☉江蘇省海安市教師發(fā)展中心

☉江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉東升

中考復(fù)習(xí)“年年歲歲花相似”，老歌反復(fù)唱、審美也疲勞，優(yōu)秀學(xué)生常常在“題?！庇?xùn)練中“空轉(zhuǎn)”.如何創(chuàng)新開展中考專題復(fù)習(xí)課，是值得每個(gè)中考備考老師認(rèn)真思考的教研課題.本文結(jié)合最近一次中考“二次三項(xiàng)式再認(rèn)識(shí)”的專題復(fù)習(xí)課例，闡釋筆者對(duì)當(dāng)前中考專題復(fù)習(xí)課的一些思考，期待中考復(fù)習(xí)課的研討領(lǐng)域能夠在“看似無(wú)路之處走出一路來(lái)”.

一、“二次三項(xiàng)式的再認(rèn)識(shí)”教學(xué)流程

活動(dòng)1：一組計(jì)算

計(jì)算：（1）（y＋1）2；（2）（x-2）2＋1；（3）（-3-a）（5-a）；（4）4m（3-m）-9.

預(yù)設(shè)解答：y2＋2y＋1，5-4x＋x2，-2a-15＋a2，12m-4m2-9.

追問1：這4個(gè)運(yùn)算結(jié)果從形式上看，有什么共同點(diǎn)？

預(yù)設(shè)：它們都是二次三項(xiàng)式.

追問2：請(qǐng)同學(xué)們把上述二次三項(xiàng)式按某個(gè)字母降冪排列.

設(shè)計(jì)意圖：先安排學(xué)生計(jì)算，并核對(duì)計(jì)算結(jié)果，然后給出兩個(gè)追問，學(xué)生互評(píng)結(jié)果.讓學(xué)生鞏固基礎(chǔ)運(yùn)算，以及七年級(jí)所學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式基本概念（包括按某個(gè)字母的降冪排列）.

活動(dòng)2：分解因式

追問1：為什么x2-4x＋5不能進(jìn)行因式分解？（學(xué)生可以從一元二次方程根的判別式，或二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)來(lái)解釋）

追問2：能否從一元二次方程或二次函數(shù)的角度解釋，為什么其他二次三項(xiàng)式都可以進(jìn)行因式分解？

設(shè)計(jì)意圖：先安排學(xué)生獨(dú)立分解因式，其中第（2）題不能進(jìn)行因式分解，在追問學(xué)生原因過程中引出利用一元二次方程、二次函數(shù)的解釋，體現(xiàn)后續(xù)知識(shí)對(duì)因式分解的支持與聯(lián)系.這里多數(shù)學(xué)生可能會(huì)有障礙，所以需要在突破之后，安排其他學(xué)生繼續(xù)用一元二次方程或二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)解釋另外幾個(gè)二次三項(xiàng)式為什么可以進(jìn)行因式分解，為了便于學(xué)生快速構(gòu)造拋物線分析研究，在學(xué)生活動(dòng)單上提供幾個(gè) “平面直角坐標(biāo)系”備用.

活動(dòng)3：變式再練

題1：計(jì)算：（1）（x＋y＋1）2；（2）（2-a-b）（4-a-b）.

預(yù)設(shè)解答：（1）（x＋y＋1）2=［（x＋y）＋1］2=（x＋y）2＋2（x＋y）＋1=x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＋1；

（2）（2-a-b）（4-a-b）=［2-（a＋b）］［4-（a＋b）］=8-6（a＋b）＋（a＋b）2=a2＋2ab＋b2-6a-6b＋8.

變式1：計(jì)算（x＋y-1）2；

變式2：計(jì)算（2＋a-b）（4-a＋b）.

題2：因式分解：

（1）（x-y）2＋2x-2y＋1；

（2）x2＋2mx＋m2＋2x＋2m＋1.

變式1：寫出關(guān)于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋2x＋2m＋1=0的解.

變式2：求拋物線y=x2＋2（m＋1）x＋m2＋2m＋1的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的式子表示）.

設(shè)計(jì)意圖：先安排學(xué)生獨(dú)立練習(xí)題1，挑選學(xué)生在黑板上板書并講解自己的思路，其他學(xué)生參與點(diǎn)評(píng)，教師追問其他思路，請(qǐng)相關(guān)學(xué)生上臺(tái)演算講解，對(duì)運(yùn)用“視為整體”的處理策略或眼光表示肯定，并指出這是適當(dāng)變形實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的重要能力，同學(xué)們要注意體會(huì).然后安排變式練習(xí)，要求學(xué)生運(yùn)用“視為整體”的處理策略.在題2因式分解之后，跟進(jìn)兩道變式題，拓展到含參數(shù)的一元二次方程、含參數(shù)的二次函數(shù)問題，讓學(xué)生感受到在方程、函數(shù)學(xué)習(xí)和研究中，熟練進(jìn)行二次三項(xiàng)式的分解變形是非常有必要的.

活動(dòng)4：回顧小結(jié)

教師組織學(xué)生回顧梳理本課復(fù)習(xí)內(nèi)容，形成如下結(jié)構(gòu)化板書：

過關(guān)檢測(cè)：

題1：計(jì)算：（y＋1）2-（y2-y）=______.

題2：分解因式：3a2-6a＋3=______.

（1）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）分析拋物線與x軸是否有公共點(diǎn).如果有，寫出公共點(diǎn)的坐標(biāo)；如果沒有，說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖：4道習(xí)題分別對(duì)應(yīng)著本課訓(xùn)練內(nèi)容，同時(shí)是各地中考必考知識(shí)點(diǎn)，中考復(fù)習(xí)時(shí)圍繞本課訓(xùn)練主題進(jìn)行多角度的變式訓(xùn)練、過關(guān)檢測(cè)、反饋學(xué)情是十分有必要的.

二、中考復(fù)習(xí)這首“老歌”如何新唱

1.中考專題復(fù)習(xí)要注意跨年級(jí)選題與構(gòu)思

以筆者教學(xué)經(jīng)歷與觀課所見，從上個(gè)世紀(jì)90年代初到現(xiàn)在近30年時(shí)間，各校在中考復(fù)習(xí)時(shí)采取的多是一輪復(fù)習(xí)、二輪復(fù)習(xí)的模式，一輪復(fù)習(xí)以知識(shí)點(diǎn)梳理、基礎(chǔ)題訓(xùn)練為主，常常是按七、八、九年級(jí)章節(jié)、單元知識(shí)塊（如數(shù)、式、函數(shù)、三角形、平行四邊形等）進(jìn)行歸類、按序復(fù)習(xí)，二輪復(fù)習(xí)常常是按所謂的題型歸類（如閱讀理解型、動(dòng)態(tài)型、新定義型，等等），以上復(fù)習(xí)方式主要問題在于“老歌舊唱”“老歌反復(fù)唱”，學(xué)生（特別是優(yōu)秀學(xué)生）審美疲勞，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課成為重復(fù)之前已反復(fù)練習(xí)過的習(xí)題的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的品質(zhì)難有提升.為此，我們提出了基于某個(gè)復(fù)習(xí)主題（或主線）的專題復(fù)習(xí)的設(shè)想，在上面的課例中，我們選擇“二次三項(xiàng)式”作為復(fù)習(xí)主題，跨七、八、九三個(gè)年級(jí)進(jìn)行選題與聯(lián)通，整節(jié)課幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)圍繞開課階段的4個(gè)二次三項(xiàng)式漸次展開，“一線串珠”，從不同角度分別研究這4個(gè)二次多項(xiàng)式及其相關(guān)問題（或變式問題）.復(fù)習(xí)趣味也大大增加，因此學(xué)生對(duì)這樣的復(fù)習(xí)課也充滿好奇和期待，整節(jié)課雖然是舊知復(fù)習(xí)，卻仍然像探索未知領(lǐng)域那樣充滿挑戰(zhàn).

2.研究地區(qū)中考較難題并“分散”難點(diǎn)訓(xùn)練

當(dāng)前各地（校）中考復(fù)習(xí)的一個(gè)糟糕做法是盲目選取全國(guó)各地中考試題（或所謂最新?？荚囶}）進(jìn)入自己的學(xué)?；虬嗉?jí)進(jìn)行“題海訓(xùn)練”，這種繁重的中考復(fù)習(xí)負(fù)擔(dān)需要“精準(zhǔn)應(yīng)試”來(lái)緩解.具體來(lái)說(shuō)，由于中考多是地級(jí)市（河北、河南、北京、上海、天津、重慶等地是統(tǒng)一命題）獨(dú)立命題，試題風(fēng)格真是“天上人間”“南腔北調(diào)”各不相同.作為精準(zhǔn)應(yīng)試來(lái)看，師生應(yīng)該更加關(guān)注本地區(qū)近年來(lái)中考試題的風(fēng)格，關(guān)注必考點(diǎn)、熱點(diǎn)問題、難點(diǎn)問題等，然后進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練、同類跟進(jìn)，對(duì)熱點(diǎn)問題進(jìn)行復(fù)習(xí)、變式訓(xùn)練，對(duì)于難點(diǎn)問題，可充分展開解題細(xì)節(jié)，暴露關(guān)鍵步驟，然后針對(duì)一些關(guān)鍵步驟各個(gè)擊破.像上面的課例最后提供的“解方程一些地區(qū)中考綜合題中的關(guān)鍵步驟，它們并不一定直接考查，但是學(xué)生在解答這些綜合題時(shí)，往往會(huì)分析、列出相應(yīng)的繁雜方程、函數(shù)表達(dá)式，這時(shí)能否將其快速整理變形，往往能有效區(qū)分優(yōu)秀學(xué)生與中檔學(xué)生的解題實(shí)力，前者算得巧、算得快、算得準(zhǔn)，而后者算得繁、算得苦、容易錯(cuò).所以圍繞“二次三項(xiàng)式”這一主題構(gòu)思復(fù)習(xí)課，并不僅僅是找出不同年級(jí)在新授課期間的一些例、習(xí)題反復(fù)再練，而要到本地區(qū)中考綜合題中查找是否存在某個(gè)解題步驟中的關(guān)鍵一步，體現(xiàn)二次三項(xiàng)式整理、變形的能力，把這些步驟抓取出來(lái)，開發(fā)成訓(xùn)練點(diǎn)，變式訓(xùn)練，密集練習(xí)，可以幫助學(xué)生在應(yīng)對(duì)綜合題時(shí)若遇到“關(guān)鍵一步”，也能“快速通過”.

3.解釋“結(jié)構(gòu)不良問題”往往通向另外領(lǐng)域

最近讀到英國(guó)數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)獲得者蒂莫西·高爾斯在《數(shù)學(xué)》一書中關(guān)于引出有理數(shù)的論述：“為了向小孩子解釋減法和除法還有著更進(jìn)一步的困難，那就是這兩種計(jì)算并非總能夠進(jìn)行”，并指出“只需要再增加兩條規(guī)則來(lái)擴(kuò)充我們的數(shù)系：一條給我們帶來(lái)負(fù)數(shù)，另一條給我們帶來(lái)分?jǐn)?shù)，即我們所熟知的有理數(shù)”.從上述論述可見，數(shù)學(xué)運(yùn)算上解釋不夠減、不夠除這一矛盾的“出路”是增加規(guī)則（引入負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)），帶來(lái)數(shù)系擴(kuò)充到有理數(shù)系；我們還知道，為了解釋開方所得的數(shù)并非全是有理數(shù)這一矛盾，數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系（這事實(shí)上也就是所謂“數(shù)學(xué)第一次危機(jī)”）.所以，上面課例中的對(duì)于二次三項(xiàng)式“x2-4x＋5”在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解是不可能的，那么解釋這種“不可能”的“結(jié)構(gòu)不良問題”就會(huì)引出一元二次方程根的判別式或二次函數(shù)圖像等相關(guān)后續(xù)知識(shí)來(lái)幫助理解.這種教學(xué)價(jià)值已超出了應(yīng)試價(jià)值，向?qū)W生傳遞和滲透數(shù)學(xué)研究方法與可能引發(fā)的開創(chuàng)性局面，也就是當(dāng)我們的思維“自我封閉”時(shí)就會(huì)出現(xiàn)矛盾或不可解的問題，如果打破常規(guī)、另辟思路，往往就能開創(chuàng)新領(lǐng)域.人們常說(shuō)的“入乎其內(nèi)求深入，出乎其外求拓展”大抵也是這個(gè)道理.