a function of the incommensurate potential strength at two p-wave pairing strengthand .Here use ;(b) phase diagram of this system with a p-wave pairing strengthand incommensurate potential strength .I:extended phase,II:critical phase and III:localized phase.Here fix.

6.2 準周期勢對外爾半金屬的影響

考慮下面的可在冷原子中實現(xiàn)的外爾半金屬模型的哈密頓量[90]:

圖11 (a)在開邊界條件下,固定 和 時系統(tǒng)的能譜;(b),(c) 不同的 值時最低激發(fā)模的 ((b)) 和 ((c)) 的分布[16]Fig.11.(a)Energy spectra of this system with and under OBC.The distributions of (b)and (c)for the lowest excitation with different [16].

這是下帶所有本征態(tài)的IPR的平均.MIPR可以給出下帶所有填充態(tài)的擴展到局域轉(zhuǎn)變的信息.圖12(a)和圖12(b)分別展示了第個本征態(tài)的IPR 和 MIPR 作為和的函數(shù),這里取.從圖中可以看出,在附近的態(tài)是擴展的,而其他區(qū)域的態(tài)在方向已經(jīng)變得局域,也就是說附近的態(tài)在方向更難變得局域,即需要更大的才能使外爾點附近的態(tài)變得局域.圖12(c)和圖12(d)分別刻畫了固定時第個本征態(tài)的IPR和MIPR作為和的函數(shù).圖 12(e)和圖 12(f)展示了固定時第個本征態(tài)的IPR和MIPR作為和的函數(shù).從這些圖中可以看出在,>時開始有本征態(tài)在方向變得局域,而動量在附近的本征態(tài)在時才由擴展變?yōu)榫钟?從(40)式出發(fā),可以直觀地理解這一現(xiàn)象.A和B子格之間的有效躍遷強度大小依賴于和.A和B子格間的躍遷是在平面內(nèi),其躍遷強度越大,粒子在方向的運動就會更容易變得局域,反之,平面內(nèi)的躍遷強度越小,則方向的運動變得局域所需要的就越大.當和時,從(40)式中可以看出,兩個子格間的有效躍遷強度是零,這時粒子在方向的運動發(fā)生擴展到局域的轉(zhuǎn)變所需要的最大,而且可以看出這時這個模型可以簡化為AA模型,所以時所有方向的本征態(tài)變成局域,這和我們的數(shù)值結(jié)果是一致的.

為了研究系統(tǒng)的費米面隨著準周期勢增大的變化,下面數(shù)值計算態(tài)密度 (density of states,DOS),其定義為

圖12 第N個本征態(tài)的IPR((a))和 MIPR((b))隨 和 的 變 化 ,這 里 固 定 ;第 N 個 本 征 態(tài) 的 IPR((c))和MIPR((d))隨 和 的變化,這里固定 ;第 N 個本征態(tài)的 IPR((e)) 和 MIPR((f))作為 和 的函數(shù),這里固定 .其他參數(shù)是 和 [91]Fig.12.IPR((a))and MIPR((b))as a function of and with fixed ;IPR((c))and MIPR((d))as a function of and with fixed ;IPR((e))and MIPR((f))as a function of and with fixed .The lattice size is and

圖13 (a)不同晶格尺寸 時, 隨 的變化,這里固定 ;(b) 固定 ,取不同的準周期勢強度 時系統(tǒng)的態(tài)密度隨能量的變化[91]Fig.13.(a) versus for different lattice size with fixed ;(b)DOS with as a function of energy for various values of incommensurate potential strength [91].

最近,人們還研究了在外爾半金屬的三個方向上都加上準周期勢[96]以及在節(jié)鏈(nodal-link)半金屬的一個方向上加上準周期勢[97,98]時系統(tǒng)發(fā)生的相變,都得到了一些有趣的結(jié)果.

7 總結(jié)與展望

當一個新的物理現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)的時候,一個自然而有趣的問題就是這種物理現(xiàn)象能否被無序(或準周期勢)輕易地破壞,比如前面提到的準周期勢對拓撲超導體相和拓撲半金屬相的影響.所以對無序(或準周期勢)的研究具有持久的生命力.在一維系統(tǒng)或者冷原子系統(tǒng)中,準周期勢的優(yōu)點顯得尤為突出:一方面它本身具有很好的性質(zhì),比如可解析得到擴展到局域的轉(zhuǎn)變點等,使得對這類模型本身的研究就很有意義,如文中提到的動力學性質(zhì)的研究;另一方面,這種勢在冷原子實驗中更容易實現(xiàn),因此正如文中提到的,第一次實驗觀測到準周期勢導致的局域轉(zhuǎn)變,第一次實驗觀測到多體局域,第一次實驗驗證遷移率邊的存在等等都是在冷原子中實現(xiàn)的準周期勢的晶格中完成的.正是因為在冷原子中實現(xiàn)了很多與準周期勢有關(guān)的物理現(xiàn)象,反過來又推動了這方面的理論研究.相信在將來,準周期勢會被應用到更多的領(lǐng)域,會帶來更多有趣的物理現(xiàn)象.本文主要涉及了準周期勢帶來的局域轉(zhuǎn)變方面的工作,實際上當體系處于擴展態(tài)時在準周期格子系統(tǒng)中也展示了豐富的拓撲相,有興趣的讀者可以參考相關(guān)的文獻[77,99–101].